立體幾何初步常見典型考題賞析

■何 偉

立體幾何中的概念、公理、定理是同學們需要掌握的核心知識。下面就空間幾何體的結構特征、簡單幾何體的表面積與體積、空間點線面的位置關系,以及直線、平面的平行和垂直關系,進行舉例分析,供同學們參考。

題型一：空間幾何體的結構特征、表面積和體積

掌握空間幾何體的結構特征,靈活運用幾何體的表面積、體積公式是解答這類問題的關鍵。多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理;旋轉(zhuǎn)體的表面積注意其側(cè)面展開圖的應用;求復雜幾何體的體積常用割補法、等積法。

例1學生到工廠勞動實踐,利用3D 打印技術制作模型,如圖1,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6cm,AA1=4cm,3D 打印所用原料密度為0.9g/cm3。不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為_____g。12(cm3),所以該模型的體積為144-12=132(cm3),所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9=118.8(g)。

圖1

跟蹤訓練1：如圖2 所示,已知三棱柱ABC-A′B′C′,側(cè)面B′BCC′的面積是S,點A′到側(cè)面B′BCC′的距離是a,求三棱柱ABC-A′B′C′的體積。

圖2

題型二：與球有關的切、接問題

與球相關問題的解題策略:作適當?shù)慕孛?如軸截面等),對于球內(nèi)接長方體或正方體,則截面一要過球心,二要過長方體或正方體的兩條體對角線,才有利于解題;對于“內(nèi)切”和“外接”問題,首先要弄清幾何體之間的相互關系,主要是弄清特殊的點線面之間的關系,然后把相關的元素放到這些關系中來解決。

例2設A,B,C,D是同一個半徑為4的球的球面上四點,△ABC為等邊三角形且其面積為9 3,則三棱錐D-ABC體積的最

圖3

設球的半徑為r1。在Rt △CDE中,DE=2r1,CE=R-r,DC=R+r。

由勾股定理得4r21=(R+r)2-(Rr)2,解得r1=,故球的表面積S球=4πr21=4πRr。

(方法2)設球心為O,球的半徑為r1。在Rt△AOB中,OF是斜邊AB上的高。由相似三角形的性質(zhì)得OF2=BF·AF=Rr,即r21=Rr,解得r1=。故球的表面積S球=4πRr。

題型三：空間角的計算問題

求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來計算,求空間角的計算步驟:一作,二證,三計算。求異面直線所成的角,常用平移轉(zhuǎn)化法(即轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角);求直線與平面所成的角,常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影)。二面角的平面角的作法常有三種,即定義法,垂線法,垂面法。

例3如圖4,在三棱臺ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC。

圖4

(1)證明:EF⊥DB。

(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值。

跟蹤訓練3：如圖5 所示,已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長為1,B′C∩BC′=O。

圖5

求:(1)AO與A′C′所成角的大小。

(2)AO與平面ABCD所成角的正切值。

(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小。

題型四：平面的基本性質(zhì)

點線確定平面的條件:由點確定平面,即三點不共線;由點和線確定平面,即點不在直線上;由線確定平面,即兩條相交線、兩條平行線。證明點或線共面的兩種方法:由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合。證明點共線的兩種方法:先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;直接證明這些點都在同一條特定的直線上。證明線共點的方法:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點。

圖6

跟蹤訓練4：如圖7 所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分 別 是AB和AA1的中點。

圖7

求證:CE,D1F,DA三線共點。

提示：連接EF,CD1,A1B。由EF//CD1,EF＜CD1,可得CE與D1F必相交,設交點為P。由P∈CE,CE?平面ABCD,可得P∈平面ABCD。

同理可得,P∈平面ADD1A1。又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直線DA,所以CE,D1F,DA三線共點。

題型五：線面、面面平行關系的應用

根據(jù)兩平行直線確定一個平面,可以證明共面問題,其實質(zhì)是證明直線平行。線面平行的判定定理是由線線平行得到線面平行,性質(zhì)定理是由線面平行得到線線平行,因此線線平行與線面平行可以相互轉(zhuǎn)化,也體現(xiàn)了平面和空間平行關系的相互轉(zhuǎn)化。關于平行條件的探究:根據(jù)面面平行的性質(zhì)得出交線互相平行,從而可以確定交線的位置,進而作出交線,這是面面平行性質(zhì)的典型應用;線面平行時,一是尋找與面內(nèi)直線平行的直線,二是構造平行平面,那么平面內(nèi)任意直線與另一個平面平行。

例5如圖8,在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的平面是_____。

圖8

解：取CD的中點E,則EM∶MA=1∶2,EN∶BN=1∶2,所以MN//AB。因為MN?平面ABD,MN?平面ABC,AB?平面ABD,AB?平面ABC,所以MN//平面ABD,MN//平面ABC。

跟蹤訓練5：如圖9 所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為AA1中點,點P在側(cè)棱CC1上運動,當點P滿足條件_____時,A1P//平面BCD。

圖9

提示：取CC1的中點P。在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為AA1中點,點P在側(cè)棱CC1上運動,所以當點P是CC1的中點時,A1P//CD。因為A1P?平面BCD,CD?平面BCD,所以A1P//平面BCD。答案為點P是CC1的中點。

題型六：線面、面面垂直關系的應用

證明線面垂直的思路與方法:分析已知的垂直關系,得出能夠推出的線線、線面垂直,即挖掘已知條件,以方便后續(xù)證明;證明垂直關系時往往需要采用逆向思維,如證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b,可考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β;掌握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化。證明面面垂直,只需證明線面垂直,即在其中一個平面內(nèi)尋找一條直線與另一個平面垂直,這是證明面面垂直的常用方法。定義法證明面面垂直:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直。熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是解題的常規(guī)思路,垂直關系證明的核心是線面垂直,準確找到要證明的直線是關鍵,再利用線線垂直進行證明。

例6如圖10所示,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a＞0),PA⊥平面ABCD,且PA=1。

圖10

(1)若BC邊上恰有一點Q,使得PQ⊥QD,則a的取值是____。

(2)若BC邊 上 存 在 點Q,使 得PQ⊥QD,則a的取值范圍是____。

解：利用以AD為直徑的圓與BC的關系解題。因為PA⊥平面ABCD,QD?平面ABCD,所以PA⊥QD。又因為PQ⊥QD,PA∩PQ=P,所以QD⊥平面PAQ,所以AQ⊥QD。

(1)當a=2時,以AD為直徑的圓與BC相切于BC的中點Q,此時∠AQD=90°,所以BC邊上存在一點Q,使得PQ⊥QD。故所求a=2。

(2)當a＞2時,以AD為直徑的圓與BC相交于點Q1,Q2,此時∠AQ1D=∠AQ2D=90°,故BC邊上存在兩點Q(即Q1與Q2),使PQ⊥QD,所以a≥2,即a∈[2,+∞)。

跟蹤訓練6：如圖11 所示,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD= 2,BD⊥CD,將其沿對角線BD折成四面體A-BCD(如圖12),使平面ABD⊥平面BCD,則下列說法中不正確的是( )。

圖11

圖12

A.平面ACD⊥平面ABD

C.平面ABC⊥平面ACD

D.AD⊥平面ABC

提示：對于A,因為平面ABD⊥平面BCD,平 面ABD∩平 面BCD=BD,BD⊥CD,所以CD⊥平面ABD,所以平面ACD⊥平面ABD,A 正確。對于B,CD⊥平面ABD,AB?平面ABD,所以AB⊥CD,B 正確。對于C,易得AB⊥AD,AB⊥CD,又AD∩CD=D,所以AB⊥平面ACD,所以平面ABC⊥平面ACD,C 正確。對于D,若AD⊥平面ABC,則AD⊥AC,這時與CD⊥AD矛盾,D 錯誤。應選D。

題型七：點到平面的距離問題

高考對立體幾何的考查主要有兩個方面,一是探究空間直線、平面的平行與垂直關系;二是與計算有關的綜合性問題。點到平面的距離問題是高考的?？碱}型。

圖13

題型八：探索性問題

對命題條件的探索常采用三種方法:先猜后證,即先觀察與嘗試給出條件再證明;先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件,再證明其充分性;把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,探索命題成立的條件。對命題結論探索的常用方法:首先假設結論存在,然后在這個假設下進行推理論證,如果通過推理得到了合乎情理的結論,就肯定假設,如果得到了矛盾的結論,就否定假設。

例8如圖14 所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O為底面ABCD的中點,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,當平面D1BQ//平面PAO時,則點Q( )。

在回家的路上，我們又看到奇特的一幕。天空出現(xiàn)了微紅的太陽。陽光灑在高速公路兩旁的大樹上，讓那些秋葉更加金黃。我想，就用這秋葉代替那紅罌粟，獻給曾為國家民族做出過貢獻的人們。于是，我口占一首七言絕句。詩云：

圖14

A.與C重合

B.與C1重合

C.為CC1的三等分點

D.為CC1的中點

解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,由O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,可得PO//BD1。當點Q為CC1的中點時,則PQ■AB,可知四邊形ABQP是平行四邊形,所以AP//BQ。由AP∩PO=P,BQ∩BD1=B,可得平面D1BQ//平面PAO。應選D。

跟蹤訓練8：如圖15所示,一張A4紙的長、寬分別為2 2a、2a,A,B,C,D分別是其四條邊的中點。

圖15

現(xiàn)將其沿圖中虛線折起,使得P1,P2,P3,P4四點重合為一點P,從而得到一個多面體。下列關于該多面體的命題,正確的是____。(寫出所有正確命題的序號)

①該多面體是三棱錐;②平面BAD⊥平面BCD;③平面BAC⊥平面ACD;④該多面體外接球的表面積為5πa2。

提示：由(2a)2+(2a)2=4a2,可知該多面體是以A,B,C,D為頂點的三棱錐,點P在棱BD上,如圖16,①正確。

圖16

由AP⊥BP,AP⊥CP,BP∩CP=P,可得AP⊥平面BCD。由AP?平面BAD,可得平面BAD⊥平面BCD,②正確。同理可證,平面BAC⊥平面ACD,③正確。通過構造長方體可得該多面體的外接球半徑R=,所以該多面體外接球的表面積為5πa2,④正確。正確的序號為①②③④。

題型九：最值問題

有關空間幾何體最值問題的兩種求法:觀察圖形特征,確定取得最值的條件,計算出最值;設出未知量,建立函數(shù)關系,利用基本不等式求出最值。

例9如圖17,已知長方體ABCDA1B1C1D1的體積V=12,AB=2,若四面體A-B1CD1的外接球的表面積為S,則S的最小值為( )。

圖17

A.8π B.9π C.16π D.32π

解：設BC=x,BB1=y。由于V=12,

跟蹤訓練9：(1)若四面體各棱的長是1或2,且該四面體不是正四面體,則其體積的值為_____(只需寫一個可能值)。

(2)四面體ABCD中,AC⊥AD,AB=2AC=4,BC=2 5,AD=2 2,當四面體的體積最大時,其外接球的表面積是_____。

提示：(1)由題意可構造出兩類滿足條件的四面體:五條邊長為2,另一邊長為1,或?qū)庀嗟鹊乃拿骟w。四面體ABCD,如圖18。

圖18

感悟與提高

1.如圖19,四邊形ABCD和四邊形ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,則異面直線AP與BD所成的角為_____。

圖19

提示:由題意可將原圖補成正方體ABCD-QGHP(圖 略),連 接GP,則GP//BD,所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角。在△AGP中,因為AG=GP=AP,所以∠APG=。

2.如圖20 所示,P為平行四邊形ABCD所在平面外一點,M,N分別為AB,PC的中點,平面PAD∩平面PBC=l。

圖20

(1)判斷BC與l的位置關系,并證明你的結論。

(2)判斷MN與平面PAD的位置關系,并證明你的結論。

提示:(1)結論:BC//l。

因為AD//BC,BC?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC//平面PAD。

又BC?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以BC//l。

(2)結論:MN//平面PAD。

取CD的中點Q,連接NQ,MQ,MN,則NQ//PD,MQ//AD。因為NQ∩MQ=Q,PD∩AD=D,所 以 平 面MNQ//平 面PAD。又 因 為MN?平 面MNQ,所 以MN//平面PAD。