利用“量與率對應(yīng)關(guān)系式”巧解分率應(yīng)用題

崔偉 李明煜

[摘 要]在小學(xué)分率應(yīng)用題教學(xué)中，教師的“教”與學(xué)生的“學(xué)”都存在著一定難度，究其原因，首先是教師授課語言受教學(xué)內(nèi)容限制，不能做到生動形象，更無法直觀展示，致使學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容有障礙;其次是小學(xué)生抽象思維還不完善，在分析理解題意時容易出現(xiàn)偏差;最后是其題型多變，包羅萬象，有相當(dāng)多的學(xué)生不能夠熟練發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律，造成列式困難，直接導(dǎo)致計算結(jié)果不正確。通過利用“量與率對應(yīng)關(guān)系式”輔助解答各類分率應(yīng)用題，可操作性強(qiáng)，目的性明確，做到了對癥下藥。

[關(guān)鍵詞]分率應(yīng)用;比較量;標(biāo)準(zhǔn)量;解題方法

分率應(yīng)用題在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中設(shè)計了四處，分別是六年級上冊第一章“分?jǐn)?shù)乘法”和六年級上冊第三章“分?jǐn)?shù)除法”，以及六年級上冊第六章“百分?jǐn)?shù)（一）”和六年級下冊第二章“百分?jǐn)?shù)（二）”。分率應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)難點中的難點，盡管這些章節(jié)中的習(xí)題設(shè)計都符合課標(biāo)中“學(xué)生能體會數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”的要求，十分貼近生活實際，但由于六年級學(xué)生年齡小，感性認(rèn)識還不夠豐富，抽象思維能力還未最終形成，同時在生活實際中也很少接觸到，學(xué)生對這些問題感到十分陌生，很難正確理解題意，最突出的問題就是經(jīng)常將“單位一”確定錯誤，直接導(dǎo)致列式錯誤，得到的答案也是錯誤的。利用“量與率對應(yīng)關(guān)系式”能避免這一錯誤，巧解分率應(yīng)用題。

一、小學(xué)生解答分率應(yīng)用題時存在的問題

小學(xué)生是在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時接觸到有關(guān)分率應(yīng)用題的，此時他們了解了怎樣確定“單位一”，學(xué)會了畫線段圖，知道了“求一個數(shù)幾分之幾是多少，用乘法”這一概念。接著在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法時明白了“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)是求一個數(shù)幾分之幾時多少的逆運算，用除法解答”這一規(guī)則。最后，在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)時能夠感悟這兩個運算規(guī)則對百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題同樣適用。他們在解答分率應(yīng)用題時遇到的主要困難有：其一是比較復(fù)雜的應(yīng)用題中難以確定“單位一”，而“單位一”確定不準(zhǔn)確直接會導(dǎo)致學(xué)生列式不正確;其二是無法明確已知條件中給出的數(shù)量與分率之間對應(yīng)關(guān)系。以上兩個學(xué)習(xí)難點中，難點一的難度要高于難點二，因為學(xué)生可以借助線段圖基本弄明白題目中數(shù)量與分率之間的對應(yīng)關(guān)系，而對于題目中“單位一”是呈變化狀態(tài)的情況學(xué)生就不容易區(qū)分清楚。例如：一列火車的速度是180千米/小時，一輛小汽車的速度是這列火車的5/9，是一架噴氣式飛機(jī)速度的1/9，這架飛機(jī)的速度是多少？解這道分率應(yīng)用題，第一步求小汽車的速度，火車速度是“單位一”;第二步求飛機(jī)的速度，飛機(jī)的速度是“單位一”。題中的“單位一”呈變化狀態(tài)，對中等學(xué)習(xí)能力以下的學(xué)生而言，分別確定兩次計算過程中那個數(shù)量是“單位一”著實困難。“單位一”確定不清，學(xué)生就無法明確這是一道求一個數(shù)的幾分之幾是多少的習(xí)題，還是已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)的習(xí)題。而利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答類似應(yīng)用題，不但針對性極強(qiáng)，非常容易操作，而且學(xué)生的解答正確率也非常高。

二、分率應(yīng)用題中的“量與率”的對應(yīng)關(guān)系

（一）分率應(yīng)用題中的“量”如何分類

其實，分率應(yīng)用題的知識框架中，題目中給出的數(shù)量本質(zhì)上只有兩類，我們可以分別稱之為“比較量”和“標(biāo)準(zhǔn)量”。“標(biāo)準(zhǔn)量”是作為基準(zhǔn)的那個數(shù)量，也就是我們常說的“單位一”，而“比較量”就是與“標(biāo)準(zhǔn)量”進(jìn)行對照比較的那個數(shù)量。

（二）分率應(yīng)用題中“量與率”存在何種關(guān)系

“比較量”與“標(biāo)準(zhǔn)量”之間有這樣一種關(guān)系式：“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=分率”。我們可以通過演示具體了解，例如：5比4多幾分之幾這個問題中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生這樣理解題意：用5比4多的部分同4作比較，5比4多的部分是比較量，4是標(biāo)準(zhǔn)量，得到的答案1/4就是分率，代表了5比4多四分之一。同理，4比5少幾分之幾這個問題中，題意就是用4比5少的部分同5作比較，4比5少的部分是比較量，5是標(biāo)準(zhǔn)量，得到的答案1/5就是分率，它代表了4比5少五分之一。

（三）利用除法關(guān)系式理解“量與率”之間的兩種變換關(guān)系

在“比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量=分率”這個關(guān)系式中，比較量相當(dāng)于被除數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)量相當(dāng)于除數(shù)，分率相當(dāng)于商。在除法關(guān)系式中，被除數(shù)=商×除數(shù)，除數(shù)=被除數(shù)÷商，利用以上兩個關(guān)系式，可以比較容易得出：比較量=分率×標(biāo)準(zhǔn)量，標(biāo)準(zhǔn)量=比較量÷分率。直白地講：求比較量是多少的應(yīng)用題，就是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”的問題;求標(biāo)準(zhǔn)量是多少的應(yīng)用題，就是“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的問題。

三、利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答分率應(yīng)用題的策略

（一）利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答分率應(yīng)用題優(yōu)化解題過程

比較分?jǐn)?shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題與“量與率相對應(yīng)關(guān)系”的知識架構(gòu)，我們會發(fā)現(xiàn)“量與率相對應(yīng)關(guān)系”的知識點通俗淺顯，脈絡(luò)清晰，目的性強(qiáng)，學(xué)生易于接受并掌握，實施操作也簡單易行，具有傳統(tǒng)教法無法比擬的優(yōu)越性。以上述求飛機(jī)速度的應(yīng)用題為例，先求小汽車的速度，小汽車的速度是火車速度的5/9，小汽車的速度是比較量，火車的速度是標(biāo)準(zhǔn)量，小汽車的速度=小汽車速度對應(yīng)的分率（5/9）×火車的速度;再求飛機(jī)的速度，小汽車的速度是比較量，飛機(jī)的速度是標(biāo)準(zhǔn)量，飛機(jī)的速度=小汽車的速度÷小汽車速度所對應(yīng)的分率（1/9）。利用以上方式分析解決問題，學(xué)生能夠快速抓住要點并正確列出算式，為后期的計算正確提供有力的保障。

（二）利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答分率應(yīng)用題容易出現(xiàn)的弊端

當(dāng)然，自然界中任何事物都具有兩面性。利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答小學(xué)分率應(yīng)用題確有獨到之處，但其自身也存在著顯著缺陷。即容易固化學(xué)生思維，不利于培養(yǎng)學(xué)生深度思考的習(xí)慣。找出分率應(yīng)用題中的比較量與標(biāo)準(zhǔn)量比確定“單位一”容易，利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”列出綜合算式比畫線段圖分析問題快捷節(jié)省時間，有了規(guī)律可循，小學(xué)生自然不愿意勞心費神地思考分析，忽略了親歷探究，不利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)。

（三）利用“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”解答分率應(yīng)用題揚長避短

首先，教師心中要明確“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”絕不是解決分率應(yīng)用題唯一的方法，更不是包治百病的靈丹妙藥，它只是解決分率應(yīng)用題的一種輔助手段。教學(xué)這部分內(nèi)容時一定要以教材為主，讓學(xué)生先系統(tǒng)了解分率問題的知識點與習(xí)題類型，只有當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)遇到瓶頸時，才開始向?qū)W生滲透“量與率相對應(yīng)關(guān)系”，這樣才會有醍醐灌頂、茅塞頓開的效果。要特別注意學(xué)習(xí)的順序，一定要先學(xué)習(xí)教材所給出的解決問題的方法，再讓學(xué)生接觸“量與率相對應(yīng)關(guān)系式”，以免給學(xué)生造成先入為主的第一印象。合適的契機(jī)應(yīng)該在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題時最佳。過早接觸，容易造成學(xué)生放棄思考走捷徑;滯后接觸，容易致使學(xué)生在較難的習(xí)題面前產(chǎn)生畏懼，降低學(xué)習(xí)興趣，失去學(xué)習(xí)動力。此外，教師應(yīng)該對所教班級的學(xué)生能力水平了然于胸，針對不同能力水平的學(xué)生分別提出不同水平的要求。如對學(xué)習(xí)成績優(yōu)異的學(xué)生，要求學(xué)生在列式前注釋自己是怎樣理解題意的;對中等能力水平的學(xué)生而言，要求他們在列綜合算式前必須附上清晰標(biāo)準(zhǔn)的線段圖;最后，針對學(xué)習(xí)熱情不高的學(xué)生，要求他們列分步算式解答分率應(yīng)用題，盡量保證他們每一步的算式列式正確，為解答正確打下基礎(chǔ)，力爭做到少丟分或不丟分。這樣，堅持以教材為主，利用“兩條腿走路”，教師在傳授知識的同時，兼顧培養(yǎng)學(xué)生“探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”這一課標(biāo)中的要求。

數(shù)學(xué)知識是人類經(jīng)過漫長又曲折的探索過程建構(gòu)起來的，它的依據(jù)必須都是科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。雖然利用“量與率對應(yīng)關(guān)系式”解答分率應(yīng)用題經(jīng)我個人驗證頗有成效，也希望有更多的同事借鑒后在教學(xué)實際中應(yīng)用，共同探索其可行性，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，論證其科學(xué)性，完善其合理性，在求同存異的基礎(chǔ)上將其歸納充實，集思廣益，補齊短板，形成有科學(xué)依據(jù)的理論，從而更好地指導(dǎo)教育教學(xué)活動。

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（責(zé)任編輯 付淑霞）