基于相平面法的一類瑞利方程的研究

周小燕,楊 惠，趙春艷，梁青青

(蘭州文理學(xué)院 傳媒工程學(xué)院， 甘肅 蘭州 730000)

自然界中很多現(xiàn)象都可以利用非線性振動(dòng)方程來描述,因此,求解非線性振動(dòng)方程就有非常重要的意義.目前已有多種求解非線性振動(dòng)方程的方法：如PL攝動(dòng)法[1-2]，平均法和漸進(jìn)法[3]，多尺度法[4]等,但這些方法都是對(duì)非線性振動(dòng)方程進(jìn)行定量研究.如果系統(tǒng)中有強(qiáng)非線性，則這些方法就不適用了，但可用相平面法來對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行研究.相平面法是研究非線性振動(dòng)的有效方法之一，它是一種幾何方法，也稱定性方法.它可將振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都表示在相平面上，可一目了然地了解運(yùn)動(dòng)情況.2000年，Wang和Yan[5-6]利用巧合程度理論從理論角度給出了含延時(shí)的非自治瑞利方程周期解的存在條件.2012年，呂堂紅[7]利用相平面法及其分支理論研究了具時(shí)滯物價(jià)瑞利方程的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，文章中就系統(tǒng)平衡點(diǎn)附近的穩(wěn)定性、局部Hopf分支的存在性發(fā)生條件等方面進(jìn)行了研究.基于文獻(xiàn)[8-10]，本文應(yīng)用相平面法研究了一類瑞利振子的平衡點(diǎn)和極限環(huán)，并且研究了不同ε情況下系統(tǒng)的振動(dòng)情況.

1 瑞利方程

英國(guó)數(shù)學(xué)物理學(xué)家Lord Rayleigh為了模擬蘆笛、簧片等單簧管的振動(dòng)提出了一個(gè)含非線性阻尼的振子方程，即瑞利方程：

(1)

當(dāng)f(t)=0時(shí)，方程變?yōu)橐籐ienard型方程，即：

(2)

在(1)(2)式中，A、B都為非線性系，考慮當(dāng)k=ω02,A=-ε,B=ε時(shí)方程(2)則變?yōu)椋?/p>

(3)

在(3)式中，其中ε是系統(tǒng)中的非線性相互作用系數(shù)，ω0表示系統(tǒng)的頻率.

2 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其相跡

非線性方程解的形式或性質(zhì)與其定態(tài)解的穩(wěn)定性密切相關(guān)，所以研究其定態(tài)解的穩(wěn)定性是非常必要的，而描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程的解是否穩(wěn)定，主要取決于系統(tǒng)在擾動(dòng)下偏離此解所表征的狀態(tài)能否回到此狀態(tài).為此，李雅普諾夫提出判斷動(dòng)力系統(tǒng)的兩種方法，即李雅普諾夫直接法和李雅普諾夫間接法，本文將依照后者對(duì)系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析.

2.1 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)

(4)

顯然，(4)僅有一個(gè)平衡位置(u*,v*)=(0,0).根據(jù)李雅普諾夫間接法(即線性穩(wěn)定性分析法)可知，非線性方程(4)的雅可比矩陣為:

(5)

因而系數(shù)矩陣(5)的行列式必須滿足條件：

(6)

方程(6)所對(duì)應(yīng)的特征方程為：

λ2-λε+ω02=0.

(7)

由方程(7)得到對(duì)應(yīng)的特征根為：

(8)

下面根據(jù)特征根的各種不同情況，討論系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近相跡的分布規(guī)律，并決定奇點(diǎn)的各種類型.為方便討論，令q=ω02,p=-ε.

(1)當(dāng)p2-4q≥0時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)存在兩個(gè)相異的實(shí)根λ1,λ2.

如果λ1,λ2為同號(hào)時(shí)，此時(shí)奇點(diǎn)為結(jié)點(diǎn).當(dāng)特征根全為負(fù)時(shí),(即p<0，q<0)結(jié)點(diǎn)是穩(wěn)定的.當(dāng)特征根全為正時(shí)，(即p<0，q>0)結(jié)點(diǎn)是不穩(wěn)定的.

當(dāng)兩個(gè)根λ1,λ2是符號(hào)相異的實(shí)根時(shí)，(即p<0,q<0)這種情況下,奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)，平衡位置是不穩(wěn)定的.因?yàn)樵诒疚闹惺冀K有q=ω02>0,所以平衡位置是結(jié)點(diǎn)且不穩(wěn)定.

(2)當(dāng)q=ω02>0,p2-4q≤0時(shí)，此時(shí)兩個(gè)根λ1,λ2為復(fù)數(shù)，此時(shí)平衡點(diǎn)為為焦點(diǎn)或螺旋點(diǎn).當(dāng)p<0時(shí)，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn).當(dāng)p>0時(shí)，為不穩(wěn)定焦點(diǎn).

2.2 振動(dòng)系統(tǒng)的相跡

為了研究系統(tǒng)相跡，由方程(4)中兩式相除即可得到系統(tǒng)相跡的微分方程：

(9)

為了得出瑞利系統(tǒng)(9)的相跡圖形，利用Mathematica軟件對(duì)方程(9)編程，進(jìn)而得出圖1.

圖1 不同ε值時(shí)系統(tǒng)的相跡

由圖1可知，系統(tǒng)存在一個(gè)極限環(huán)，其形狀不僅和系統(tǒng)的非線性特征有關(guān)，而且還和數(shù)值ε的大小有關(guān).可以從圖1中看到不同ε時(shí)極限環(huán)的形狀變化.同時(shí)不同ε值時(shí)都得到一個(gè)孤立的封閉相跡(即極限環(huán)),無論起始條件在何處，經(jīng)過一段時(shí)間后運(yùn)動(dòng)都向極限環(huán)趨近.極限環(huán)的形狀取決于參數(shù)ε的大小,當(dāng)ε→0時(shí)，極限環(huán)趨近于一個(gè)圓，這與線性保守系統(tǒng)的封閉相跡相對(duì)應(yīng).隨著ε的增大，極限環(huán)的形狀和圓的差別就越來越大.當(dāng)ε>0，所有相跡不論從環(huán)外還是環(huán)內(nèi)都趨近于極限環(huán),因此ε>0時(shí)極限環(huán)是穩(wěn)定的.

當(dāng)ε<0時(shí)的情況如圖2所示，發(fā)現(xiàn)隨著ε參數(shù)的變化，所有的相跡都將從環(huán)外或環(huán)里離開極限環(huán)，此時(shí)極限環(huán)是不穩(wěn)定的.

圖2 當(dāng)ε<0系統(tǒng)的相跡

2.3 系統(tǒng)的振動(dòng)情況

為了研究系統(tǒng)振動(dòng)情況的變化，利用Mathematica軟件對(duì)方程(3)編程,做出了不同ε情況下，u隨時(shí)間t振動(dòng)的圖形，如圖3所示.從圖3中發(fā)現(xiàn)隨著ε增大，振動(dòng)波形較簡(jiǎn)諧波的失真也越大，振動(dòng)規(guī)律與正弦型運(yùn)動(dòng)的偏離也愈大，當(dāng)ε=10時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)其快慢是極端不均勻的.

3 結(jié)束語(yǔ)

本文應(yīng)用李雅普諾夫間接法驗(yàn)證了瑞利方程的平衡點(diǎn)及其相跡所滿足的方程.利用Mathematica軟件實(shí)現(xiàn)了當(dāng)ε>0 和ε<0 時(shí)瑞利方程的極限環(huán)，并得出當(dāng)ε>0 時(shí)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，當(dāng)ε<0 時(shí)系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定.最后利用Mathematica軟件繪制了不同ε值時(shí)的系統(tǒng)振動(dòng)方程，結(jié)果顯示ε值越大系統(tǒng)的振動(dòng)波形較簡(jiǎn)諧波失真越大.本文中存在的不足之處是：把頻率對(duì)系統(tǒng)的影響考慮較少，在以后的研究中，要結(jié)合頻率綜合考慮整個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

圖3 不同ε時(shí)系統(tǒng)的振動(dòng)波形