2021年新高考全國(guó)I卷第21題的探究

廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué)(528315)林國(guó)紅

一、題目呈現(xiàn)

題目(2021年新高考全國(guó)I 卷第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知點(diǎn)點(diǎn)M滿足|MF1|?|MF2|=2,記M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)T在直線上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

試題主要考查雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程,直線方程,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,圓錐曲線中的定值問(wèn)題等;解題思想方法方面主要考查轉(zhuǎn)化與化歸,數(shù)形結(jié)合等思想.綜合考查考生邏輯思維、推理論證及運(yùn)算求解等方面的能力,試題的思維過(guò)程和運(yùn)算過(guò)程體現(xiàn)了能力立意的思想,較好地體現(xiàn)了解析幾何中核心內(nèi)容和基本思想方法的考查.本題對(duì)于考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí),尋找合理的解題策略以及推理論證和運(yùn)算能力有較高的要求.

由于問(wèn)題(1)較為簡(jiǎn)單,本文不作討論,下面對(duì)問(wèn)題(2)進(jìn)行解答與探究.

二、解法探究

評(píng)注本解法的運(yùn)算量雖不小,但方法是解析幾何中的常用方法,這種通性通法在數(shù)學(xué)解題中有重要作用.所以在平時(shí)的教學(xué)中要注重一般性的解題規(guī)律和方法(即通性通法),要重視知識(shí)的生成過(guò)程,盡量創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生探究知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

三、問(wèn)題的提出

經(jīng)過(guò)解后反思,我們提出如下問(wèn)題:

問(wèn)題1在試題的問(wèn)題(2)中,直線改為x=m,直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為多少?

問(wèn)題2在試題的問(wèn)題(2)中,若將雙曲線一般化,直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為多少?

問(wèn)題3在試題的問(wèn)題(2)中,若將雙曲線改為橢圓或拋物線,結(jié)論是否有變化?

四、試題的背景探析

要回答上述問(wèn)題,可以從試題的命題背景進(jìn)行分析.

1 圓冪定理

圓冪定理是平面幾何中的一個(gè)重要定理,是相交弦定理、切割線定理、割線定理的統(tǒng)稱.

(1)相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等.

(2)切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).

(3)割線定理 從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A,B;C,D,則有PA·PB=PC·PD.

2 圓冪定理的逆定理

(1)兩條線段AB和CD交于點(diǎn)P,若PA·PB=PC·PD,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

(2)共端點(diǎn)P但不共線的兩條射線上有兩點(diǎn)A,B和C,D,若PA·PB=PC·PD,則A,B,C,D四點(diǎn)共圓.

(3)共端點(diǎn)P但不共線的兩條射線,其一條上有兩點(diǎn)A,B,另一條上有一點(diǎn)C,若滿足PA·PB=PC2,則圓ABC和射線PC相切于點(diǎn)C.

圓冪定理多用來(lái)解決線段的乘積式與比例式相關(guān)的問(wèn)題,而圓冪定理的逆定理多用來(lái)解決四點(diǎn)共圓以及圓與直線相切的問(wèn)題.

3 二次曲線中的四點(diǎn)共圓

結(jié)論1若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(ab)有四個(gè)交點(diǎn),則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的斜率均不存在或這兩條直線的斜率均存在且互為相反數(shù).

由于兩條直線的斜率均不存在的情形較為簡(jiǎn)單,下面中只對(duì)兩條直線的斜率均存在的情形進(jìn)行證明.

證明設(shè)兩條直線li:y?y0=ki(x?x0)(i=1,2),由l1,l2組成的曲線為C:[y?y0?k1(x?x0)]·[y?y0?k2(x?x0)]=0.從而,經(jīng)過(guò)C與Γ 的四個(gè)交點(diǎn)的二次曲線一定能表示成以下形式(λ,μ不同時(shí)為0):

必要性若四個(gè)交點(diǎn)共圓,則存在λ,μ使方程①表示圓,故方程①左邊展開(kāi)式含xy項(xiàng)的系數(shù)?μ(k1+k2)=0.當(dāng)μ=0 時(shí),方程①表示曲線,不表示圓,從而μ0.所以k1+k2=0.

充分性當(dāng)k1+k2=0 時(shí),方程①左邊的展開(kāi)式是不含xy的項(xiàng),取μ=1 時(shí),令方程①左邊的展開(kāi)式中含x2,y2項(xiàng)的系數(shù)相等,即得.將μ=1,代入①,整理得

方程②所表示的曲線有且僅有三種情形:一個(gè)圓,一個(gè)點(diǎn),無(wú)軌跡.因?yàn)樗膫€(gè)交點(diǎn)在曲線②上,故方程②表示圓.所以四點(diǎn)共圓.

綜上,結(jié)論1 得證.

結(jié)論2若兩條直線與二次曲線Γ:ax2+by2+cx+dy+e=0(ab)有四個(gè)交點(diǎn),則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是這兩條直線的傾斜角互補(bǔ).

結(jié)論2 的證明可參照結(jié)論1 的證明過(guò)程,詳細(xì)的證明過(guò)程不再贅述.顯然,試題是以圓冪定理的逆定理及結(jié)論1 為背景命制的:因?yàn)閨TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,由圓冪定理的逆定理,可得A,B,P,Q四點(diǎn)共圓.且直線AB,PQ存在斜率,由結(jié)論1,即得直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.另外,從上述分析可知,試題的結(jié)論對(duì)于橢圓或拋物線也成立,具有一般性,這也解答了上文給出的三個(gè)問(wèn)題.

五、追本溯源

人教A 版數(shù)學(xué)選修4-4《坐標(biāo)系與參數(shù)方程》第38 頁(yè)例4 及其變式.

例4 如圖,AB,CD是中心為點(diǎn)O的橢圓的兩條相交弦,交點(diǎn)為P.兩弦AB,CD與橢圓長(zhǎng)軸的交角為∠1,∠2,且∠1=∠2.求證:|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

變式探究 把橢圓改為雙曲線,是否會(huì)有類(lèi)似的結(jié)論?

問(wèn)“題”那得清如許,唯有源頭活水來(lái),可以看出今年考題問(wèn)題(2)的“母題”來(lái)源于課本的例題,高考題只是將例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?賦于更豐富的知識(shí)而已.立足教材,選編教材原題,生成教材變題,是高考命題的一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí),這體現(xiàn)了高考命題的公平性和基礎(chǔ)性原則.因此,高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)立足于教材,鉆研教材,深刻領(lǐng)悟教材中數(shù)學(xué)知識(shí)的作用和蘊(yùn)含的人文素養(yǎng)價(jià)值;活用教材,對(duì)教材中有潛在本質(zhì)規(guī)律的材料、例題、習(xí)題進(jìn)行歸納、類(lèi)比、拓展,充分挖掘,將其價(jià)值發(fā)揮出來(lái),從而實(shí)現(xiàn)教材教學(xué)功能的最大化、最優(yōu)化.

六、高考與競(jìng)賽鏈接

圓具有豐富的幾何性質(zhì),它與圓錐曲線之間有著千絲萬(wàn)縷的內(nèi)在聯(lián)系.圓的性質(zhì)的應(yīng)用是近幾年高考命題中體現(xiàn)“在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)問(wèn)題”這一思路的良好素材,倍受命題者青睞,也應(yīng)引起我們足夠的重視.為了凸現(xiàn)考題的有跡可循,把握復(fù)習(xí)的側(cè)重點(diǎn),提高復(fù)習(xí)效率,下面給出部分相關(guān)的高考與競(jìng)賽試題,以供參考.

1.(2002年高考江蘇卷第20 題)設(shè)A,B是雙曲線上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn).

(1)求直線AB的方程;

(2)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C,D兩點(diǎn),那么A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓?為什么?

2.(2005年高考湖北卷理科第21 題)設(shè)A,B是橢圓3x2+y2=λ上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C,D兩點(diǎn).

(1)確定λ的取值范圍,并求直線AB的方程;

(2)試判斷是否存在這樣的λ,使得A,B,C,D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上?并說(shuō)明理由.

3.(2011年高考全國(guó)I 卷理科第21 題)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為橢圓C:在y軸正半軸上的焦點(diǎn),過(guò)F且斜率為的直線l與C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P滿足.

(1)證明:點(diǎn)P在C上;

(2)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Q,證明A,P,B,Q四點(diǎn)在同一圓上.

4.(2014年高考全國(guó)卷理科第21 題)已知拋物線C:y2=2px(p >0)的焦點(diǎn)為F,直線y=4 與y的交點(diǎn)為P,與C的交點(diǎn)為Q,且.

(1)求C的方程;

(2)過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),若AB的垂直平分線l′與C相交于M,N兩點(diǎn),且A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上,求l的方程.

(1)求橢圓E的方程;

(2)設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段A,B的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D.證明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

6.(2009年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇省復(fù)賽第3 題)已知拋物線y2=2x及點(diǎn)P(1,1),過(guò)點(diǎn)P的不重合的直線l1,l2與此拋物線分別交于點(diǎn)A,B,C,D.證明:A,B,C,D四點(diǎn)共圓的充要條件是直線l1與l2的傾斜角互補(bǔ).

7.(2014年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖北省預(yù)賽第12 題)設(shè)A,B是雙曲線上的兩點(diǎn),點(diǎn)N(1,2)是線段AB的中點(diǎn),線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C,D兩點(diǎn).

(1)確定λ的取值范圍;

(2)試判斷A,B,C,D四點(diǎn)是否共圓?并說(shuō)明理由.

七、結(jié)束語(yǔ)

高考試題是精心之作,每年的高考題在命題角度、題型、難度等方面都進(jìn)行了充分考慮,是知識(shí)、能力和思想方法的載體,具有典型性、示范性和權(quán)威性.高考試題除了具有測(cè)試與選拔功能外,還具有良好的教學(xué)功能,要了解高考動(dòng)向、把握高考脈搏,高考試題的研究是重要的路徑.

數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō):與其窮于應(yīng)付繁瑣的數(shù)學(xué)內(nèi)容和過(guò)量的題目,還不如適當(dāng)選擇某些有意義的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘題目的各個(gè)方面,在指導(dǎo)學(xué)生解題的過(guò)程中,提高他們的才智與推理能力.所以教師對(duì)要對(duì)高考試題做深入的分析與研究,要跳入題海多做題多思考,才能做到融會(huì)貫通、信手拈來(lái),并幫助學(xué)生跳出題海.對(duì)高考試題的深度探究,不僅使教師清晰地理解命題人的思想、命題背景和考查目的,還可以更好地培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì),提高學(xué)生提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).