中立切換系統(tǒng)在異步切換下的指數(shù)穩(wěn)定性

齊齊哈爾大學(xué) 李明俠

切換系統(tǒng)是眾多系統(tǒng)中特殊的一種動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，它是由有限個(gè)離散的或者連續(xù)的子系統(tǒng)和一個(gè)切換信號(hào)組成。這個(gè)切換信號(hào)是用來組織和協(xié)調(diào)這些子系統(tǒng)進(jìn)行有序的切換。近幾十年，切換系統(tǒng)在控制論中的應(yīng)用越來越廣泛[1-6]。時(shí)滯是切換系統(tǒng)中較常見的現(xiàn)象，因此在研究切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題時(shí)要將時(shí)滯考慮在內(nèi)。

在現(xiàn)有的時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性條件中，根據(jù)是否依賴系統(tǒng)中時(shí)滯的大小，可以將穩(wěn)定性條件分為時(shí)滯獨(dú)立和時(shí)滯依賴兩類[6]。其中時(shí)滯依賴穩(wěn)定性條件具有更小的保守性。已有的文獻(xiàn)中只規(guī)定了一個(gè)上界，但是這種規(guī)定在工程中不一定成立。在實(shí)際工程應(yīng)用中，時(shí)滯可能會(huì)更大地超過這個(gè)上界，我們稱之為大時(shí)滯。而較大時(shí)滯在系統(tǒng)中的出現(xiàn)往往導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，因此研究含有大時(shí)滯子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常必要的[7]。

另外，外部擾動(dòng)也是減少建模與實(shí)際系統(tǒng)的誤差的又一必要的因素。簡(jiǎn)言之，在切換系統(tǒng)的研究中，可以利用時(shí)滯和擾動(dòng)來控制系統(tǒng)，可以提高系統(tǒng)的控制效率，進(jìn)而降低保守性。文獻(xiàn)[5]研究了一類中立切換系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定性。異步控制指的是各個(gè)控制器間的切換滯后于系統(tǒng)模型，其主要原因是在實(shí)際操作中，控制器需要一定的時(shí)間去識(shí)別系統(tǒng)模型，進(jìn)而產(chǎn)生了異步。

到目前為止，對(duì)于切換系統(tǒng)異步切換下鎮(zhèn)定問題已經(jīng)被廣泛研究，但是對(duì)于含有大時(shí)變時(shí)滯的切換系統(tǒng)在異步切換下的研究還不夠深入。文獻(xiàn)[1]對(duì)于線性切換系統(tǒng)在異步切換下的穩(wěn)定性問題進(jìn)行了分析；文獻(xiàn)[4]討論了在異步切換下具有混合時(shí)滯的切換系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定性?；谏鲜霈F(xiàn)實(shí)，帶有非線性擾動(dòng)的時(shí)滯切換系統(tǒng)在異步切換下的指數(shù)穩(wěn)定性受到越來越多的關(guān)注。

對(duì)于帶有非線性擾動(dòng)的時(shí)滯切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析雖然已經(jīng)取得了一些成果，但是還不夠深入和完善。因此，在此類系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究方面還需要更多的努力，才能更好的服務(wù)社會(huì)。本文通過構(gòu)造李雅普諾夫克拉索夫斯基函數(shù)，運(yùn)用Jessen不等式和平均駐留時(shí)間方法，以線性矩陣不等式的形式，分別給出了大時(shí)滯系統(tǒng)在控制器匹配和不匹配的情況下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的充分條件。

1 問題描述

考慮如下非線性中立切換系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；u(t)∈Rn是控制輸入；A1i、A2i、Ci、Di是已知的適當(dāng)維數(shù)矩陣；σ(t):0,∞→M=｛1,2,…,l｝為切換信號(hào)；時(shí)變時(shí)滯d(t)和h(t)滿足下式：0≤d1

構(gòu)造一個(gè)無記憶狀態(tài)反饋控制器式（2）：u(t)=Kσ′(t)x(t),這里，{(t0，σ(t0))，(t1+Δ1，σ(t1))，…，(tk+Δk，σ(tk))，…}延遲時(shí)間Δk≤Γ。由式（2）閉環(huán)式（1）系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：0≤h1≤h(t)≤h2<∞,

引理1：對(duì)于正定對(duì)稱矩陣M∈Rn×n和常量γ>0,如果存在一個(gè)向量函ω:[0,r]→Rn,則下列不等式成立：。

2 主要結(jié)果

2.1定理1

對(duì)于給定常數(shù)α>0，β>0，i，j∈M，i≠j，如果存在正定對(duì)稱矩陣Pi,R1i,R2i,Q1i,Q2i滿足下式：

這里:

則異步切換下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定。

2.2證明

t∈[tk-1+Δk-1，tk)和t∈[tk，tk+Δk)的情形。

2.2.1 當(dāng)t∈[tk-1+Δk-1，tk)時(shí)，構(gòu)造lyapunov函數(shù)

在此區(qū)間內(nèi)，σ′(t)=σ(t)=i,對(duì)V1i(t)求導(dǎo)并結(jié)合0≤d1

由引理1得：

2.2.2 當(dāng)t∈[tk,tk+Δk)時(shí),構(gòu)造lyapunov函數(shù)

在此區(qū)間內(nèi)，σ′(t)=σ(t)=j,對(duì)V1i(t)求導(dǎo)并結(jié)合0≤d1

由引理1得：

同理,當(dāng)t∈[tk+Δk,tk+1)時(shí),我們有:

這里:

因此:

系統(tǒng)(1)指數(shù)穩(wěn)定。

3 結(jié)語

近些年切換系統(tǒng)仍然備受關(guān)注，而穩(wěn)定性作為系統(tǒng)的一個(gè)重要特性，仍是系統(tǒng)研究的一個(gè)熱點(diǎn)問題。由于時(shí)代的發(fā)展和科技的進(jìn)步，系統(tǒng)模型的復(fù)雜程度日益增高，對(duì)所研究問題的精確程度也越來越高?？刂破髟谙到y(tǒng)的穩(wěn)定性研究中起著非常重要的作用，而子系統(tǒng)與控制器的匹配要花費(fèi)一定的時(shí)間，因此控制器之間的切換往往滯后于子系統(tǒng)之間的切換，進(jìn)而引發(fā)異步切換問題。到目前為止，切換系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題已經(jīng)得到了廣泛的研究。

本文研究了一類非線性中立切換系統(tǒng)在異步切換下的指數(shù)穩(wěn)定性，通過選取適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫—克拉索夫斯基函數(shù)，運(yùn)用平均駐留時(shí)間方法和積分不等式，在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上得到了更為復(fù)雜的非線性中立切換系統(tǒng)在異步切換下系統(tǒng)指數(shù)穩(wěn)定的條件。

切換系統(tǒng)依然有許多問題函待解決，本文所討論的對(duì)于含有非線性擾動(dòng)的時(shí)滯切換系統(tǒng)的研究只是初步的，還有許多問題需要進(jìn)一步研究：離散的非線性時(shí)滯切換系統(tǒng)的相關(guān)問題。本文所研究的系統(tǒng)是連續(xù)的切換系統(tǒng)，未對(duì)離散的切換系統(tǒng)加以討論。日后會(huì)對(duì)離散的非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題加以分析；理論聯(lián)系實(shí)際。由于切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題與實(shí)際問題的聯(lián)系非常緊密，若此類問題的研究?jī)H限于理論的研究是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，如何將切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論應(yīng)用于實(shí)際問題并將所研究理論服務(wù)于實(shí)際問題是今后值得深入研究的；在今后的研究中會(huì)在理論的基礎(chǔ)上加入仿真，以更清晰地說明文章的結(jié)論的正確性。