淺談GeoGebra在橢圓解題教學(xué)中的應(yīng)用

張國(guó)梅

【摘要】2020年新高考方案推出“3+3”模式，數(shù)學(xué)成為必考科目之一.在新出版的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的思想下，如何利用信息技術(shù)環(huán)境提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，已成為課程改革的重點(diǎn)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);信息技術(shù);核心素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】本文系廣東省教育技術(shù)中心2018年度青年課題《利用信息技術(shù)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的研究》（課題立項(xiàng)號(hào)：18JX07230）的研究成果之一

在現(xiàn)代的社會(huì)中，信息技術(shù)已經(jīng)融入生活中的各個(gè)領(lǐng)域，當(dāng)然也為新時(shí)代的教學(xué)提供了更多的選擇與機(jī)會(huì).在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，特別是圓錐曲線這一章中，利用信息技術(shù)軟件作為平臺(tái)，能夠創(chuàng)設(shè)多樣性的教學(xué)方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，豐富教學(xué)內(nèi)容，增加教學(xué)的有效時(shí)間，拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的解題速度.本文主要講解在信息技術(shù)環(huán)境中GeoGebra在橢圓解題中的應(yīng)用.

例1 如圖1，已知一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494均相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）作兩條互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與曲線C交于C，D兩點(diǎn)，線段AC，BD分別與直線x=2交于M，N兩點(diǎn).求證MF∶NF為定值.

解析 （1）在求曲線C的軌跡方程之前，先確定兩定圓之間的位置關(guān)系.兩個(gè)定圓為（x-2）2+y2=14和（x+2）2+y2=494，

設(shè)動(dòng)圓圓心為P，半徑為r，

兩定圓的圓心分別為F1（2，0），F(xiàn)2（-2，0），

半徑分別為12，72，

∵F1F2=22<72-12=3，

∴兩個(gè)定圓內(nèi)含.

∵動(dòng)圓P與兩個(gè)定圓均相切，

∴PF1=12+r，PF2=72-r，∴PF1+PF2=12+72=4，

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以F1（2，0），F(xiàn)2-2，0為焦點(diǎn)，以4為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，∴曲線C的方程為x24+y22=1.

（2）當(dāng)l1，l2平行于坐標(biāo)軸時(shí)，易知MF∶NF=1.

當(dāng)l1，l2不平行于坐標(biāo)軸時(shí)（如圖2），

設(shè)l1：x=my+2，

l2：x=-1my+2，

將l1的方程代入曲線C的方程消去x化簡(jiǎn)得：

（m2+2）y2+22my-2=0，

∴yA+yB=-22mm2+2，yAyB=-2m2+2.

同理可知yC+yD=22m2m2+1，yCyD=-2m22m2+1.

直線AC：y-yAyA-yC=x-xAxA-xC，

令x=2可得y=2-xAyA-yCxA-xC+yA.①

∵l1與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，l2與曲線C交于C，D兩點(diǎn)，

∴xA=myA+2，xC=-1myC+2，

代入①式化簡(jiǎn)得y=（m2+1）yAyCm2yA+yC，

∴M2，（m2+1）yAyCm2yA+yC，同理可得N2，（m2+1）yByDm2yB+yD.

∵（m2+1）yAyCm2yA+yC+（m2+1）yByDm2yB+yD

=（m2+1）yAyCm2yA+yC+yByDm2yB+yD

=（m2+1）m2yAyB（yC+yD）+（yA+yB）yCyD（m2yA+yC）（m2yB+yD）

=（m2+1）m2·-2m2+2·22m1+2m2+-22mm2+2·-2m21+2m2（m2yA+yC）（m2yB+yD）=0，

∴MF=NF.綜上所述，MF∶NF為定值1.

分析 此題在GGB軟件技術(shù)下，第（1）問(wèn)學(xué)生通過(guò)直觀的圖形首先了解了兩個(gè)定圓的位置關(guān)系：內(nèi)含，從而確定所要求的動(dòng)圓與小圓外切，與大圓內(nèi)切，這樣容易建立方程關(guān)系求解曲線C的軌跡方程;第（2）問(wèn)由于線段AC與BD都是過(guò)定點(diǎn)F的動(dòng)直線，則點(diǎn)M，N都是隨著動(dòng)直線變化而變化，首先從兩條特殊的直線下筆，當(dāng)l1，l2平行于坐標(biāo)軸時(shí)，能夠得到特殊情況下的MF∶NF=1，然后討論不平行于坐標(biāo)軸時(shí)，也就是一般情況下的兩條動(dòng)直線，設(shè)定直線方程，求出M，N兩點(diǎn)坐標(biāo).這道題目對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力要求比較高，不僅要求學(xué)生能夠利用圖形與圖形之間的關(guān)系抽象出數(shù)學(xué)概念、一般的規(guī)律，還要能夠用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)表示.

例2 如圖3，已知A-2，0，B（2，0），點(diǎn)C，D依次滿足AC=2，AD=12AB+AC.

（1）求點(diǎn)D的軌跡.

（2）過(guò)點(diǎn)A作直線l交以A，B為焦點(diǎn)的橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為45，且直線l與點(diǎn)D的軌跡相切，求該橢圓的方程.

（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為1，0，是否存在橢圓上的點(diǎn)P及以Q為圓心的一個(gè)圓，使得該圓與直線PA，PB都相切？如果存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及圓的方程;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解析

（1）由題目知，AC=2，A-2，0，可得C點(diǎn)是以A點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，則可以得到C點(diǎn)的軌跡方程為（x+2）2+y2=4.

由AD=12AB+AC得

點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn).

假設(shè)D（x，y），Ca，b，又B（2，0），

∴2x=a+2，2y=b+0 a=2x-2，b=2y.

∵a+22+b2=4，

∴將上式代入得x2+y2=1.

（2）如圖4，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），①

橢圓的方程為x2a2+y2a2-4=1（a2>4），②