一種簡(jiǎn)單并聯(lián)記憶元件混沌系統(tǒng)的研究

李曉霞,王雪,馮志新,張啟宇,徐桂芝

(1河北工業(yè)大學(xué)省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300130;2河北工業(yè)大學(xué)河北省電磁場(chǎng)與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300130)

0 引言

在電阻、電感、電容相繼被人們熟知并應(yīng)用之后,憶阻器作為第四種基本電路元件引起了人們的極大關(guān)注,其自然賦予的非線性[1]特征,使得它可以代替眾多電路器件來構(gòu)造非線性函數(shù),且其緊磁滯伏安回線,在電路中易引起振蕩與混沌,這一點(diǎn)十分有利于混沌電路的搭建與實(shí)際應(yīng)用。在Chua[2]首次預(yù)測(cè)憶阻器之后的30年內(nèi),這一元件并無太大發(fā)展,直到2008年惠普實(shí)驗(yàn)室[3]成功制作出實(shí)物后,Chua的團(tuán)隊(duì)[4]再次將記憶元件的概念推廣到憶感器與憶容器,Yin等[5]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步進(jìn)行了物理分析并給出了數(shù)學(xué)表達(dá)式。與憶阻器類似的是,憶感器與憶容器同樣具有非線性,是具有記憶特性的元件;與憶阻器有本質(zhì)上不同的是,憶感器與憶容器均為儲(chǔ)能性元件,并且兩種記憶元件的實(shí)物模型至今未被制作出。這三種記憶元件被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,比如混沌系統(tǒng)[6-8]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9-11]、電路搭建[12,13]、神經(jīng)元與突觸[14,15]、圖像加密解密[16,17]等。對(duì)于混沌的范疇來說,單種記憶元件及其多種形式的引入是常見的,比如Ou等[1]將憶阻器引入了MCK混沌四階電路中,構(gòu)造了一個(gè)五階對(duì)稱混沌電路并進(jìn)行了一系列動(dòng)力學(xué)分析,得到了豐富的動(dòng)力學(xué)行為;Wu等[18]將磁通控制憶感器引入混沌,分析并發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)具有共存吸引子并在一定條件下出現(xiàn)隱藏吸引子。兩種記憶元件應(yīng)用于混沌系統(tǒng)也是可見的,如Yuan等[19]將憶感器和有源憶阻器引入混沌,并對(duì)初始條件的振幅、頻率、參數(shù)等進(jìn)行了升壓分析,表明該系統(tǒng)同時(shí)具有極度的多穩(wěn)定性。但據(jù)了解,三種記憶元件同時(shí)引入混沌的情況幾乎沒有,雖然目前關(guān)于憶感器與憶容器的實(shí)物還未制作出,但提前構(gòu)建等效模型并應(yīng)用于混沌系統(tǒng)是非常必要的,以上仿真表明含多個(gè)或多種記憶元件的振蕩電路會(huì)產(chǎn)生復(fù)雜的混沌現(xiàn)象及豐富的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),故三種記憶元件均存在的混沌系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生更加龐雜的特性。因此,本文將設(shè)計(jì)的三種記憶元件引入混沌系統(tǒng)的研究是有重要意義的,這不僅可以推動(dòng)混沌理論的發(fā)展,還將拓寬記憶元件在非線性領(lǐng)域的應(yīng)用。

利用簡(jiǎn)單模型構(gòu)造復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò),這是目前混沌學(xué)研究的熱點(diǎn),例如圖像壓縮中將數(shù)量眾多的像素點(diǎn)進(jìn)行相對(duì)簡(jiǎn)單的保存、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中神經(jīng)元的構(gòu)建、保密通訊中數(shù)量眾多的通訊信息保存等都需要用簡(jiǎn)單來映射復(fù)雜,研究利用簡(jiǎn)單模型反應(yīng)復(fù)雜多樣的信息,不僅節(jié)省空間材料,更節(jié)省人力。目前簡(jiǎn)單模型的構(gòu)建包括Ivo[20]構(gòu)建的包括電感、電容和憶阻器在內(nèi)的串并聯(lián)電路,將憶阻器引入了分?jǐn)?shù)階蔡氏電路,并介紹了其仿真與穩(wěn)定性分析方法,結(jié)果表明利用分?jǐn)?shù)階微分方程使得方程總階數(shù)小于原方程,但仍能得到混沌,為混沌及超混沌的分析擴(kuò)展了思路;Xu[21]設(shè)計(jì)的包括電感、電容和憶阻器在內(nèi)的最簡(jiǎn)并聯(lián)電路將壓控憶阻器引入混沌系統(tǒng),分析得到該系統(tǒng)僅包含一個(gè)平衡點(diǎn),并且該憶阻器在參數(shù)變化時(shí)伏安特性會(huì)變?yōu)椤皫舶偷纳刃巍?。Xu等[22]設(shè)計(jì)了包括電阻、電容和憶感器在內(nèi)的最簡(jiǎn)并聯(lián)電路并進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析,觀察到其共存吸引子與瞬態(tài)混沌現(xiàn)象。Xu等[23]設(shè)計(jì)了包括憶阻器、憶感器和電容在內(nèi)的最簡(jiǎn)并聯(lián)電路并發(fā)現(xiàn)了眾多特性,包括平衡點(diǎn)穩(wěn)定性、共存吸引子、暫態(tài)混沌與暫態(tài)周期。本文沿用了Xu的思想,首先提出了壓控憶阻器、磁通控制憶感器、荷控憶容器的通用模型,構(gòu)建了包括憶阻器、憶容器與憶感器在內(nèi)的簡(jiǎn)單并聯(lián)電路,接著得到了一個(gè)五階超混沌系統(tǒng),仿真結(jié)果證明含三種記憶元件在內(nèi)的混沌電路可以振蕩出更加不同以往的復(fù)雜吸引子并具有更多樣的動(dòng)力學(xué)行為,該吸引子不同于常見的渦卷狀及不對(duì)稱性,而呈現(xiàn)類似“核桃”狀,并且具有一定對(duì)稱性,更加龐雜,立體新穎,并且其中某一參數(shù)對(duì)稱性變化時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)也會(huì)相應(yīng)對(duì)稱變化,而初始值的變化在混沌狀態(tài)下對(duì)系統(tǒng)并無影響,這是通向混沌道路過程中的一個(gè)新發(fā)現(xiàn),為混沌更易控制打下了基礎(chǔ)。

1 簡(jiǎn)單并聯(lián)記憶元件混沌系統(tǒng)

1.1 憶阻器、憶感器、憶容器的選取

與憶阻器類似,憶感器與憶容器的通用數(shù)學(xué)模型[24]均可表示為

式中:y(t)與u(t)表示網(wǎng)絡(luò)的輸出與輸入,是電路變量(電流、電壓、電荷及磁通);g是一個(gè)廣義響應(yīng)函數(shù);x是一個(gè)表征內(nèi)部狀態(tài)變量的n維矢量;f是一個(gè)用來表示˙x(t)的連續(xù)的n維向量函數(shù)。

所采用的通用數(shù)學(xué)模型分別為:

圖1 憶阻器的電壓-電流特性Fig.1 The voltage-current characteristic of the memristor

圖2 憶感器的磁通-電流特性Fig.2 The flux-current characteristic of the meminductor

由公式qC=CvC,選取vC=cos(20πt)、aC=20,bC=0.02,CC=5000,dC=0.001時(shí)得到的qC-vC曲線如圖3所示。

圖3 憶容器的電荷-電壓特性Fig.3 The charge-voltage characteristic of the memcapacitor

1.2 簡(jiǎn)單并聯(lián)記憶元件混沌系統(tǒng)的建立

由上述記憶元件,建立了如圖4所示的簡(jiǎn)單并聯(lián)記憶元件混沌系統(tǒng),僅由憶阻器、憶感器和憶容器組成。選取qC、xM、φL、xL、xC為狀態(tài)變量,根據(jù)電壓電流關(guān)系與基爾霍夫定律,可得電路狀態(tài)方程

圖4 混沌振蕩電路Fig.4 Chaotic oscillation circuit

式中:iM=(aMx2M-bM)vM+cM,iL=(aLxL+bL)φL,vC=(aCxC+bC)qC且 vM=vC。

對(duì)(9)式中五階混沌電路各電路變量和參數(shù)進(jìn)行無量綱化處理,令x=qC,y=RxM,z=φL,w=RxL,u=RxC,τ=t/RC,a=aCaMC/R2,b=aMbC/R,c=aCbMC,d=aLc,e=bCbMRC,f=bLRC,g=cMRC,h=aC2dMC/R,i=2aCbCdMC,j=bC2RC,k=eMRC,l=fMR2C,m=aCC,n=bCRC,o=cLRC,p=dLR2C,q=CCR2C,r=dCR2C,則方程(9)可以改寫為

選取參數(shù)如表1所示,初始值為(0.1,0.4,0.1,0.1,0.1),得吸引子如圖5所示,計(jì)算Lyapunov指數(shù)為L(zhǎng)E1=0.774,LE2=0.190,LE3=-0.001,LE4=-0.379,LE5=-0.983,其中LE1和LE2大于0,說明吸引子的軌道是按照指數(shù)倍進(jìn)行分離的,為超混沌;LE3約等于0,說明在時(shí)間方向上的吸引子,既無拉伸也無壓縮;LE4和LE5為負(fù)數(shù),說明吸引子的相體積為收縮,這樣保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的時(shí)域圖如圖6所示,顯示為貌似隨機(jī),且為非周期狀態(tài)。在y=0.5截面做龐加萊映射得圖7,觀察到圖形為成片的密集點(diǎn)。系統(tǒng)功率譜如圖8所示,為無明顯波峰的寬峰連續(xù)譜。這些均更進(jìn)一步證明了系統(tǒng)的混沌特性。

表1 Matlab仿真中的系統(tǒng)參數(shù)Table 1 System parameters for Matlab simulation

圖5 (a)x-y平面;(b)x-z平面;(c)混沌吸引子Fig.5 (a)x-y plane;(b)x-z plane;(c)Chaotic attractor

圖6 (a)x,(b)y,(c)z的時(shí)域圖Fig.6 Time domain waveform of(a)x,(b)y,(c)z

圖7 y=0.5時(shí)的Poincare截面Fig.7 Poincare section when y=0.5

圖8 系統(tǒng)(10)的功率譜Fig.8 Power spectrum of system(10)

2 動(dòng)力學(xué)分析

2.1 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

求得其特征值為 λ1=0.164、λ2=-0.082+0.143j、λ3=-0.082-0.143j、λ4=-0.299、λ5=-16,其中λ1是正實(shí)根,λ2、λ3是一對(duì)具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根,λ4、λ5是負(fù)實(shí)根,故該平衡點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍焦點(diǎn)。

2.2 參數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響

系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性會(huì)隨著系統(tǒng)參數(shù)的變化而變化,當(dāng)選取初始值為(0.1,0.4,0.1,0.1,0.1),除l外固定其余參數(shù),如表1所示。當(dāng)l在區(qū)間(-2,0)變化時(shí),得到分岔圖如圖9所示,觀察到系統(tǒng)從l=-2時(shí)的周期狀態(tài)出發(fā),在l=-1.14時(shí)出現(xiàn)倍周期分岔進(jìn)入擬周期狀態(tài),接著l到達(dá)-0.85時(shí)進(jìn)入混沌狀態(tài),當(dāng)l到達(dá)-0.30時(shí)系統(tǒng)再次進(jìn)入擬周期和周期狀態(tài),最后l到達(dá)-0.16時(shí)系統(tǒng)退出擬周期和周期狀態(tài),進(jìn)入混沌和超混沌狀態(tài);當(dāng)l在區(qū)間(0,2)時(shí),發(fā)現(xiàn)與區(qū)間(-2,0)時(shí)呈對(duì)稱狀態(tài),系統(tǒng)從混沌與超混度狀態(tài)出發(fā),當(dāng)l增至0.16時(shí)系統(tǒng)進(jìn)入擬周期和周期狀態(tài),接著當(dāng)l到達(dá)0.30時(shí)系統(tǒng)再次進(jìn)入混沌狀態(tài),l到達(dá)0.85時(shí)進(jìn)入倍周期分岔狀態(tài),l=1.14時(shí)進(jìn)入周期狀態(tài)。l在區(qū)間(0,2)內(nèi)的Lyapunov指數(shù)譜如圖10所示,與圖9對(duì)比發(fā)現(xiàn)變化基本一致,進(jìn)一步證明上述關(guān)于參數(shù)l的分析正確。據(jù)了解,這是首次對(duì)于能使系統(tǒng)呈現(xiàn)對(duì)稱性變化的參數(shù)進(jìn)行的分析,可將此種參數(shù)命名為對(duì)稱參數(shù)。

圖9 隨l變化的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram with l

圖10 隨l變化的Lyapunov指數(shù)Fig.10 Lyapunov exponents with l

2.3 初始值對(duì)系統(tǒng)的影響

據(jù)了解,初始值對(duì)于由磁控憶阻器構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)[25]有影響,但對(duì)于壓控憶阻構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)[21]卻無影響。為了解初始值是否對(duì)于三種記憶元件構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)存在影響,將固定參數(shù)如表1所示。當(dāng)y等于0時(shí),無論其余初始值如何變化,系統(tǒng)均發(fā)散。除此之外,其余初始值狀態(tài)下,取不同初始值如表2所示,Lyapunov指數(shù)均一致,系統(tǒng)均為超混沌狀態(tài),說明本系統(tǒng)在能發(fā)生混沌振蕩的情況下,初始值不影響系統(tǒng)狀態(tài)。

表2 不同初始值下的系統(tǒng)狀態(tài)Table 2 System states with different initial value

Continued

3 電路實(shí)現(xiàn)

為了避免數(shù)值仿真中的一系列混沌退化效應(yīng),利用Multisim設(shè)計(jì)了相應(yīng)電路,并進(jìn)行驗(yàn)證。建立的系統(tǒng)電路如圖11所示。利用改進(jìn)型模塊化設(shè)計(jì)方法,最大程度節(jié)省了元器件的使用與工作量,改進(jìn)型模塊化的設(shè)計(jì)方法是在模塊化設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)上,省去了微分-積分的環(huán)節(jié),主要包括變量比例壓縮變換和時(shí)間尺度變換,其中變量比例壓縮變換根據(jù)相圖是否超過一定范圍來決定是否壓縮(如選用VCC=12 V,VEE=-12 V,則相圖范圍超過10.6,即需要壓縮);時(shí)間尺度因子需要根據(jù)不同的狀態(tài)方程與實(shí)際情況來選擇,時(shí)間尺度因子越大,則在時(shí)間域內(nèi)的變化速度越快,圖像越密集,相反,尺度因子越小,則變化速度越慢,圖像越稀疏。圖中采用運(yùn)算放大器U1、U2(LM741)、乘法器、線性電容、線性電阻等元器件構(gòu)建電路。運(yùn)算放大器與電容組合實(shí)現(xiàn)了反向積分功能,運(yùn)算放大器與電阻組合實(shí)現(xiàn)了反相器功能,乘法器用來實(shí)現(xiàn)電路中的非線性項(xiàng)。其中反相器電路中各電阻Ri(i=8,9,14,15,18,19,22,23,26,27)=10 kΩ,Ci(i=1,2,3,4)=100 nF,選取VEE,VCC=±12 V,故運(yùn)放的線性工作范圍為±10.6 V,不需作變量比例壓縮變換,時(shí)間尺度因子τo=100。如圖11所示,系統(tǒng)(10)的電路方程為

圖11 系統(tǒng)(10)的電路Fig.11 Circuit of system(10)

經(jīng)過改進(jìn)型模塊化設(shè)計(jì)方法后的標(biāo)準(zhǔn)化方程為

得到各元件參數(shù)為R1=7.4 mΩ,R2=333.33 kΩ,R3=22.22 mΩ,R4=10 mΩ,R5=100 kΩ,R6=100 kΩ,R7=1 mΩ,V1=0.1 V,R10=1.65 mΩ,R11=37.04 kΩ,R12=3.33 kΩ,R13=6.25 kΩ,R16=2.22 mΩ,R17=10 kΩ,R20=333.33 kΩ,R21=1 mΩ,V2=-0.01 V,R24=333.33 kΩ,R25=1 mΩ,V3=-0.01 V.電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果如圖12、圖13所示,其結(jié)果與圖5、圖6一致,故本系統(tǒng)具有切實(shí)可行性。

圖12 模擬電路中觀察到的吸引子Fig.12 Attractors observed in analog circuit

圖13 模擬電路中的(a)x,(b)z時(shí)域圖Fig.13 Time domain waveform of(a)x,(b)z observed in analog circuit

4 結(jié)論

提出了一種包含憶阻器、憶感器、憶容器在內(nèi)的五階混沌系統(tǒng),對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真得到一個(gè)類似“核桃”的吸引子,經(jīng)過時(shí)域圖、Lyapunov指數(shù)分析、龐加萊截面和功率譜等分析證實(shí)本系統(tǒng)為混沌系統(tǒng),具有良好的混沌特性;經(jīng)過動(dòng)力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)對(duì)稱性參數(shù)l的存在及系統(tǒng)對(duì)初始值的不敏感性;最后進(jìn)行電路實(shí)現(xiàn),圖像與相圖吻合良好。說明了本系統(tǒng)設(shè)計(jì)引入的三種元件確為記憶元件,達(dá)到了記憶元件應(yīng)得的典型效果,為今后憶阻器、憶感器和憶容器的實(shí)物模型制作奠定了基礎(chǔ),其中憶感器與憶容器雖為記憶元件,但與憶阻器的本質(zhì)區(qū)別是它們?yōu)閮?chǔ)能元件,從物理角度來看,電容器,電感線圈都包含了場(chǎng)能量,對(duì)于磁控的憶阻器也包含了場(chǎng)能量,能量變化這一問題十分重要且能突出記憶元件的特性,因此基于三種記憶元件的場(chǎng)能量演化問題將是下一步的研究目標(biāo)。說明了本系統(tǒng)在眾多應(yīng)用領(lǐng)域,如保密通訊、圖像壓縮、電子測(cè)量等方面具有潛在應(yīng)用價(jià)值,下一步將對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行混沌控制方面的研究,并對(duì)串并聯(lián)等復(fù)雜電路可振蕩出的記憶元件混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究。