考慮初始應(yīng)力各向異性彈塑性巖土體小孔擴(kuò)張解

蔣功化，李超

(1.湖南路橋建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，湖南 長沙410004；2.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙410075)

小孔擴(kuò)張在土木工程中得到了廣泛的應(yīng)用，如樁基工程、注漿工程、地下工程和現(xiàn)場測試等。常采用不同的破壞準(zhǔn)則和模型來研究和分析小孔擴(kuò)張機(jī)理。巖土工程領(lǐng)域的一些小孔擴(kuò)張分析如下：理 論 研 究[2?9,12,17,20?26,30,32?33]；工 程 應(yīng) 用[10,13,31]；數(shù)值模擬與實驗[11?19]以及其他。然而，上述發(fā)表的小孔擴(kuò)張論文大多基于各向同性和不排水破壞準(zhǔn)則，這與實踐中的現(xiàn)場情況不符，由于土體的初始固結(jié)，天然土體初始應(yīng)力可能是各向異性的[1,9]。另外，對于施工速度相對較緩慢的工程，尤其是對于滲透性高的巖土體，理論計算中采用排水假設(shè)，與實際工程中的現(xiàn)場情況更加相符。在飽和土體中，考慮初始應(yīng)力各向異性和排水條件影響的理論解也很少。將基于K0-修正劍橋(K0-MCC)模型[9]應(yīng)用于天然土體分析，提出了一種實用的近似閉合解，文中采用K0系數(shù)反映了初始應(yīng)力各向異性的影響。CHEN等[4]在考慮排水條件的修正劍橋(MCC)模型的基礎(chǔ)上，提出了圓柱小孔擴(kuò)張問題的精確彈塑性理論解。RUSSELL等[14]提出了基于Mohr-Coulomb破壞準(zhǔn)則的小孔擴(kuò)張問題的相似解，以研究和分析砂土的行為。李林等[34?35]對初始應(yīng)力各向異性黏土小孔擴(kuò)張問題，基于臨界狀態(tài)模型，進(jìn)行了詳細(xì)的不排水解分析，并結(jié)合靜壓樁工程進(jìn)行應(yīng)用分析。同時，隨著破壞準(zhǔn)則和模型的發(fā)展，在更先進(jìn)的土體模型(UST模型)中采用小孔擴(kuò)張是必要的[28]。將統(tǒng)一強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則引入小孔擴(kuò)張機(jī)理分析中，由于簡單的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在工程實踐中得到了廣泛的應(yīng)用。綜上所述，以上發(fā)表的小孔擴(kuò)張論文大多是基于各向同性和不排水的破壞準(zhǔn)則，對于施工速度相對較緩慢且滲透性高的巖土工程，理論計算可能產(chǎn)生較大誤差。本文的主要目的是在統(tǒng)一強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，考慮初始應(yīng)力各向異性和排水條件的影響，針對施工速度相對較緩慢且滲透性高的巖土體問題，建立一個球孔擴(kuò)張理論解。最后，通過發(fā)表的實例和參數(shù)研究來驗證理論解的適用性，并用b系數(shù)反映了初始應(yīng)力各向異性的影響。

1 問題描述

初始水平應(yīng)力為σh0，初始豎向應(yīng)力為σv0，隨著內(nèi)部擴(kuò)張壓力p的增大，小孔內(nèi)壁首先出現(xiàn)屈服，隨著內(nèi)部擴(kuò)張壓力的增大孔壁周圍巖土體逐漸發(fā)展成塑性區(qū)。小孔壁的最終半徑為au，彈塑性邊界半徑為rb，相應(yīng)的EP邊界徑向位移為urb，小孔擴(kuò)張問題的示意圖如圖1所示。

圖1 小孔擴(kuò)張問題的示意圖Fig.1 Mechanical model for cavity expansion

2 假設(shè)條件

一些假設(shè)表達(dá)如下：

1)YU[29]提出了統(tǒng)一強(qiáng)度理論(UST)，由于統(tǒng)一強(qiáng)度理論概念清晰，數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，將統(tǒng)一強(qiáng)度理論應(yīng)用于小孔擴(kuò)張問題，數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

其中，黏聚力為c；內(nèi)摩擦角為φ；b是反映中間主應(yīng)力對材料屈服影響的強(qiáng)度參數(shù)(0≤b≤1)，m是中間主應(yīng)力的參數(shù)；m→1意味著材料趨向于塑性狀態(tài)，在下面的塑性分析中假設(shè)m≈1[28]。

2)在彈性區(qū)，應(yīng)力?應(yīng)變關(guān)系可以表示為：

3)大應(yīng)變理論的形式如下：

4)在彈性區(qū)和塑性區(qū)都滿足應(yīng)力平衡方程：

其中，σr和σθ分別是徑向和切向應(yīng)力。

5)平均應(yīng)力p和偏應(yīng)力q表示為：

其中，σz是豎向應(yīng)力。

3 理論推導(dǎo)

3.1 彈性區(qū)分析

彈性區(qū)土體的應(yīng)力和位移可以寫成：

在EP邊界，可以寫出小孔周圍土體的位移：

邊界條件可以寫出：

3.2 彈塑性邊界分析

下面對彈性和塑性區(qū)的邊界處進(jìn)行分析。為了確定彈性和塑性區(qū)的位置(rb)，根據(jù)YU等[28]的相似解，計算排水條件下的半徑(rb)。

根據(jù)YU等[28]的理論：

孔周土體顆粒的速度可以表示出來：

因此，

根據(jù)YU等[28]的觀點，微分方程可以表示為以下形式，為了避免重復(fù)，沒有對該微分方程進(jìn)行詳細(xì)描述。該微分方程的詳細(xì)推導(dǎo)可參考文獻(xiàn)[28]：

其中，ψ是剪脹角。

因此，

其中，

根據(jù)等式(11)，

由式(22)也可以得到：

其中，

對于小孔壁r=a，V=da/drb，所以：

根據(jù)相似解技術(shù)可以表示：

半徑(rb)與小孔壁當(dāng)前半徑(a)的比值可以表示如下：

a確定后即可得到半徑rb。

3.3 應(yīng)力分析

下面對應(yīng)力進(jìn)行分析。聯(lián)立等式(9)，(10)，(11)和(1)，也可以得到，也可以求出rb處的總徑向應(yīng)力：

切向應(yīng)力：

由于在塑性區(qū)巖土滿足屈服準(zhǔn)則和應(yīng)力平衡方程，因此，將方程式(6)，(1)和邊界條件聯(lián)立可以得到：

聯(lián)立式(35)，(33)和(13)：

總徑向應(yīng)力可以得：

3.4 塑性區(qū)極限膨脹壓力

根據(jù)式(35)可導(dǎo)出極限膨脹壓力：

4 結(jié)果驗證

土工材料的參數(shù)值參考YU等[27]，內(nèi)摩擦角φ在20°～50°之間，剪脹角ψ在0°～φ°之間變化。如表1 所示，本解的結(jié)果(rb/a)與YU等[27]的數(shù)據(jù)基本一致。

表1 本文解的結(jié)果(rb/a)與YU的比較Table 1 Comparison between the results(rb/a)of the present solution and YU

如圖2和圖3所示，研究了初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b對半徑比和歸一化內(nèi)壓的影響，半徑比(rb/a)隨初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b的增大而非線性減小，歸一化內(nèi)壓(p/p0)隨著初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b的增大，呈非線性增加，說明忽略初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b對半徑比和歸一化內(nèi)壓的影響會導(dǎo)致計算錯誤。

圖2 初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b對rb/a影響Fig.2 Results(rb/a)of the present solution for different b

表2 本文解的結(jié)果(p/p0)與YU的比較Table 2 Comparison between the results(p/p0)of the present solution and Yu and Houlsby[27]

圖3 初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b對p/p0影響Fig.3 Results(p/p0)of the present solution for different b

5 結(jié)論

1)與傳統(tǒng)解不同，本文解同時考慮了巖土體各向異性和排水條件影響。

2)半徑比(rb/a)隨初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b的增大而非線性減小，歸一化內(nèi)壓(p/p0)隨初始應(yīng)力各向異性系數(shù)b的增大而非線性增大。