基于正交分解的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)可觀性分析

趙友國(guó)，劉尚偉，王冠中，徐海柱，李富偉，逄 春

（1.東方電子股份有限公司，山東 煙臺(tái) 264000；2.浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310008）

0 引言

大規(guī)模隨機(jī)波動(dòng)的新能源發(fā)電設(shè)備正廣泛改變傳統(tǒng)可控/可計(jì)劃的電網(wǎng)運(yùn)行模式，其中，新能源并網(wǎng)功率的隨機(jī)性、間歇性導(dǎo)致電力系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)難以準(zhǔn)確估計(jì)，對(duì)EMS（能量管理系統(tǒng)）的功能實(shí)施帶來(lái)了挑戰(zhàn)[1]。量測(cè)數(shù)據(jù)的可觀性分析是保證狀態(tài)估計(jì)有效實(shí)施的前提，當(dāng)量測(cè)數(shù)據(jù)不完全可觀時(shí)，可以提供可觀孤島等信息，進(jìn)而指導(dǎo)量測(cè)裝置的選址，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)量測(cè)數(shù)據(jù)的完全可觀。有必要指出，隨著中國(guó)電力事業(yè)的快速發(fā)展，高壓網(wǎng)架的可觀性已滿足狀態(tài)估計(jì)需求，但對(duì)于海量節(jié)點(diǎn)的中低壓網(wǎng)架，特別是配電網(wǎng)絡(luò)，由于節(jié)點(diǎn)數(shù)量大、投資成本高，當(dāng)前尚未將數(shù)據(jù)測(cè)量覆蓋至每一個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此仍有必要研究狀態(tài)估計(jì)的可觀性問題，這對(duì)于構(gòu)建成本可控的配電網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)估計(jì)系統(tǒng)具有實(shí)際意義。

針對(duì)狀態(tài)估計(jì)可觀性分析的研究可以追溯到上世紀(jì)70 年代，E.E.Fetzer 等將現(xiàn)代控制理論中的可觀性概念引入到電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計(jì)問題，通過將線性系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)過程置零，證明了電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計(jì)的可觀性本質(zhì)上與線性系統(tǒng)可觀性保持一致[2]。

可觀性分析的方法主要分為圖論類方法和數(shù)值計(jì)算法。電力系統(tǒng)靜態(tài)狀態(tài)估計(jì)的可觀性概念建立以后，首先發(fā)展的是圖論類方法[3]。圖論類方法將量測(cè)裝置獲得的數(shù)據(jù)與輸電網(wǎng)絡(luò)的線路相互關(guān)聯(lián)，通過量測(cè)裝置數(shù)據(jù)覆蓋到的線路能否組成連通樹來(lái)判斷系統(tǒng)的可觀性。圖論類方法幾乎不用進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，具有形象直觀、應(yīng)用簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì)[4]，但其所得結(jié)果不能與數(shù)值計(jì)算保持完全一致，導(dǎo)致在一些復(fù)雜場(chǎng)景下結(jié)果不夠準(zhǔn)確[5]。數(shù)值計(jì)算法直接對(duì)狀態(tài)估計(jì)方程組的雅可比矩陣H[6]及其增益矩陣HTH 或者Gram 矩陣HHT[7-8]進(jìn)行分析，檢驗(yàn)矩陣是否奇異，若奇異則認(rèn)為系統(tǒng)不完全可觀。但考慮到實(shí)際系統(tǒng)的雅可比矩陣具有非常高的維數(shù)，且不具有稀疏性，因此數(shù)值計(jì)算法面臨的主要挑戰(zhàn)是計(jì)算效率低。為提高數(shù)值計(jì)算法的效率，目前主要采用兩類研究辦法，分別是迭代法[9-10]和直接法[5]。迭代法通過迭代求解部分狀態(tài)變量的方式完成對(duì)增益矩陣或Gram矩陣的分解，并從結(jié)果中直接判定系統(tǒng)是否完全可觀。直接法則不進(jìn)行狀態(tài)變量的計(jì)算，轉(zhuǎn)而對(duì)矩陣直接分析，當(dāng)分析對(duì)稱矩陣如增益矩陣或Gram 矩陣時(shí)多采用矩陣三角分解的方式[7-8]，而對(duì)非對(duì)稱矩陣如雅可比矩陣進(jìn)行分析時(shí)多采用行/列變換的形式[11]。

為了進(jìn)一步降低狀態(tài)估計(jì)可觀性分析的計(jì)算負(fù)擔(dān)，本文從正交分解角度提出一種可觀性分析的直接法，該方法僅涉及到線性代數(shù)理論，便于工程應(yīng)用[12-14]。主要思路是將雅可比矩陣行空間進(jìn)行正交分解得到一組正交基，正交基的快速構(gòu)造利用了啟發(fā)式方法，若正交基的維數(shù)與狀態(tài)變量的數(shù)量一致，則系統(tǒng)完全可觀，否則需要補(bǔ)充量測(cè)數(shù)據(jù)，而量測(cè)數(shù)據(jù)的篩選也是通過正交分解的辦法進(jìn)行選擇。最后通過標(biāo)準(zhǔn)算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 旋轉(zhuǎn)變換與正交分解

從數(shù)學(xué)角度介紹所提算法的原理。按照從一般到特殊的順序，首先介紹旋轉(zhuǎn)變換，在此基礎(chǔ)上介紹線性空間關(guān)于向量、子空間的正交分解，最后闡明施密特正交化與正交分解之間的聯(lián)系。

1.1 旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換具有廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，如高斯消元等，了解其定義有助于深入認(rèn)識(shí)很多常見算法的共有屬性[15]。旋轉(zhuǎn)變換的定義式如下所述。

由式（1）可知，旋轉(zhuǎn)變換由兩個(gè)步驟組成，第一行是對(duì)作為旋轉(zhuǎn)軸的向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，改變其大??；第二行代表旋轉(zhuǎn)，將Hj中其余向量減去標(biāo)準(zhǔn)化后的旋轉(zhuǎn)軸向量的倍。

1.2 正交分解

假設(shè)存在向量uj≠0，令（向量uj和的內(nèi)積），k=1，…，n。若，則有下面結(jié)果成立：

式中：L（Hj）⊥為從子空間L（Hj）中分解出的關(guān)于向量uj正交的子空間，又稱uj的正交補(bǔ)空間。

下面介紹子空間L（Hj）關(guān)于子空間L（{u1，…，un}）的正交分解。

假設(shè)有子空間L（{u1，…，un}）。按照下標(biāo)順序依次對(duì)u1，…，un和L（H0）執(zhí)行正交分解步驟，可獲得L（H0）中關(guān)于L（{u1，…，un}）正交的子空間。具體地，若令并且，則：

可知，若對(duì)L（H0）和u1，…，uj依次執(zhí)行正交分解步驟，那么余下的就是子空間L（{u1，…，uj}）的正交補(bǔ)空間。此外，還有另外一個(gè)性質(zhì)，即：

式（6）說(shuō)明hj與uj除外的所有ui，i≠j 正交。

1.3 施密特正交化

給定子空間L（H0），其中，向量線性無(wú)關(guān)，目標(biāo)是得到L（H0）中一組單位正交基，則施密特正交化過程可以描述如下：

由步驟（1）—（3）可見，本文介紹的正交分解與施密特正交化具有類似對(duì)偶的關(guān)系，即正交分解是根據(jù)給定的L（{u1，…，un}）來(lái)求取其在L（H0）中的正交補(bǔ)空間，而施密特正交化則是從L（H0）的一組基中找到相互正交的{u1，…，un}。

通過本文對(duì)旋轉(zhuǎn)變換、正交分解的介紹，可以加深對(duì)施密特正交化的認(rèn)識(shí)，尤其是關(guān)于正交化與正交補(bǔ)空間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，有助于直觀理解下文所提可觀性算法的原理。

2 狀態(tài)估計(jì)與可觀性分析

高、中壓交流電網(wǎng)狀態(tài)估計(jì)的重點(diǎn)在于計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓的相角，故一些文獻(xiàn)采用直流潮流模型來(lái)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)及其可觀性分析，因此量測(cè)方程可表示為：

式中：H∈Rm×n為有功雅可比矩陣；θ∈Rn為節(jié)點(diǎn)電壓相角向量；z∈Rm為SCADA（數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控）系統(tǒng)的測(cè)量數(shù)據(jù)。當(dāng)系統(tǒng)配置有PMU（同步相量測(cè)量單元）時(shí)，z 中包含部分節(jié)點(diǎn)相角θ 的測(cè)量值或兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相角差，此時(shí)H 中對(duì)應(yīng)一行有唯一非零元1 或兩個(gè)非零元+1，-1。n 為測(cè)量數(shù)據(jù)和狀態(tài)變量的維數(shù)，m 為實(shí)際量測(cè)數(shù)據(jù)的維數(shù)。矩陣H 具體表示為向量形式如下：

式中：hi，i=1，…，m 為矩陣H 的行向量。

可觀性分析的目的在于判斷量測(cè)方程的數(shù)據(jù)采集是否滿足計(jì)算節(jié)點(diǎn)電壓相角向量θ 的要求，否則需要補(bǔ)充量測(cè)數(shù)據(jù)并增加方程組的方程數(shù)。當(dāng)量測(cè)方程完全可觀時(shí)，矩陣H 所張成的線性子空間將具有n 個(gè)正交基；若矩陣H 不可觀，從子空間中找到的正交向量組可用來(lái)恢復(fù)可觀性或計(jì)算可觀性孤島。下面介紹的可觀性分析算法便是上述思路的具體展開。

可觀性分析算法的輸出結(jié)果主要分兩方面，一方面是確定矩陣H 行向量中的線性無(wú)關(guān)部分，另一方面是給出矩陣H 行空間的一組正交基。若線性無(wú)關(guān)的向量數(shù)等于狀態(tài)變量數(shù)，那么系統(tǒng)完全可觀，并且余下行向量代表冗余的量測(cè)數(shù)據(jù)。

本文所提可觀性分析算法的具體步驟如下：

（1）首先初始化向量j=[j1，…，jm]T=0 和子空間X=span{0}。

（2）從矩陣H 中任選一行向量hk標(biāo)準(zhǔn)化為，令X1=span{u1}，j1=k。

（3）計(jì)算H 行向量（除hk以外）到子空間X1的投影，記投影為，以及投影與原向量的誤差（或者說(shuō)是hi到子空間X1的距離），記為，i=1，…，m。

（5）對(duì)向量組{u1，hj2}作施密特正交化處理，即，以及，進(jìn)而得到子空間X2=span{u1，u2}。若對(duì)X2重復(fù)步驟（3）—（4），同理可得j3和hj3。

（6）繼續(xù)上述步驟，給定向量組{u1，u2，…，hji}，并對(duì)上述向量進(jìn)行施密特正交化，可得對(duì)應(yīng)的子空間Xi=span{u1，ui}。

（7）對(duì)于j=1，…，m，向量hj對(duì)子空間Xi的投影為。

從幾何的角度看，上述算法步驟（2）—（10）本質(zhì)上是從H 行向量中選出距離子空間最遠(yuǎn)的一個(gè)作為新的基，將其加入子空間Xi并再次施密特正交化為一組新的正交基Xi+1，周而復(fù)始，得到H 行空間的一組正交基。利用最大距離來(lái)選擇行向量是一種啟發(fā)式方法，該方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算負(fù)擔(dān)小，因此可加快可觀性分析的速度。

從代數(shù)的角度看，上述步驟（2）—（10）與矩陣的QR 分解[7]在形式上十分接近，最大不同在于本文算法將雅可比矩陣H 的行向量重新進(jìn)行了排序，因此避免了矩陣求逆的操作，此外，也避免了矩陣迭代過程中由于部分行接近0 而附加的旋轉(zhuǎn)變換。

此外，聯(lián)系本文第一節(jié)的旋轉(zhuǎn)變換與正交分解的理論背景可知，所提算法過程不改變?cè)季仃嘓 行空間的維數(shù)，因而算法輸出的正交基的數(shù)量恰是行空間維數(shù)，若其與狀態(tài)變量數(shù)量一致，則系統(tǒng)完全可觀。

3 重構(gòu)可觀性的量測(cè)數(shù)據(jù)選擇方法

當(dāng)系統(tǒng)為不可觀系統(tǒng)且雅可比矩陣的階數(shù)為n-r 時(shí)，上述算法可用于補(bǔ)充篩選r 個(gè)量測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)重構(gòu)可觀的系統(tǒng)或n 階雅可比矩陣。此時(shí)，經(jīng)過步驟（1）—（10）所篩選出的正交的量測(cè)數(shù)據(jù)集合為Xn-r=span {u1，u2，…，un-r}，然后，以Xn-r為初始數(shù)據(jù)對(duì)其余量測(cè)數(shù)據(jù)所構(gòu)成的雅可比矩陣Hc繼續(xù)執(zhí)行算法步驟（6）—（10）直到篩選出的正交量測(cè)數(shù)據(jù)的數(shù)量達(dá)到n。至此，通過上文所提算法實(shí)現(xiàn)了不可觀系統(tǒng)的可觀性重構(gòu)。

4 仿真分析

4.1 5 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例分析

仿真分析的主要目的是驗(yàn)證基于正交分解的可觀性分析算法的有效性。首先采用某5 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[16]拓?fù)潋?yàn)證算法流程及結(jié)果的正確性，其量測(cè)裝置配置如圖1 所示，其中，3 號(hào)和5 號(hào)節(jié)點(diǎn)注入功率數(shù)據(jù)可測(cè)，線路4-5 和線路1-5 的有功潮流可測(cè)。

圖1 5 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

根據(jù)圖1 中的測(cè)量裝置配置情況，該系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)雅可比矩陣H 為：

矩陣H 的四列分別對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)1，2，4，5 的狀態(tài)變量（電壓相角），節(jié)點(diǎn)3 為平衡節(jié)點(diǎn)故不在此列。本文所提算法初始向量為矩陣H 的第一行，對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)3 的功率注入量測(cè)數(shù)據(jù)，此時(shí)有u1=[0，-0.71，-0.71，0]和j1=1。接著計(jì)算其余三行到X1=span{u1}的投影，可得對(duì)應(yīng)的誤差分別為。最大誤差對(duì)應(yīng)測(cè)量數(shù)據(jù)P5，繼續(xù)執(zhí)行算法流程，選擇向量h2，且j2=2，經(jīng)施密特正交化后得u2=[-0.43，0.21，-0.21，0.85]。計(jì)算矩陣H 的最后兩行向量到X2=span（u1，u2）的投影及誤差，。上面兩個(gè)誤差值相等，可選矩陣H 的最后一行h4，對(duì)其進(jìn)行施密特正交化后得u3=[-0.75，-0.45，0.45，-0.15]，計(jì)算h3到X3=span（u1，u2，u3）的投影及誤差，得，算法執(zhí)行到終止判據(jù)。最后輸出結(jié)果為j=[1，2，4]T，結(jié)論是系統(tǒng)不完全可觀。

若繼續(xù)補(bǔ)充量測(cè)數(shù)據(jù)以恢復(fù)系統(tǒng)可觀性，那么根據(jù)上面得到的X3=span（u1，u2，u3），計(jì)算候補(bǔ)量測(cè)數(shù)據(jù)到X3的投影與誤差，繼續(xù)執(zhí)行算法的（6）—（10）步，即可選擇最少的候補(bǔ)量測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)恢復(fù)系統(tǒng)可觀性。新增加的量測(cè)數(shù)據(jù)雅可比矩陣為：

重構(gòu)可觀性算法運(yùn)行后P2被選擇用于恢復(fù)可觀性。

4.2 118 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的算例分析

通過118 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[16]進(jìn)一步說(shuō)明本文所提算法的計(jì)算效率。當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到117 時(shí)，此時(shí)的收斂誤差為0.86，增加一次迭代后誤差收斂到5×10-5，繼續(xù)增加一次迭代誤差收斂到1.5×10-7，此外，當(dāng)前集合中正交的量測(cè)數(shù)據(jù)數(shù)量已經(jīng)達(dá)到118。由于118 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的雅可比矩陣階數(shù)不超過118，因此繼續(xù)增加迭代次數(shù)失去必要性。從迭代次數(shù)可見本文所提算法對(duì)于大規(guī)模電力系統(tǒng)拓?fù)渚哂辛己玫倪m應(yīng)性。

最后，有必要指出本文所提算法從矩陣行空間的角度進(jìn)行迭代，迭代次數(shù)不超過矩陣的行數(shù)，而以文獻(xiàn)[6]為代表的算法需將Gram 矩陣或增益矩陣進(jìn)行多次矩陣分解，每一次分解都需要將矩陣中的每一行進(jìn)行變換進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)角化或稀疏化，因此本文所提算法對(duì)于行向量的運(yùn)算次數(shù)最少。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于正交分解的狀態(tài)估計(jì)可觀性分析方法，該方法屬于直接法，從雅可比矩陣行空間及其正交基的角度，依托投影距離篩選量測(cè)數(shù)據(jù)，簡(jiǎn)化了可觀性分析的計(jì)算過程，便于實(shí)際工程應(yīng)用且易于被工程人員掌握。通過算例分析驗(yàn)證所提方法的有效性。