小學(xué)生度量思維的本質(zhì)、表現(xiàn)與認(rèn)知基礎(chǔ)

劉加霞

北京教育學(xué)院初等教育學(xué)院院長，教育心理學(xué)博士，教授，教育部國培專家?guī)斐蓡T;提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)是一切教學(xué)法的根”“實(shí)證研究學(xué)生是有效教學(xué)的根本”“培訓(xùn)實(shí)質(zhì)是改變與創(chuàng)新”等觀點(diǎn)，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程·教材·教法》《中國教育學(xué)刊》《中小學(xué)管理》《人民教育》《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》《小學(xué)教學(xué)》等期刊發(fā)表論文百余篇，著作有《小學(xué)數(shù)學(xué)有效教學(xué)》《小學(xué)數(shù)學(xué)有效學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)》《小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)》等。

數(shù)學(xué)教育中常說的“度量”與著名歷史事件——“統(tǒng)一度量衡”中的“度（dù）”“量（liànɡ）”二字以及人們?cè)谌粘Ｉ钪兴f的“測(cè)量”，既有聯(lián)系又有區(qū)別。這里的度、量、衡分別指測(cè)量物體長度、容積、輕重三個(gè)方面屬性的工具（標(biāo)準(zhǔn)）。測(cè)量主要指量的活動(dòng)及過程。當(dāng)下數(shù)學(xué)教育所說的“度量”（讀作“duó liánɡ”）更能反映這個(gè)詞匯的真正內(nèi)涵：對(duì)事物某種屬性進(jìn)行比較與量化表達(dá)的學(xué)問。這個(gè)詞強(qiáng)調(diào)通過測(cè)量或計(jì)算活動(dòng)，不但能獲知“量的大?。ńY(jié)果）”，更要理解“如何確定合適的測(cè)量單位或標(biāo)準(zhǔn)”?；诖?，學(xué)生在測(cè)量過程中感悟數(shù)學(xué)思想方法、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)原理的思考過程，就稱為度量思維。

那么，度量思維的本質(zhì)是什么？小學(xué)生的度量思維有哪些行為表現(xiàn)？度量的核心概念是“計(jì)量單位”，小學(xué)階段所學(xué)“計(jì)量單位”的邏輯結(jié)構(gòu)、邏輯起點(diǎn)是什么，是否有不同的進(jìn)階？為了回答這些問題，我們需要對(duì)“度量”一詞追根溯源，分析課程標(biāo)準(zhǔn)要求并研究學(xué)生學(xué)習(xí)度量領(lǐng)域內(nèi)容時(shí)的難點(diǎn)與思維路徑。

一、度量思維的本質(zhì)是確定測(cè)量單位與標(biāo)準(zhǔn)

從發(fā)生學(xué)角度看，度量源于比較，即事物某種可測(cè)屬性與事先確定的單位或標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較。被測(cè)量的事物里面包含的“單位”個(gè)數(shù)就是測(cè)量值?；诖?，度量思維的本質(zhì)是確定測(cè)量單位與評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。從語義學(xué)角度看，“度”的數(shù)學(xué)意義大于“量”的數(shù)學(xué)意義，即“度”蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，“量”主要指測(cè)量的活動(dòng)，是操作層面的內(nèi)容。

1.追溯“度”的內(nèi)涵演變，明晰度量思維的本質(zhì)

通過查閱古漢語字典、現(xiàn)代漢語詞典可知：“度（dù）”作為名詞，其本義是“伸張兩臂量的長短”，其長度叫作“一庹”。度也是尺丈的總稱，即用來“齊物之短長”的工具，也被引申為“經(jīng)過商談后所得到的‘標(biāo)準(zhǔn)”。度（duó）作為動(dòng)詞，本義指用“庹”測(cè)量的過程，又進(jìn)一步引申為“研討、商量‘標(biāo)準(zhǔn)的過程”，例如謀度、揣度。

因此，數(shù)學(xué)教育中的“度量”一詞應(yīng)該讀作“duó liánɡ”而不是“dù liánɡ”（量，作為動(dòng)詞讀作“l(fā)iánɡ”，作為名詞讀作“l(fā)iànɡ”），與“度量衡”中的“度量”含義不同、讀法也不同。度量思維的本質(zhì)是“經(jīng)過商量，確定‘標(biāo)準(zhǔn)”的過程，這是針對(duì)可度量的屬性而言。例如，面積的大小、聲音的強(qiáng)弱、跑得快慢、視力的好壞等。任何一個(gè)待測(cè)量的量一定與一個(gè)確定的數(shù)（測(cè)量值）具備一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。

日常生活中，事物的某些屬性不能被確定測(cè)量單位或標(biāo)準(zhǔn)，也就是說，不是任何屬性都可度量。也有能夠找到“標(biāo)準(zhǔn)”而不能用數(shù)值來表示“測(cè)量值”的事物，例如衡量軍階大小的上將、中將、少將、大校等。

2.人文科學(xué)中很多事物的屬性不可度量

一般說來，自然科學(xué)領(lǐng)域的事物屬性是可測(cè)量、可評(píng)價(jià)的。例如，人的視力是可度量的，是否近視、遠(yuǎn)視有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)。然而，人文科學(xué)領(lǐng)域中的事物屬性幾乎都不好確定測(cè)量單位與衡量標(biāo)準(zhǔn)。例如，人的責(zé)任心、愛、忠誠、胸懷等屬性，難以確定其測(cè)量單位或標(biāo)準(zhǔn)，是不可度量的。正如英國開爾文爵士所說：假如你能測(cè)量你所說的事物，并且把它用數(shù)值表示出來，那么你已了解該事物;假如你不能把該事物用數(shù)值表示，即表示你對(duì)該事物并不太了解，不管事物是什么，在思想上你已無法走上科學(xué)舞臺(tái)。有了度量，這個(gè)世界才可被精確表達(dá)、被結(jié)構(gòu)化（例如坐標(biāo)系思想）。

二、小學(xué)生度量思維的行為表現(xiàn)及水平

小學(xué)生的度量思維主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

1.判斷事物的某種屬性是否可測(cè)量

從理論上看，度量思維首先應(yīng)該體現(xiàn)在能夠判斷事物的哪些屬性可度，哪些不可度，即是否有明確的測(cè)量單位或標(biāo)準(zhǔn)。這個(gè)問題過于深?yuàn)W，是評(píng)判科學(xué)與非科學(xué)的一個(gè)指標(biāo)，屬于哲學(xué)層面的問題，不適合小學(xué)生尤其是低年級(jí)學(xué)生思考。如果學(xué)生到了高年級(jí)，尤其是學(xué)完所有關(guān)于量的內(nèi)容之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)問題。例如，俞正強(qiáng)老師在執(zhí)教六年級(jí)數(shù)學(xué)拓展課“度量天下”時(shí)，學(xué)生問“什么都可測(cè)量嗎”，有一名學(xué)生說“我媽媽說，人心不可測(cè)”，由此引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考并舉出現(xiàn)實(shí)生活中很多“不可測(cè)”的事物。思考可測(cè)與不可測(cè)問題是度量思維的最高級(jí)表現(xiàn)。

2.感悟測(cè)量單位的多樣化與統(tǒng)一性

度量思維第二個(gè)方面的表現(xiàn)是商量并確定測(cè)量單位或評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的過程與創(chuàng)造、靈活選擇測(cè)量工具進(jìn)行測(cè)量。體驗(yàn)測(cè)量單位的多樣性、統(tǒng)一性以及靈活選擇合適的單位解決問題是度量思維的高階表現(xiàn)。從歷史上看，測(cè)量物體的長度時(shí)，可以自創(chuàng)單位;為了便于溝通交流，才定義標(biāo)準(zhǔn)單位——米;為了提升測(cè)量精度以及方便表達(dá)，人們又創(chuàng)造了厘米、分米、毫米及千米等單位。

值得注意的是，學(xué)生已經(jīng)知道了測(cè)量長度的工具——各種尺子，以及國際標(biāo)準(zhǔn)單位——米、厘米等。那么，教學(xué)長度單元的第一課時(shí)，是否需要刻意讓學(xué)生自創(chuàng)單位來量一量課桌有多長、教室有多長呢？筆者認(rèn)為，第一課時(shí)不適合開展用自創(chuàng)測(cè)量單位進(jìn)行測(cè)量的活動(dòng)，而應(yīng)該尊重學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，教學(xué)認(rèn)識(shí)直尺（認(rèn)識(shí)厘米）并用直尺測(cè)量的內(nèi)容。用身體上的尺子（如庹、拃、咫尺、步等）或自創(chuàng)其他單位測(cè)量物品長度的內(nèi)容應(yīng)該在拓展課上進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)測(cè)量需要靈活選擇測(cè)量單位或標(biāo)準(zhǔn)。這樣設(shè)計(jì)有助于提升學(xué)生的度量思維水平。

3.如何數(shù)、測(cè)或算出測(cè)量單位的個(gè)數(shù)

度量思維第三個(gè)方面的表現(xiàn)是如何數(shù)、測(cè)或算出測(cè)量單位的個(gè)數(shù)，能夠評(píng)判數(shù)、測(cè)、算這三種方法的同與異，并根據(jù)現(xiàn)實(shí)需要靈活選擇某種方法。后兩者也是度量思維的高階表現(xiàn)。例如，學(xué)生能判斷有的問題用估測(cè)、估算即可解決，無需求出精確結(jié)果;會(huì)從數(shù)數(shù)、用工具測(cè)量或用公式計(jì)算中選擇合適的方法、利用合適的單位獲得測(cè)量值，以解決問題。

事實(shí)上，度量思維的每個(gè)方面的表現(xiàn)都有不同的層次水平，教學(xué)中不要求所有學(xué)生都達(dá)到“最高水平”。但由于義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)沒有清晰界定各層次水平的表現(xiàn)以及達(dá)到哪個(gè)水平算合格，即沒有學(xué)習(xí)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn);此外，各地區(qū)考試內(nèi)容的難度系數(shù)與水平要求也不同。這兩方面原因使教師的教學(xué)都是按照“最高標(biāo)準(zhǔn)”定位目標(biāo)，導(dǎo)致學(xué)與教的負(fù)擔(dān)加重。

三、小學(xué)階段的量的類別、結(jié)構(gòu)及認(rèn)知基礎(chǔ)

“常見的量”與“測(cè)量”是培養(yǎng)小學(xué)生度量思維的重要載體。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)這些量的學(xué)習(xí)要求不同，其所承載的培養(yǎng)學(xué)生度量思維的價(jià)值也不同。

1.小學(xué)階段的量的類別

小學(xué)階段所涉及的量主要有三類：第一類是課程標(biāo)準(zhǔn)中所稱的“常見的量（人民幣、時(shí)間、質(zhì)量）”。學(xué)習(xí)這個(gè)內(nèi)容時(shí)，度量思維主要體現(xiàn)在第三個(gè)方面——如何數(shù)、測(cè)或算出測(cè)量單位的個(gè)數(shù)。比如，“時(shí)間”這個(gè)量的教學(xué)，課程標(biāo)準(zhǔn)只要求認(rèn)識(shí)時(shí)間單位、掌握單位之間的進(jìn)率關(guān)系和簡單換算，并不需要學(xué)生討論、商量時(shí)間單位的問題。

第二類是五種常用、常見的幾何量，包括長度、面積、體積、容積、角度。度量思維的第二個(gè)、第三個(gè)方面的表現(xiàn)在這五種量的學(xué)習(xí)中都有相應(yīng)要求。這五種幾何量的度量結(jié)構(gòu)相似，均以長度為基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)與對(duì)比分析這五種量的相同與不同都是培養(yǎng)學(xué)生度量思維的重要載體。

第三類是“導(dǎo)出的”量，例如密度、速度、單價(jià)、工效、濃度等。學(xué)習(xí)這類量時(shí)不強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的度量思維，重在掌握“三個(gè)量”之間的數(shù)量關(guān)系，以解決實(shí)際問題。

2.五種常見幾何量的度量結(jié)構(gòu)

小學(xué)階段主要通過學(xué)習(xí)常見的幾何量培養(yǎng)學(xué)生的度量思維。這類量的度量結(jié)構(gòu)基本相同，如下圖所示。

在小學(xué)階段不討論長度、面積、體積等是否可測(cè)，而是默認(rèn)其可測(cè)。所以這些量都有計(jì)量單位，并且計(jì)量單位可以根據(jù)需要自定。為了表達(dá)與交流，需要?jiǎng)?chuàng)造標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)量單位;為了表達(dá)方便、測(cè)量更準(zhǔn)，需要?jiǎng)?chuàng)造更大或更小的單位。這促使標(biāo)準(zhǔn)單位體系的形成，以滿足人們傳播和交流度量結(jié)果的實(shí)際需求。

獲知量的大小有四種方法：數(shù)計(jì)量單位的個(gè)數(shù)、用工具測(cè)量、用公式計(jì)算，以及將不規(guī)則物體轉(zhuǎn)化為規(guī)則的可測(cè)量物體。通常我們所測(cè)量的都是連續(xù)的量，在測(cè)量過程中為了使測(cè)量結(jié)果更精準(zhǔn)，需要不斷地用更小的單位（將較大單位平均分成若干份以獲得更小的測(cè)量單位）來測(cè)量，因此，沒有最小的計(jì)量單位?；诖耍攘康慕Y(jié)果理應(yīng)用分?jǐn)?shù)表示，但由于分?jǐn)?shù)既不是十進(jìn)制的、也不是位值制的，不便于比較大小和計(jì)算，所以現(xiàn)實(shí)生活中我們基本都用有限小數(shù)表示測(cè)量結(jié)果。

3.長度是形成度量思維的認(rèn)知基礎(chǔ)

對(duì)多少的感知和對(duì)距離遠(yuǎn)近的感知這兩種本能，是人能夠度量的認(rèn)知基礎(chǔ)。也就是說，對(duì)“長度”的抽象與想象，即對(duì)一維空間的度量是形成度量思維的前提和基礎(chǔ)。

度量物體的長度是建立前述度量結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生度量思維的源頭。長度度量單位的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時(shí)間，承載著度量單位由多元到統(tǒng)一、由粗略（自創(chuàng)單位）到精細(xì)（國際通用單位）的發(fā)展過程。求長度的方法主要是數(shù)單位個(gè)數(shù)與用尺子測(cè)量，沒有計(jì)算公式。在長度的基礎(chǔ)上“定義”面積、體積單位，這樣在學(xué)習(xí)面積、體積內(nèi)容時(shí)，就不需要讓學(xué)生經(jīng)歷由“不統(tǒng)一單位”到“統(tǒng)一單位”的過程，直接用公式計(jì)算圖形的面積、體積最方便快捷。

學(xué)習(xí)度量具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和數(shù)學(xué)意義，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和能力。例如，學(xué)生可以自制測(cè)量面積的工具，感悟面積計(jì)算公式與自創(chuàng)測(cè)量工具之間的本質(zhì)聯(lián)系，體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中沒有測(cè)量面積的工具的合理性等。正如史寧中教授所說：度量是數(shù)學(xué)的本質(zhì)，是人創(chuàng)造出來的數(shù)學(xué)語言，是人認(rèn)識(shí)、理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的工具。大數(shù)學(xué)家龐加萊也有過類似的論述：如果沒有測(cè)量空間的工具，我們便不能構(gòu)造空間。因此，培養(yǎng)學(xué)生的度量思維非常重要。

責(zé)任編輯? 劉佳