例析數(shù)列有界性證明問題的解題策略

浙江省湖州市菱湖中學(xué)(313018)吳凱

浙江省湖州市教育科學(xué)研究中心(313000)王勇強

數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中最經(jīng)典的內(nèi)容之一,具有豐富的內(nèi)涵和外延,特別是數(shù)列有界性證明問題,可以溝通函數(shù)、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)、積分等內(nèi)容之間的聯(lián)系,常受到高考命題者的青睞.在數(shù)列有界性的證明中,通常會運用數(shù)學(xué)歸納法和放縮法這兩大主要方法,相對于數(shù)學(xué)歸納法而言,放縮法的思想方法更加靈活多變,其中包含:放縮為等差(等比)數(shù)列、放縮為裂項相消、放縮為錯位相減等常規(guī)數(shù)列求和模型方法,除了要熟練運用數(shù)列問題的基本方法,如構(gòu)造等差等比數(shù)列、迭代、累加、累乘等基本方法之外,還需要能夠綜合運用執(zhí)果索因的分析方法,采用逆向思維,巧妙進行拆項、添項、留項等解題策略.本文將針對精度要求較高的不等式放縮證明問題來研究數(shù)列有界性的解題策略,以供讀者參考.

策略1 逆求通項,對比分析

點評通過逆向反求通項,可有效抓住求和的本質(zhì)原因,對比分析左右兩邊通項與通項之間的關(guān)系,找到等價命題,它是解決復(fù)雜數(shù)列放縮題型的一種重要策略.

策略2 先猜后證,構(gòu)造界限

策略3 構(gòu)造函數(shù),運用性質(zhì)

策略4 切線放縮,以直代曲

圖1

圖2

圖3

點評將數(shù)列看成特殊的函數(shù),利用函數(shù)思想,考慮原函數(shù)在某個特殊點位置處的切線方程,以直代曲形成放縮,有時為了計算簡便,也可以考慮過原點且數(shù)值較簡潔的相離直線代替切線作為界限,在不失精度的情況下,亦能實現(xiàn)證明.

結(jié)束語

除了以上四種解題策略,數(shù)列有界性問題還可以從定積分的角度來求證.但是對于定積分不做高考要求的部分省份而言,考生有必要學(xué)習(xí)并掌握以上這些初等的解題策略以開闊眼界,提升分析問題與解決問題的能力.筆者謹以此拋磚引玉,以期精妙之法.另外,教師在教學(xué)中,若能將如何發(fā)現(xiàn)和提出問題、如何分析數(shù)學(xué)問題、如何構(gòu)建研究問題的方法和策略以及掌握解決問題的基本思想方法等作為主要的教學(xué)目標,盡量讓學(xué)生每解完一題,就努力去思考和總結(jié),力求加深對數(shù)學(xué)核心概念的理解和解題思想方法的感悟,就會在解題中學(xué)會解題,從而真正提高教學(xué)效率[1].