幾何直觀：提升問題解決能力的有效途徑

薛群

[摘? 要] 借助幾何直觀，可以使抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得更加直觀、形象，有利于學(xué)生更好地審清題目、厘清算法，并最終達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;小學(xué)數(shù)學(xué);途徑

德國哲學(xué)家康德曾言：缺乏直觀的概念是空洞的。小學(xué)生由于受到身心發(fā)展和認(rèn)知水平的限制，在理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)過程中，會(huì)不可避免地產(chǎn)生各種困難。幾何直觀充分借鑒和發(fā)揮了圖形具有的直觀性特點(diǎn)，把相對(duì)抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀形象的數(shù)學(xué)圖形結(jié)合起來，使學(xué)生更好地理解題目的本質(zhì)，掌握各種數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過圖形、符號(hào)等直觀明了的圖形把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明生動(dòng)，從而為學(xué)生解決問題提供線索，指明方向。

一、幾何直觀，有利于正確審題，理解題意

審題是解決數(shù)學(xué)問題的首要環(huán)節(jié)。對(duì)于某些數(shù)學(xué)題來說，“文字加數(shù)字”模式的表述形式顯得很抽象，制約著學(xué)生對(duì)題目的理解和判斷，這就導(dǎo)致不少小學(xué)生理解題目時(shí)感到困難重重。幾何直觀可以把題目中的數(shù)量關(guān)系清晰地描述出來，把抽象的“文字加數(shù)字”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皥D形加符號(hào)”，使抽象的數(shù)學(xué)問題變得直觀、生動(dòng)起來，這樣就可以充分發(fā)揮小學(xué)生形象思維能力較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，從而助力學(xué)生正確地把握題意，認(rèn)清問題的本質(zhì)，最終提高學(xué)生解決問題的能力。

例1? “周期性規(guī)律”教學(xué)實(shí)錄（節(jié)選）

師：同學(xué)們，現(xiàn)在我們來看這樣一個(gè)關(guān)于周期性規(guī)律的題目：除夕夜，學(xué)校大門口亮起了彩燈，這些彩燈按照3個(gè)紅色、2個(gè)黃色和1個(gè)綠色的順序逐次亮了起來，那么，第58盞燈是什么顏色？

生1：這種題目我可以在本子上畫出來，一直畫58盞燈。

生2：紅色、黃色、綠色交替出現(xiàn)，畫圖法的確是可以的，但是畫58盞燈是不是太麻煩了？

生3：我們可以先畫兩組看看，找一找規(guī)律。

師：對(duì)。我們通過畫圖的方法來理解一下題意。現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們按照題目意思來畫圖吧。

學(xué)生作圖，教師巡視。

生3：這是我畫的圖（圖1），通過畫圖形，這道題一下子變得簡(jiǎn)單了，我發(fā)現(xiàn)了每6個(gè)燈是一組，也就是一個(gè)周期，明確了周期，這道題只需要用58除以周期，根據(jù)余數(shù)就可以判定答案了。

生4：是啊，這種直觀的圖形可比原來的文字好理解多了，看來這種畫圖的方法還真是很有效呢！

學(xué)生對(duì)于抽象的文字表述感到難以理解，但是幾何直觀很好地解決了這個(gè)難題。通過幾何直觀，學(xué)生對(duì)于彩燈的排列順序和周期有了非常直觀地認(rèn)識(shí)，這為學(xué)生理解題目意思、進(jìn)而解決問題打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。使原本抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單活潑起來，這正是幾何直觀在解決數(shù)學(xué)問題中作用的生動(dòng)體現(xiàn)。

二、幾何直觀，有利于厘清數(shù)量關(guān)系，明了算理思路

幾何直觀并非只是簡(jiǎn)單地要求學(xué)生畫出表格圖、線段圖或者示意圖，而是要培養(yǎng)學(xué)生通過幾何直觀分析問題、理清關(guān)系、明了算理的能力，讓學(xué)生通過作圖、分析圖，從而找到解決問題的方法。因此，在課堂教學(xué)中，教師要特別注意留給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生探尋畫圖策略，讓學(xué)生通過直觀圖分析、比較、匯總、歸納，從而厘清題目之間的數(shù)量關(guān)系，找到正確的算理和思路。

例2? “分?jǐn)?shù)的混合運(yùn)算”教學(xué)實(shí)錄（節(jié)選）

師：有這樣一道題：實(shí)驗(yàn)小學(xué)五年級(jí)有180人，六年級(jí)人數(shù)比五年級(jí)多 ，那么六年級(jí)有多少人？

生1：這種題目數(shù)量關(guān)系比較亂，要怎么才能夠弄清楚數(shù)量關(guān)系呢？

師：我們要厘清數(shù)量關(guān)系，那就試著通過畫線段圖來分析題目吧。

學(xué)生畫線段圖，教師巡視。（注意學(xué)生畫圖的正誤）

生2：這是我畫的線段圖（圖2）。在畫圖之前，我感覺題目中數(shù)據(jù)比較混亂，在畫圖之后，我的思路清晰了很多。五年級(jí)是180人，六年級(jí)的人數(shù)比五年級(jí)多 ，六年級(jí)人數(shù)多，五年級(jí)人數(shù)少。

師：誰能說一說，在這道題中的單位“1”指的是哪個(gè)年級(jí)的人數(shù)呢？

生3：五年級(jí)的人數(shù)是單位“1”。

生4：找到了單位“1”，題目就簡(jiǎn)單了。180×（1+ ）=220（人）。

師：在分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題中，找準(zhǔn)單位“1”是解決問題的關(guān)鍵，但是在很多情況下，我們總是難以找準(zhǔn)單位“1”，通過這種畫線段圖的方式，我們就很好地解決了這個(gè)問題。

教學(xué)中，學(xué)生在審題后，教師啟發(fā)學(xué)生通過畫線段圖的方式解決問題，并引導(dǎo)學(xué)生利用線段圖一步步分析數(shù)量關(guān)系，把題目中所有的數(shù)據(jù)信息都體現(xiàn)、聚集在學(xué)生畫的線段圖中。線段圖是學(xué)生探索問題的起點(diǎn)，通過畫線段圖使學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系有了更深刻的認(rèn)識(shí)。數(shù)據(jù)的各種信息在線段圖中匯聚、碰撞，學(xué)生只有在對(duì)數(shù)據(jù)關(guān)系正確理解的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)題目中的單位“1”這個(gè)關(guān)鍵量，才能正確地解決問題。

三、幾何直觀，有利于觸類旁通，解決同類問題

幾何直觀的真正優(yōu)勢(shì)不僅在于解決某個(gè)具體的問題，而在于激發(fā)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維方式，為學(xué)生解決同類型問題打下基礎(chǔ)。因此，教師不能滿足于使學(xué)生用幾何直觀方法解答出某道題，而是要指導(dǎo)學(xué)生深刻理解、靈活地運(yùn)用幾何直觀法，使學(xué)生意識(shí)到同類問題在本質(zhì)上的聯(lián)系，并把這種本質(zhì)聯(lián)系反映在直觀的圖形上，對(duì)題目進(jìn)行深入分析和類比思考，找到解決此類問題的通用方法，做到舉一反三、觸類旁通，最終，提高學(xué)生解決同類問題的能力。

例3? “植樹問題”教學(xué)實(shí)錄（節(jié)選）

師：每隔4米種植一棵樹，一共種植了5棵樹，那么第1棵數(shù)到第5棵數(shù)的距離是多少米？

生1：這道題太簡(jiǎn)單了，4×5=20（米）。

師：生1的算法對(duì)嗎？

生2：對(duì)的，我也是這樣算的。

師：同學(xué)們?cè)诩埳袭媹D驗(yàn)證一下自己的結(jié)果。

學(xué)生畫圖。

生1：不對(duì)，不對(duì)，我剛才算錯(cuò)了，雖然是5棵樹，但是只有四段株距，也就是16米。就像我畫的這幅圖一樣（圖3）：

師：那這道題應(yīng)該怎樣列算式呢？

生1：應(yīng)該是4×4=16（米）。

師：算式中有兩個(gè)4，其中一個(gè)4表示樹的株距是4米，那另一個(gè)4是從哪里得來的呢？

學(xué)生思考。

生3：噢，另一個(gè)4是由5-1=4得來的。

師：對(duì)了，現(xiàn)在我們就得出了“植樹問題”的規(guī)律：全長(zhǎng)=株距×（株數(shù)-1）。

師：現(xiàn)在我把題目修改一下，同學(xué)們?cè)僮鲎隹础ｎ}目是：甲乙兩地相距20米，每隔4米種植一棵樹，但是路的起始端要陳列廣告牌，所以路的起始端不植樹，問一共需要幾棵樹？同學(xué)們還是通過畫圖的方式來進(jìn)行解答。

學(xué)生畫圖。

生1：通過上一道題，我們得出了全長(zhǎng)=株距×（株數(shù)-1），所以，株數(shù)=全長(zhǎng)÷株距+1，通過這個(gè)公式我算出了株數(shù)=20÷4+1=6（棵）。

師：同學(xué)們，生1這次解答得對(duì)不對(duì)呀？

（學(xué)生中有的大聲喊“對(duì)，對(duì)”，有的卻大聲喊著“不對(duì)”。）

師：那就請(qǐng)其他同學(xué)談?wù)勛约旱乃惴ā?/p>

生2：我不同意生1的算法。這是我畫的圖（圖4），我發(fā)現(xiàn)一共需要20÷4=5（棵）。

師：為什么只需要5棵而不是6棵呢？

生：因?yàn)槁返那岸瞬挥弥矘?。（異口同聲?/p>

師：非常好。通過畫圖的方式，我們又得出了特殊情況下（一端不植樹）的計(jì)算方法：株數(shù)=全長(zhǎng)÷株距。

“植樹問題”歷來都是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖的方法厘清了全長(zhǎng)、株距與株數(shù)之間的關(guān)系。在學(xué)生嘗試做題出錯(cuò)以后，教師引導(dǎo)學(xué)生通過幾何直觀發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因所在，用直觀形象的圖形扭轉(zhuǎn)學(xué)生的錯(cuò)誤思維。尤為值得一提的是，教師并沒有滿足于學(xué)生正確答題，而是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從本題中得出“植樹問題”的一般規(guī)律，從而為學(xué)生解答同類問題打下基礎(chǔ);此外，教師通過變更題目，進(jìn)一步通過畫圖激發(fā)學(xué)生思維，使學(xué)生意識(shí)到“植樹問題”的多樣性，真正做到了舉一反三，融會(huì)貫通。

幾何直觀在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中有著至關(guān)重要的作用。通過幾何直觀，有利于學(xué)生正確審題，理解題意;有利于學(xué)生厘清數(shù)量關(guān)系，明了算理思路;有利于學(xué)生觸類旁通，解決同類問題，化數(shù)據(jù)為圖形、化煩瑣為簡(jiǎn)單、化隱晦為明顯，自由翱翔在文字與圖形之間，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的圖案之美與動(dòng)態(tài)之美，實(shí)現(xiàn)問題解決能力的提升。