玩轉(zhuǎn)高考真題
——概率篇

蘇 玖

真題再現(xiàn) （2020·浙江卷16）一個(gè)盒子里有1 個(gè)紅球、1 個(gè)綠球、2 個(gè)黃球共4個(gè)除顏色外相同的球，每次拿1 個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則P(ξ=0)_______，E(ξ)______．

思維延伸先確定ξ=0 對(duì)應(yīng)的事件，再求對(duì)應(yīng)概率的結(jié)果；第二空，先確定隨機(jī)變量，再求對(duì)應(yīng)概率，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果．

改編1

可以改編為求方差，于是有：

一個(gè)盒子里有1 個(gè)紅球、1 個(gè)綠球、2 個(gè)黃球共4 個(gè)除顏色外相同的球，每次拿1 個(gè)，不放回，拿出紅球即停，設(shè)拿出黃球的個(gè)數(shù)為ξ，則D(ξ)=______．利用方差公式的變形形式很快求解，由于展開化簡(jiǎn)可以得用它求解方差可以減少計(jì)算量．

改編2

真題中的黃球可以推廣到n 個(gè)，于是有：

一個(gè)盒子里有大小、形狀、質(zhì)地相同的1 個(gè)紅球，1 個(gè)白球，n個(gè)黃球(n≥ 2)，每次從中任取一個(gè)球，不放回，直到取到紅球?yàn)橹?，記取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

先利用擋板插空方法求出總的排法，第二步求紅球前放k個(gè)黃球，然后將1 個(gè)白球放入前k+1個(gè)空位上，第三步求出紅球前有k個(gè)黃球的概率，第四步利用期望與方差公式求解．

改編3

如果有兩個(gè)白球，可以改編為：

一個(gè)盒子里有大小、形狀、質(zhì)地相同的1 個(gè)紅球，2 個(gè)白球，3 個(gè)黃球，每次從中任取一個(gè)球，不放回，直到取到紅球?yàn)橹?，記取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

求解本題的關(guān)鍵：一是求出這些球的總的排列數(shù)，二是正確求出紅球前有k個(gè)黃球的排列數(shù)，白球可以放的位置有多少，這樣就可以確定紅球前有k個(gè)黃球的概率．

改編4

如果有m 個(gè)白球，n 個(gè)黃球，又可以得到：

一個(gè)盒子里有大小形狀相同的1 個(gè)紅球，m個(gè)白球，n個(gè)黃球，每次從中任取一個(gè)球，不放回，直到取到紅球?yàn)橹?，記取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

求解本題的關(guān)鍵：首先從m+n+1 個(gè)位置選一個(gè)位置先放紅球，再選出m個(gè)位置放白球，余下n個(gè)位置放黃球，求出所有的排列數(shù)；其次就是研究紅球前有k個(gè)黃球的排列數(shù)，對(duì)于每一種紅球與黃球的排列，利用插空法一個(gè)一個(gè)放入白球，每放入一個(gè)白球就多產(chǎn)生一個(gè)空擋，這樣就可以求出黃球在紅球前的排列數(shù)，即可求出相應(yīng)的概率．

改編5

如果紅球的個(gè)數(shù)為2 個(gè)，白球和黃球個(gè)數(shù)2 個(gè)或2 個(gè)以上，又可以得到：

一個(gè)盒子里有大小形狀相同的2 個(gè)紅球，2 個(gè)白球，3 個(gè)黃球，每次從中任取一個(gè)球，不放回，直到取到紅球?yàn)橹?，記取到黃球的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的概率分布列，數(shù)學(xué)期望和方差．

抓住問(wèn)題的本質(zhì)，第一個(gè)紅球前黃球的個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的排列數(shù)求法，第一個(gè)紅球前黃球個(gè)數(shù)依次為0，1，2，3，但對(duì)于每一種情況，又要考慮白球的排列問(wèn)題，在紅球前白球的個(gè)數(shù)也是隨機(jī)變量，即可以放0 個(gè)白球、1 個(gè)白球、2 個(gè)白球，利用排列組合知識(shí)即可求解．

改編6

對(duì)于隨機(jī)變量的分布列也可以設(shè)置參數(shù)，滿足一定條件，研究新的問(wèn)題．

已知隨機(jī)變量X的分布列為:

其中a，b，c為常數(shù)且成等差數(shù)列，求隨機(jī)變量X數(shù)學(xué)期望的取值范圍和方差的最大值．

利用分布列的性質(zhì)和等差數(shù)列，將三元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元(如用c表示a，b)問(wèn)題，并求出c的取值范圍，將數(shù)學(xué)期望和方差建立關(guān)于C的函數(shù)，最后利用函數(shù)知識(shí)求解．

改編7

也可以把等差數(shù)列改為等比數(shù)列，于是有：

已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示：

X 0 1 2 P a b c?

若4a，b，c成等比數(shù)列,則D(X)的最大值為（ ）

先建立a，b，c的方程組，再寫出方差的表達(dá)式，觀察變量之間的關(guān)系，再尋求求解策略．

做中悟道：從浙江的一道填空題出發(fā)，從如下幾個(gè)層次進(jìn)行改編，一是改編問(wèn)題的方式，即將求數(shù)學(xué)期望改編為求方差，這樣既復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)期望公式，又復(fù)習(xí)方差知識(shí)；二是紅球個(gè)數(shù)為1，對(duì)另兩種顏色球的個(gè)數(shù)進(jìn)行推廣，如改編題2-4；三是增加紅球個(gè)數(shù)為2 個(gè)，再研究分布列、數(shù)學(xué)期望與方差，這樣問(wèn)題的難度有所增加，需要有一定的數(shù)學(xué)思維能力才能完整解答；四是結(jié)合生活生產(chǎn)的實(shí)際情境和統(tǒng)計(jì)知識(shí)，如分層抽樣方法，相當(dāng)于先求出各種顏色球的個(gè)數(shù)，再利用古典概型求出分布列；五是在分布列中設(shè)置參數(shù)，結(jié)合代數(shù)相關(guān)知識(shí)求數(shù)學(xué)期望與方差的范圍或最值問(wèn)題，如改編題7，8.

點(diǎn)撥解析

真題：因?yàn)棣?0 對(duì)應(yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以隨機(jī)變量ξ=0,1,2，所以

改編1：由方差公式及真題解析的過(guò)程知，其中μ=Eξ(ξ)，因此所以隨機(jī)變量的方差為

改編2：ξ的所有可能取值為0，1，2，…，n．1 個(gè)紅球，1 個(gè)白球，n個(gè)黃球排成一列有種排法．設(shè)第1 個(gè)紅球前有k個(gè)黃球，k=0,1,2,…n，此時(shí)可看作將n個(gè)黃球排列后，紅球只有1 種放法．n個(gè)黃球和1 個(gè)紅球產(chǎn)生(n+2)個(gè)空檔，選1 個(gè)位置放白球，有種排法．所以P(ξ=k)=分布列略．

改編3：ξ的所有可能取值為0，1，2，3．1 個(gè)紅球，2 個(gè)白球，3 個(gè)黃球排成一列有=60種方法．

設(shè)第1 個(gè)紅球前有k個(gè)黃球(k=0,1,2,3)，其中這些排列中，在紅球和黃球排列好后，有五個(gè)空擋．（1）我們從中選兩個(gè)空擋各放一個(gè)白球，共有種方法，（2）選一個(gè)空擋放兩個(gè)白球有=5種方法這樣共有15 種方法．

P(ξ=k)=k=0,1,2,3．ξ的分布列略．

改編4：ξ的所有可能取值為0,1,2,,…n．1 個(gè)紅球，m個(gè)白球，n個(gè)黃球（共m+n+1 個(gè)球）排成一列有種排列方法．

其中紅球前有k個(gè)黃球(k=0,1,2,…,n)的排法是：

在紅球和黃球排列好后，有(n+2)個(gè)空擋，選一個(gè)空檔放一個(gè)白球，這時(shí)產(chǎn)生(n+3)個(gè)空擋，選一個(gè)空擋放白球，…，依次下去，共有(n+2)(n+3)…(n+m+1)種方法．

但是m個(gè)白球完全相同，無(wú)順序性，所以共有種方法．

所以紅球前有k個(gè)黃球的概率為P(ξ=k)=其中k=0,1,2,…,n．

分布列略，數(shù)學(xué)期望E(x)=

方差D(X)=

改編5：ξ 的所有可能取值為0,1,2．2 個(gè)紅球2 個(gè)白球3 個(gè)黃球排成一列可以理解為，從7 個(gè)位置選2 個(gè)位置放紅球，再?gòu)氖Ｏ? 個(gè)位置選2 個(gè)放白球，余下3 個(gè)放黃球，共有=210種方法．

（1）ξ=0，摸到紅球前沒(méi)有黃球，第一個(gè)紅球前白球個(gè)數(shù)為0，1，2．所以有=84種方法．

（2）ξ=1，摸到紅球前有1 個(gè)黃球，第一個(gè)紅球前白球個(gè)數(shù)為0，1，2．所以有=63種方法．

（3）ξ=2，摸到紅球前有2 個(gè)黃球，第一個(gè)紅球前白球個(gè)數(shù)為0，1，2．所以有=42種方法．

（4）ξ=3，摸到紅球前有3 個(gè)黃球，第一個(gè)紅球前白球個(gè)數(shù)為0，1，2．所以有=21種方法．

所以P(ξ=0)=

改編6：由概率分布的性質(zhì)得a,b,c∈ [ 0,1],a+b+c=1．①

又因?yàn)閍，b，c為成等差數(shù)列，所以有2b=a+c②．

（1）E(X)=a+2b+3c=+2c，因?yàn)樗砸虼?/p>

改編7：依題意，有則b2=4c(1?b?c)，即(b+2c)2=4c．

注意到E(X)=b+2c，E(X2)=b+4c，則D(X)=E(X2)?(E(X))2=(b+4c)?(b+2c)2=(b+4c)?4c=b．由基本不等式，得從而D(X)的最大值為當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選項(xiàng)C 正確．