一類線段最小值問題的解法探討

馬永慶

【摘要】本文從一道西藏中考題入手，分析其題目特點、解題規(guī)律，并歸納出一類線段最小值問題的解題思路，滲透了尋找運動軌跡的解題策略并加以訓練，使學生通過某種圖形結(jié)構(gòu)聯(lián)想到動點的軌跡是一個圓或者圓的一部分，動點必須是到定點的距離等于定長時的動點.線段最小值有三個基本事實，一是“垂線段最短”，二是“三角形兩邊之和大于第三邊”，或者說“兩點之間線段最短”，三是“圓外一點到圓上各點中，這個點與圓心連線與圓的交點和圓外這個點距離最小”.

【關(guān)鍵詞】線段最小值;運動軌跡;隱形圓

2020年西藏中考數(shù)學試題的第18小題是一道動態(tài)幾何題，由三角形的折疊過程提供點的位置變化，由點P的位置變化導致點F的位置改變以及CP長度的變化，而在這個變化過程中蘊含著點F位置變化的規(guī)律：點F永遠在一個圓上運動，從而將變與不變有機統(tǒng)一起來.動態(tài)變化的過程增加了問題的難度，許多基礎(chǔ)較差的學生望而卻步，因此這一道綜合能力檢測題就具有了較高的區(qū)分度.此題呈現(xiàn)在西藏自治區(qū)試卷中，標志著西藏中考命題水平的提高，反映出初中數(shù)學命題對學生創(chuàng)造性思維品質(zhì)的要求.

這道試題把折疊、線段最短、動點等三條信息有機地融合在一起，以折疊為外衣，動點為本質(zhì)，尋找到點F的運動軌跡就能將線段最短問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離.要想解決此題，必須要從讀題中獲得數(shù)量關(guān)系：EA=EB=EF，也就是找到點F在以AB為直徑、以E為圓心的定圓上運動的規(guī)律，這是解題的關(guān)鍵.分析題目條件、發(fā)現(xiàn)和探索F點的運動軌跡的過程是有創(chuàng)造價值的思維過程，其綜合性、創(chuàng)新水平也屬于比較高的，考查學生較強的探究能力和思維基礎(chǔ).在找到思路的瞬間，稍加計算，無須太多的推理，就能輕松得分.

圖12020年西藏第18題：如圖1，在矩形ABCD中，E為AB的中點，P為BC邊上的任意一點，把△PBE沿PE折疊，得到△PFE，連接CF.若AB=10，BC=12，則CF的最小值為.

解析：∵點E是AB的中點，∴EA=EB.

∵把△PBE沿PE折疊得到△PFE，∴EF=EB，

∴EA=EB=EF，

∴點F在以AB為直徑的圓上，圓心為E（如圖2）.

如圖3，連接CE交⊙E于點F1，CF1的長度即為CF長度的最小值.

∵EA=EB，AB=10，∴EB=5.又∵BC=12，且∠EBC=90°，

∴CE=EB2+BC2=52+122=13，

∴CF1=CE-EF1=13-5=8，∴CF的最小值是8.

從最值類型上看，這道西藏中考題屬于“圓外一點到圓上各點距離”的最小值問題，其實它也是“兩點之間線段最短”的具體運用.為了讓大家能夠歸納出這類題型的特點，下面再欣賞幾道中考題.

2020年四川綿陽中考數(shù)學試題第17題：如圖4，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=60°，AD=BC=CD=4，點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD=90°，則點M到直線BC的距離的最小值為.

解析：如圖5，延長AD，BC相交于點P，作MH⊥PB 于H.

∵AB∥CD，∴PDAD=PCBC，∠ABC=∠DCP=60°.

∵AD=BC=CD=4，∴PD=PC，

∴△PDC為等邊三角形，

∴PD=PC=CD=4，∠P=60°.

由∠AMD=90°，可知點M在以AD為直徑、點E為圓心的⊙E上，且是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，

根據(jù)垂線段最短可知E，M，H三點共線時MH最小.

在Rt△PEH中，EP=6，∠P=60°，∴EH=6×sin 60°=33，

∴MH的最小值=EH-EM=33-2.

如果我們從最值類型分析，那么這道題屬于“垂線段最短”這一性質(zhì)的運用，這是它與西藏中考題的不同.還有一個不同點就是：它是用“90度的圓周角所對的弦為直徑”這一命題來設(shè)計題目條件.“點M是四邊形ABCD內(nèi)的一個動點，滿足∠AMD=90°”讓我們很容易想到點M在以AD為直徑的圓上，而把它放到特殊的梯形中是另一種巧妙設(shè)計.與西藏中考題相比，它沒有使用折疊來出示動點，它的動點M的軌跡更容易想到.至此，我們已掌握了此類線段最小值問題的特點與解題方法，它們的共同特點就是動點的運動軌跡都是一個圓，它們共同的解題思路也是找到這個圓.

2020年廣西河池市中考數(shù)學試題第18題：如圖6，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=8，點D在AB上，且BD=3，點E在BC上運動，將△BDE沿DE折疊，點B落在點B′處，則點B′到AC的最短距離是：.

解析1：由折疊性質(zhì)知，BD=B′D，無論E點位置如何變化，點B′到點D的距離是不變的，永遠等于BD的長3，以D為圓心，以BD長為半徑畫半圓，點B′的軌跡是這個半圓的一部分.

如圖7所示，過點D作DH⊥AC于點H，則B1H的長度就是點B′到AC的最短距離.

∵∠A=30°，∠B=90°，AC=8，

∴AB=AC·cos 30°=8×cos 30°=43.

∵BD=3，∴AD=33，

∴DH=AD·sin 30°=33×sin 30°=332.

又∵B1D=3，∴B1H=DH-B1D=332-3=32，

∴點B′到AC的最短距離是32.

解析2：如圖8，過點D作DH⊥AC于點H，過點B′作B′J⊥AC于點J.

在Rt△ACB中，∵∠ABC=90°，AC=8，∠A=30°，∴AB=AC·cos 30°=43.

∵BD=3，∴AD=AB-BD=33.

∵∠AHD=90°，∴DH=1[]2AD=33[]2.