“特殊值”思維在初中數(shù)學(xué)中的作用

陳潔

（云南省昭通市威信縣第一中學(xué)，云南 昭通 657900）

“特殊值”是什么意思呢？說得準(zhǔn)確點“特殊值”就是特定的值，而“特殊值”思維呢也就是指如果一個一般性問題一時不易解決，不妨先考慮它的特殊情形，通過對特殊情況的研究，從而發(fā)現(xiàn)解決一般性問題的方法，這種思維就是“特殊值”思維。

三十多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯，深深體會到初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的很多問題用“特殊值”來解決作用很大，這對我們老師和學(xué)生們在數(shù)學(xué)問題的探究及解決上幫助較大。

案例1：已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，

化簡3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

很多同學(xué)遇到這樣的題都很難理解，也不容易解決。覺得很抽象，由圖可知a＜0，b＜0，c＞0，基礎(chǔ)好的同學(xué)還會觀察到lal＞lbl＞lcl，但是如何把題目中的絕對值符號去掉，就無從下手了，我們知道去掉絕對值符號關(guān)鍵是要確定絕對值里面的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。該題中的a-b、a+b、c-a、b-c如何確定是正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢？用一般思維來解決就比較復(fù)雜的和抽象，很多學(xué)生都無法解決，但是用“特殊值”思維就簡單明了，根據(jù)a＜0，b＜0，c＞0且lal＞lbl＞lcl，可在其范圍內(nèi)取特殊值（確保a為負(fù)數(shù)，b為負(fù)數(shù)，c為正數(shù)且lal＞lbl＞lcl），當(dāng)然取的特殊值為整更好便于計算，如a=-4，b=-3，c=1， 則 a-b=-4-（-3）=-1；a+b=-4+（-3）=-7；c-a=1-（-4）=5；b-c=-3-1=-4。

由-1是負(fù)數(shù)可確定a-b為負(fù)數(shù)，由-7是負(fù)數(shù)可確定a+b為負(fù)數(shù)，由5是正數(shù)可確定c-a為正數(shù)，由-4是負(fù)數(shù)可確定b-c為負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的絕對值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對值等于其相反數(shù)。

∴3la-bl+la+bl-lc-al+2lb-cl

=-3（a-b）-（a+b）-（c-a）-2（b-c）

=-3a+3b-a-b-c+a-2b+2c

=-3a+c

顯然用“特殊值”思維很容易就去掉了絕對值符號，把一個不易解決的問題轉(zhuǎn)化為一個容易解決的問題——化難為易，這讓同學(xué)們感受到成功的快樂，體驗獨自克服困難，解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難的勇氣，增強他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

又如：案例2.若-1＜x≤2，化簡lx+1l-lx-2l。

解析：該題思維一樣，用“特殊值”思維就可搞定，在-1＜x≤2范圍內(nèi)取x為0（取的值最好避開端點值2），則x+1=0+1=1，x-2=0-2=-2，由于1為正數(shù)，所以當(dāng)-1＜x＜2時x+1為正數(shù)，由于-2為負(fù)數(shù)，所以當(dāng)-1＜x≤2時x-2為負(fù)數(shù)。

∴l(xiāng)x+1l-lx-2l

=x+1+(x-2)

=x+1+x-2

=2x-1

如果我們把x的取值范圍改為-2＜x＜5，化簡lx+1l-lx-2l時要先求出零點值，x+1=0，x=-1；x-2=0，x=2，則取值范圍劃分為：-2＜x＜-1，-1≤x＜2，2≤x＜5，再分別在其范圍內(nèi)取“特殊值”，如-2＜x＜-1時取x=-1.5來看：x+1=-0.5為負(fù)數(shù)，x-2=-3.5為負(fù)數(shù)，所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3，當(dāng)-1≤x＜2時取x=0來看，（取的值最好避開端點值-1），x+1=1（正數(shù)），x-2=-2（負(fù)數(shù)）

∴l(xiāng)x+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

當(dāng)2≤x＜5時取x=3來看（取的值最好避開端點值2），x+1=4（正數(shù)），x-2=1（正數(shù)）

∴l(xiāng)x+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3

如果我們又把x的取值范圍去掉，題目改為化簡lx+1l-lx-2l，零點值求出來為-1和2，則x的取值范圍為：x＜-1；-1≤x＜2；x≥2，分別在各范圍內(nèi)取“特殊值”再討論化簡，當(dāng)x＜-1時不妨取“特殊值”x=-2，則x+1=-1（負(fù)數(shù)），x-2=-4（負(fù)數(shù)），所以lx+1l-lx-2l=-x-1+x-2=-3。當(dāng)-1≤x＜2時，不妨取“特殊值”x=1，則x+1=1（正數(shù)）；x-2=-1（負(fù)數(shù)），所以lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1，當(dāng)x≥2時，不妨取“特殊值”x=3（取的值最好避開端點值2），則x+1=4（正數(shù)）；x-2=1（正數(shù)），所以lx+1l-lx-2l=x+1-（x-2）=3。（注：避開端點值其目的是判斷其是正數(shù)或負(fù)數(shù)，免得值為0時不能確定其絕對值是本身還是相反數(shù)。）

綜上所述：當(dāng)x＜-1時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=-3

當(dāng)-1≤x＜2時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=2x-1

當(dāng)x≥2時，lx+1l-lx-2l=x+1+x-2=3

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，通過“特殊值”入手進(jìn)行分析，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單易懂的問題，增強了同學(xué)們戰(zhàn)勝困難的信心，提高了他們分析問題、解決問題的能力。

“特殊值”思維不但在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中作用較大，在初中平面幾何學(xué)習(xí)中同樣用途也很廣。

案例4：已知∠MON，在∠MON內(nèi)畫很多條射線，如果加上∠MON的兩邊OM和ON共有n條射線，問圖中共有多少個角，（①小于平角的角；②用n的代數(shù)式表示；③n≥3。）

因為n不是具體的數(shù)字，所以學(xué)生們理解及解決都很困難，但如果把n給一個“特殊值”就很簡單了。

1.當(dāng)n=3時，如圖（一）所示，一看共有3個角，分別為∠MOA，∠MON和∠AON。

又如：

例5：將兩個直角三角形紙板，如下圖所示的擺放，∠ACB=∠CED=90°，∠A=∠B=45°，∠ECD=60°，CF平分∠ACE，CM平分∠BCD，求∠FCM的度數(shù)。

這是一道難度較大的幾何題，求解不易，絕大多數(shù)學(xué)生都難解決，但是我們把圖（一）稍微改變，變成：如圖（二）所示的特殊情形問題就好解決了。

∴∠FCM=∠FCE+∠BCM

=45° +30°

=75°

但只從這種特殊情況下求得的∠FCM的度數(shù)，在圖（一）這種情況下是不是還是75°呢？

在圖（一）中：∵CF平分∠ACE，CM平分∠BCD

其是，我們將60°的∠ECD繞C點旋轉(zhuǎn)任意角度（如圖（三）或如圖（四））在相應(yīng)的情況下求得的∠FCM都等于75°。這種從特殊位置著手分析解決問題，變抽象為具體，把不易解決問題轉(zhuǎn)化為特殊形式的問題來探究，并且發(fā)現(xiàn)圖（二）的∠FCM等于一個具體的數(shù)“75°”，這讓同學(xué)們聯(lián)想到其他情況下，這個∠FCM會不會都是“75°”，這揭發(fā)了同學(xué)們探索數(shù)學(xué)問題的興趣。

利用“特殊值”思維來解決數(shù)學(xué)問題的情形還很多，由此可見“特殊值”思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中作用很大，它讓同學(xué)們把復(fù)雜抽象的問題轉(zhuǎn)換為簡單特殊的問題來解決。讓學(xué)生們對數(shù)學(xué)有好奇心和求知欲，在解決問題的過程中讓他們體驗獲得成功的樂趣。鍛煉克服困難的意志，建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心，這樣對他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幫助很大，所以在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中請我們的老師和同學(xué)們大膽用“特殊值”思維來解決數(shù)學(xué)問題，當(dāng)然也要分情況來看，具體問題具體分析，也并不是所有問題都能用“特殊值”思維來解決。