基礎激勵下帶金屬外層的多黏彈性層纖維增強層合板的動力學模型

李暉 榮萬崇 劉洋 李小彭 官忠偉

摘要： 以包含三層黏彈性材料、二層纖維增強材料和金屬外層的多黏彈性層纖維增強（MVFLM）層合板為例，建立其在基礎激勵作用下的動力學模型。將坐標系設置在層合板結構的中心層，使用高階剪切變形理論（考慮多個黏彈性層的剪切應變影響）和經(jīng)典層合板理論分別對纖維層和金屬層進行建模，進而獲得MVFLM層合板的位移場函數(shù);將基礎激勵等效成均布慣性力載荷，基于能量法獲得系統(tǒng)的動能、勢能和外力功，并利用正交多項式法表示邊界條件對應的振型函數(shù)，成功求解具有多個黏彈性層的MVFLM層合板的固有頻率、模態(tài)振型和振動響應;分別通過與已有計算結果進行對比以及實例測試，驗證了所建立的動力學模型的有效性。

關鍵詞： 動力學; 纖維增強層合板; 多黏彈性; 高階剪切變形

中圖分類號： TB301.2;TB334? ? 文獻標志碼： A? ? 文章編號： 1004-4523（2021）03-0610-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.03.019

引 言

隨著中國空軍對高性能運輸機、超音速戰(zhàn)斗機、高速直升機等飛行器的加速列裝以及動力裝備的升級換代，帶來了日益嚴峻的飛行器振動控制問題。帶金屬外層的多黏彈性層纖維增強 （multiple viscoelastic?layered fiber?reinforced laminate with outside metal?layers， MVFLM）復合材料是近年來出現(xiàn)的應用于航空航天結構上的一種新型的結構功能一體化材料[1?2]，由高分子黏彈性層與纖維樹脂層交替鋪設，并與金屬外層粘接而成，具有重量輕、減振降噪能力強、抗沖擊性能好、抗疲勞性能突出、耐腐蝕、易于維修、成本較低等諸多優(yōu)點，可在飛行器等武器裝備的振動及噪聲治理中發(fā)揮關鍵作用[3?4]。

目前，人們在關于帶黏彈性層的纖維增強層合板動力學特性的研究中，基本都是將黏彈性材料作為芯層。通常采用外層材料的位移來表達黏彈性芯層位移，且絕大多數(shù)建模與分析研究都局限在三層層合結構上。例如，Nayak等[5]應用高階剪切變形理論建立了以聚氯乙烯泡沫材料為核心的三明治板的理論模型，研究了材料性能、結構尺寸和自由、固支、懸臂等多種邊界條件對固有頻率特性的影響。Huang等[6]使用一階剪切變形理論推導了該類型三明治層合板的振動方程，討論了約束層厚度、黏彈性芯層厚度對固有頻率和損耗因子的影響。Yang等[7]使用一階剪切變形理論建立了帶黏彈性芯層的三明治層合板的理論模型，研究了邊界條件和纖維角度等參數(shù)對振動特性的影響。Cupia?和Nizio?[8]計算了帶黏彈性芯層的纖維/樹脂三層層合板在簡支邊界條件下的固有頻率和損耗因子，發(fā)現(xiàn)在彈性層剪切模量升高時，理論模型在無量綱固有頻率和損耗因子的計算上有一定的誤差。Araújo等[9]在簡支邊界下對具有頻率依賴性的三明治板（黏彈性材料為芯層）進行了解析建模，通過優(yōu)化各層厚度，纖維角度等變量，在自由振動條件下獲得了中心位移最小的最優(yōu)化參數(shù)。Lu等[10]分析了單點簡諧激勵下該類型三明治板在簡支邊界下的共振與非共振響應，并與NASTRAN軟件計算結果進行了對比，還分析了不同激勵點對響應的影響。Arvin等[11]基于有限元方法，計算了單點簡諧激勵下該類型三明治梁的強迫振動。Wang等[12]應用哈密頓原理推導出了該類型三明治板的控制方程，分析了黏彈性芯層彈性模量對固有頻率的影響，并得到了自由振動下水平和垂直方向的振動響應。

然而，人們針對MVFLM復合材料梁、板、殼結構的建模與分析研究較少。僅有Fujimoto等[13?14]測試獲得了帶有多個黏彈性夾層的纖維增強復合材料梁的自由衰減振動，并討論了黏彈性材料不同排布位置對彈性模量和損耗因子的影響。試驗表明，該類型結構具有較高的阻尼性能，多個黏彈性夾層可有效抑制拉伸載荷導致的材料失效，使極限荷載提高3%?15%。Fujimoto等[15]還研究了碳纖維增強三明治層合板（帶聚乙烯基材料芯層）的阻尼特性，通過測試驗證該類型層合板相對于傳統(tǒng)纖維材料板的阻尼性能優(yōu)勢，其所在的科研團隊[16]還對基于多層聚乙烯材料的碳纖維/樹脂層合梁結構進行了靜力學仿真與測試，并討論了材料損耗因子的溫度依賴性等問題。但上述研究缺乏建模分析過程與公式推導步驟，理論求解方式也含糊不清，且大部分集中在靜力學和材料的力學參數(shù)求解上。另外，Castel等[17]使用高階剪切變形理論建立了多層層合板結構的理論模型，但只用算例驗證了該模型在三層夾心板固有頻率計算上的有效性，并未對更復雜的多層結構進行建模和求解，也未關注振動響應問題。

通過上述文獻調(diào)研可知，在分析帶有多黏彈性層的纖維增強層合板結構的動力學問題時，建模中多采用纖維外層位移表達黏彈性芯層位移的方法，以達到減少未知數(shù)求解個數(shù)的目的。但該建模方法無法對三層以上的MVFLM層合板結構進行計算，建模的通用性不足，且并未考慮基礎激勵載荷的影響（實際工況下飛行器的復合材料蒙皮、地板、隔板等都可能受到基礎激勵載荷的作用）。為了解決上述問題，本文以包含三層黏彈性材料、二層纖維增強材料和金屬外層的MVFLM層合板為例，建立其在基礎激勵作用下的動力學模型。最后，對中間層分別為二層和三層的黏彈性材料的兩類MVFLM層合板進行實例研究，進而驗證理論模型的有效性。

1 理論模型

下面以包含三層黏彈性材料和二層纖維增強材料的MVFLM層合板為例，建立其在基礎激勵載荷作用下的動力學模型，如圖1所示。

將黏彈性層中面作為參考平面，并建立坐標系xoy ，并在板厚方向設置坐標軸z，板長為a，板寬為b，板厚為h，其中金屬層厚度為hm，黏彈性層厚度為hv，每個纖維層厚度均相同且為hf。該類型層合板受到基礎激勵載荷的作用，假設所關注的振動響應點為R（x0，y0）。另外，在纖維層中1代表纖維縱向，2代表纖維橫向，3代表垂直于1?2平面的方向，且纖維方向與整體坐標系x軸的夾角為θ。

首先，根據(jù)高階剪切變形理論，并考慮黏彈性層的剪切應變問題，將黏彈性層的位移場函數(shù)表示為[18]

式中 為高階項系數(shù)，和分別為中面法線以x和y為軸向的偏轉(zhuǎn)距離。

由于纖維層和金屬層的yz和xz方向上的剪切應變可以忽略。MVFLM層合板中存在黏彈性層，所以不能忽略中面層位移的影響。另外，假設纖維層，金屬層和黏彈性層結合緊密，則中面層位移，，可假設為同一個變量。所以纖維層和金屬層位移場可以簡化為

將已考慮x，y，yz，xz和xy方向影響的應力?應變表達式（6）和（7）代入（9）?（11）后，可分別獲得MVFLM層合板彎曲振動時各層的動能和應變能。

式中 M和N為Ritz法求解時對應的截斷系數(shù)，Amn，Bmn，Cmn，Dmn，Emn為待定Ritz參數(shù)，ω為角固有頻率，Pm（ξ）和Pn（η）為正交特征多項式。其具體的表達式為

式中 Bk和Ck為系數(shù)參數(shù)，?（ξ）和φ（η）為確定邊界條件的多項式函數(shù)，它們的表達式為

式中 W（ζ）為正交化過程中使用的加權函數(shù)，通常取1，而p，q，r，s的取值與層合板的邊界條件有關，可根據(jù)自由、簡支和固支不同的邊界條件分別取值為0，1，2。對于圖1中理論模型對應的懸臂邊界條件，p=2，q=r=s=0。

將式（18）代入到式（12）中，并分別令cos（ωt）=1和sin（ωt）=1，可得含有待定Ritz參數(shù)的最大動能，最大勢能和均布慣性力做功的最大值表達式為

根據(jù)參考文獻[19]，為保證足夠的計算精度，通常M和N取8，則K，M分別為5（MN）階方陣（即320階）。特征向量q由五個子向量組成，即q={A B C D E}，其中A=[A11 … Amn]，m=1，2，…，M;n=1，2，…，N;B，C，D，E與A形式相同。若使式（23）有解，則q的系數(shù)矩陣行列式需為0。如此，利用式（23）便可求得層合板的固有頻率和模態(tài)振型。再將計算獲得的特征向量q代入公式（16）中，便可獲得MVFLM層合板的各階模態(tài)振型。

接下來，對層合板的阻尼矩陣C進行求解。假設可利用測試技術，首先獲得模態(tài)阻尼比。由于比阻尼、模態(tài)損耗因子和之間有如下關系

則根據(jù)模態(tài)應變能法，可獲得模態(tài)損耗因子與材料各個方向損耗因子的關系如下

式中 表示MVFLM板總的應變能，表示材料在各個方向上的應變能。

如此，可將材料損耗因子矩陣（為對角矩陣），表示為

根據(jù)耗散能的定義，將其表示為

式中 為MVFLM板的體積。

根據(jù)參考文獻[20]，通過對式（27）中的Ritz參數(shù)進行求導，可獲得阻尼矩陣C。進一步，考慮基礎激勵載荷的影響，將式（14）和阻尼矩陣C代入到式（22）中，就可求得層合板的振動響應。由于通常實驗獲取的是絕對振動響應，其包括了結構自身的振動響應與基礎激勵位移之和。因此，可將基礎激勵下MVFLM層合板的振動響應表示為

2 實例研究

2.1 與文獻結果對比

以文獻[8]中所用的多層層合板為對象，使用本文的建模方法和求解公式，所獲得的簡支邊界條件下的固有頻率計算結果如表1所示，該層合板的長寬分別為a =304.8 mm，b=348.0 mm，纖維層厚度h1=h3=0.762 mm，黏彈性層厚度h2=0.254 mm，纖維層的彈性模量、剪切模量、泊松比和密度分別為E1=E3=68.9 GPa，黏彈性層的彈性模量、剪切模量、泊松比和密度分別為G2 =0.896 MPa。

通過對表1數(shù)據(jù)進行分析可知，本文與文獻[8]獲得的層合板前5階固有頻率偏差最大不超過6%，進而可初步證明本文模型及其計算方法的正確性。另外，需要說明的是，由于文獻[8]只給出了三層層合結構的固有頻率分析結果，本文為了方便對比，將第1部分建立的理論模型進行了退化處理，即在相同的層數(shù)下求解獲得其固有頻率。

2.2 實測結果對比

分別制備中間層為二層黏彈性材料和三層黏彈性材料的MVFLM層合板A和層合板B。其中，MVFLM層合板A的長、寬、厚尺寸分別，MVFLM層合板B的長、寬、厚尺寸分別270 mm×200 mm×2.35 mm各個金屬外層厚度為0.3 mm，材料為鈦合金，黏彈性層為0.5 mm，材料為ZN33，纖維層厚度為0.75 mm。

兩種MVFLM層合板的鋪層數(shù)量及鋪設方式如表2所示。纖維層材料為TC500碳纖維/E21環(huán)氧樹脂，鋪設參數(shù)為，共有5層，每個鋪層具有相同的厚度和纖維體積分數(shù)。纖維縱向彈性模量，纖維橫向彈性模量，泊松比，剪切模量G12=G13=G23=4 GPa，密度。黏彈性層彈性模量，泊松比，剪切模量，密度。金屬層彈性模量Em=108 GPa，剪切模量，泊松比，密度。

首先，在懸臂邊界下進行實驗，利用PCB 086C01模態(tài)力錘對兩類MVFLM層合板進行模態(tài)測試，實驗系統(tǒng)如圖2所示，通過LMS采集分析儀分別記錄脈沖激勵信號和Polytec PDV?100激光測振儀獲得的響應信號，再利用LMS Test.Lab 14A軟件生成頻響函數(shù)后，可利用PolyMax法辨識出懸臂邊界下MVFLM層合板各階模態(tài)參數(shù)，表3，4和5分別列出了測試獲得的板A和板B的前6階固有頻率、模態(tài)振型和阻尼結果（為了節(jié)省篇幅，板B的振型未給出）。同時，為了方便比較，將利用Matlab程序計算獲得的MVFLM層合板固有頻率和振型結果也一并列入表3和4中。

然后，搭建圖3所示的實驗系統(tǒng)來測試兩類MVFLM層合板的振動響應。采用金盾EM?1000F電磁振動臺對其進行基礎激勵，仍采用非接觸激光測振儀獲取響應信號（激光測點位置如圖2所示）。實驗時，需選取包含各階固有頻率的頻率范圍進行正弦掃頻測試，在記錄獲得原始時域信號并經(jīng)過分時段FFT變換操作后[21?22]，可獲得相應的頻譜圖。進一步，對頻譜曲線峰值或指定的頻率點（對應于非共振頻率）進行辨識，可獲得各階共振響應和非共振響應結果。以獲取第1階和第2階共振響應為例，圖4給出了1g基礎激勵幅度下測試獲得的頻譜曲線。

最后，將在表5中通過測試獲得的阻尼結果代入到分析模型中并生成阻尼矩陣，并在相同的激勵幅度和響應測點位置，對兩類MVFLM層合板的共振及非共振響應進行計算。表6和7給出了1g激勵幅度下實驗測試和理論計算獲得的兩類MVFLM層合板對應的共振及非共振響應結果，并給出理論與測試的誤差。

通過對上述結果進行分析可知：（1） 利用該理論模型計算獲得的MVFLM層合板A的固有頻率最大誤差為9.8%，層合板B的固有頻率計算誤差最大也不超過9.3%，且計算獲得的模態(tài)振型形態(tài)與測試振型相一致，由此可知該模型在分析MVFLM層合板固有特性時具有較高的計算精度;（2） 計算獲得的MVFLM層合板A的共振響應的最大誤差為14.3% （板B最大誤差12.5%），非共振響應的最大誤差為14.3% （板B最大誤差為14.9%）。由此可知，通過引入測試獲得的模態(tài)阻尼比后，利用該模型計算獲得的MVFLM層合板的共振及非共振響應也處于誤差允許的范圍內(nèi)。這進一步驗證了該理論模型的有效性，可以利用其實現(xiàn)對MVFLM層合板動力學參數(shù)的可靠預測和分析。

但仍有必要對上述誤差的原因進行分析，其可能主要來自理論建模方面。由于在建模過程中忽略接觸層的層間應力，纖維層的橫向剪切應力、以及復合材料參數(shù)分散性的影響，并且由于理論模型中不同的材料層層數(shù)較多，導致模型簡化后每一層細小的誤差會產(chǎn)生累積。

3 結 論

本文采用理論與實驗相結合的方法，對兩種類型的MVFLM層合板的動力學參數(shù)進行了計算。通過與文獻[8]計算獲得的三層層合板固有結果進行對比后，發(fā)現(xiàn)結構的前5階固有頻率計算偏差最大不超過6%;通過與中間層分別為二層和三層黏彈性材料的MVFLM層合板的實際測試結果進行對比，發(fā)現(xiàn)兩類層合板的固有頻率最大誤差不超過9.8%，共振及非線性響應的計算誤差在7.7%?14.9%之間。上述計算分析誤差都處于可接受的范圍內(nèi)，因而證明了本文所建立的動力學模型及其分析方法的有效性。

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作者簡介： 李? 暉（1982-），男，博士，博士后，副教授。電話：13709850965;E-mail：lh200300206@163.com