一類一般隨機環(huán)境中單邊二重隨機游動的常返性

張 培

(宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 宿州 234000)

0 引言

M V kozlov[1]在20世紀(jì)70年代，首次給出隨機環(huán)境中的隨機游動(簡記RWRE)模型.后來Solomon[2]研究了全直線上的RWRE的若干性質(zhì).隨后諸多概率論工作者研究了隨機環(huán)境中的隨機游動，并且取得許多豐富的結(jié)果[3-5].然而隨機環(huán)境中隨機游動的推廣——隨機環(huán)境中的二重隨機游動卻很少有人研究.隨機環(huán)境中的二重隨機游動是物理學(xué)中的一個非常重要的模型，具有較強的實用意義.Toth B和Alili S較為系統(tǒng)地研究了二重隨機游動并得到若干結(jié)論[6-7]；汪榮明研究隨機環(huán)境中二重生滅鏈的馬氏性[8]；任敏研究了獨立隨機環(huán)境中單邊二重生滅鏈的常返性[9].本文作者研究了兩兩不相關(guān)隨機環(huán)境中單邊二重生滅鏈的常返性[10].

本文主要討論在0點上具有反射壁的一類一般隨機環(huán)境中單邊二重隨機游動的常返性，在環(huán)境滿足一定的條件下給出該模型的正常返和零常返的判別準(zhǔn)則.

1 定義與符號

定義1稱取值于非負(fù)整數(shù)集Z+={0,1,2,…}上的隨機過程{Xn,n≥0}是隨機環(huán)境中的單邊二重隨機游動，若

P(X0=0,X1=1)=1,P(Xn+1=k|X0=0,

X1=1,…,Xn-1=i,Xn=j)=Pij,k，

且

其中

0<βj,αj<1(j≥1),{βj}j≥1，{αj}j≥1

是隨機變量序列.

隨機變量序列e={βj,αj,j≥0}稱為隨機環(huán)境，其每個現(xiàn)實都稱為環(huán)境.

因為Xn是不可約的二重馬氏鏈，所以討論該二重隨機游動的常返性，只要討論在某一點的常返性.不失一般性討論0點的常返性.

記

2 主要結(jié)果及其證明

引理1[2]若對幾乎所有的環(huán)境{Xn,n≥0}都具有某一性質(zhì)，則此隨機環(huán)境中的馬氏鏈{Xn,n≥0}具有此性質(zhì).

引理2[8]{Xn,n≥0}為固定環(huán)境中的二重隨機游動，則

引理3設(shè){ξn,n>0}是方差有界的隨機變量序列，且當(dāng)|i-j|→+∞時,有cov(ξi,ξj)→0成立，則{ξn,n>0}服從大數(shù)定律.即對任意的ε>0,有

成立.

證明因為隨機變量序列{ξn,n>0}方差有界，所以存在常數(shù)M>0，使得

Dξn≤M，

且

對上述ε>0，當(dāng)n→∞時,有

即{ξn,n>0}服從大數(shù)定律[11].

證明因為{ξn,n≥1}是方差有界的隨機變量序列，且當(dāng)|i-j|→+∞時,有cov(ξi,ξj)→0成立，由引理3得{ξn,n≥1}服從大數(shù)定律，即對任意的ε>0都有

(1)如果c<0時，存在N2∈N+，當(dāng)n>N2時,有

成立.則有

(2)如果c>0，存在N3∈N+，當(dāng)n>N3時有

(1)如果c≥0，則{Xn,n≥0}常返；

(2)如果{Xn,n≥0}非常返，則c<0；

(3)如果c>0，則{Xn,n≥0}正常返；

(4)如果c=0，則{Xn,n≥0}零常返.

下證結(jié)論(3)和結(jié)論(4).結(jié)合引理3知，如果c>0則有

如果c=0，則有

(1)c≥0 ?{Xn,n≥0}是常返的；

(2)c<0 ?{Xn,n≥0}是非常返的；

(3)c>0 ?{Xn,n≥0}是正常返的；

(4)c=0 ?{Xn,n≥0}是零常返的.

證明首先證明(1)和(2)的充分性.由定理1(1)可知(1)的充分性成立.

下證必要性，對于(1)若{Xn,n≥0}常返，則必有c≥0，反之如c<0，由(2)的充分性知{Xn,n≥0}非常返，矛盾， 故可得結(jié)論(1)的必要性成立.

同理可以證得結(jié)論(2)的必要性成立.由定理2的(1)和定理1可知(3)、(4)成立.