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    在體積教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的量感

    2021-07-30 17:02:41楊征
    遼寧教育·教研版 2021年7期
    關(guān)鍵詞:等底圓錐體圓錐

    楊征

    量感作為數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一,在當(dāng)前的新課改進程中已經(jīng)引起了眾多教師的關(guān)注,它是對量的一種直覺與感覺,是空間觀念在測量領(lǐng)域的具象化與精細(xì)化,具有非標(biāo)準(zhǔn)化特征:既看不見,也摸不著。但量感的培養(yǎng),有助于學(xué)生理解量的概念、體會量的大小、強化數(shù)量的感知。同時,能提高學(xué)生的估算與估測能力。因此,它對學(xué)生思維能力和問題解決能力的發(fā)展具有重要意義。但是,量感的形成很難有統(tǒng)一的測量與評價標(biāo)準(zhǔn),對于學(xué)生學(xué)得如何,掌握得怎樣,是難以用紙筆進行檢測的。而且,量感的建立一開始依賴于經(jīng)驗的積累,到一定程度后才能靠經(jīng)驗、理性的疊加構(gòu)建模型,形成觀念。因此,量感的建立不可能一蹴而就,而是在學(xué)習(xí)過程中逐步體驗和建立起來的。

    在教學(xué)“圓錐的體積”一課時,教材中不少環(huán)節(jié)的設(shè)計,都有利于學(xué)生量感的培養(yǎng)。我利用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的“圓柱的體積”的基礎(chǔ),先以“圓柱與圓錐體容器哪個裝得更多”的問題引發(fā)學(xué)生思考,提出本次探究實驗的目的,即比較兩者的體積大小,并找尋兩者之間的關(guān)系;再通過小組合作,探究了等底等高以及非等底等高條件下圓柱與圓錐之間的關(guān)系。結(jié)合前測學(xué)情,我采用3D技術(shù)打印定制特殊數(shù)據(jù)的學(xué)具,讓學(xué)生充分操作和體驗,自主推導(dǎo)出圓錐的體積公式,進而培養(yǎng)了學(xué)生的主動探究能力和合作精神,在“猜測—實驗—結(jié)論—驗證”過程中發(fā)展了學(xué)生的量感。

    一、激活經(jīng)驗,在直觀視覺中植入量感萌芽

    六年級學(xué)生在學(xué)習(xí)圓錐的體積時,已有哪些學(xué)前基礎(chǔ)?對圓錐與圓柱的關(guān)系了解多少?學(xué)生在猜想圓錐體積計算公式的過程中,會有哪些猜想?有哪些困惑?怎樣引導(dǎo)學(xué)生進行合理有效的猜想?這些問題都是教學(xué)設(shè)計前與設(shè)計中需要考慮的方向。

    美國特拉華大學(xué)蔡金法教授說:“數(shù)學(xué)問題的提出是指基于某個問題情境,通過接受已知或改變已知的方式來提出新的數(shù)學(xué)問題,然后將其以問題的形式表示出來?!钡鹊椎雀叩膱A柱與圓錐形狀放在一起,學(xué)生很容易從視覺上就判定“圓柱體積比與它等底等高的圓錐大”,但大多少,它們有怎樣的倍數(shù)關(guān)系,卻沒有明確概念。因量感經(jīng)驗積累不足,大部分學(xué)生對特殊數(shù)據(jù)的圓柱與圓錐之間的關(guān)系,難以判斷。我們嘗試加入了三個學(xué)習(xí)前測題(如圖1,圖2,圖3)。

    前測題1:判斷圖1中圓柱與圓錐的面積大小。(單位cm)

    前測題2:判斷圖2中圓柱與圓錐的面積大小。(單位cm)

    前測題3:判斷圖3中圓柱與圓錐的面積大小。(單位cm)

    前測情況為:當(dāng)圓柱與圓錐底面積相等,圓錐高為圓柱2倍時,能正確判定圓柱體積大的學(xué)生約占53%;當(dāng)圓柱與圓錐高相等,圓錐底面積為圓柱9倍時,能正確判定圓錐體積大的學(xué)生約占48%;當(dāng)圓柱與圓錐底面積相等,圓錐的高為圓柱3倍時,能正確判定圓柱與圓錐的體積一樣大的學(xué)生約占25%。

    只依靠形象直觀的圖示與學(xué)生的已有知識經(jīng)驗,還不足以解決圓柱與圓錐體積關(guān)系的問題。我們?nèi)孕柙诖嘶A(chǔ)上調(diào)整教學(xué)設(shè)計,以激發(fā)學(xué)生的量感意識。

    二、聚焦問題,在方法辨析中啟動量感意識

    基于學(xué)生的上述問題,我確定了本課學(xué)習(xí)目標(biāo):一是通過觀察、猜測、實驗、驗證的科學(xué)探究過程,理解并掌握圓錐的體積公式,發(fā)展學(xué)生量感;二是在學(xué)習(xí)中感悟科學(xué)探究方法,提高抽象推理能力;三是增強學(xué)生自主探究意識,體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值與樂趣。

    為達到學(xué)習(xí)目標(biāo),設(shè)計前我進行了一系列思考:首先,本課是只探究等底等高圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系,還是相信學(xué)生,加入特殊數(shù)據(jù),引導(dǎo)深度探究,建構(gòu)深層次“圓錐體積”模型,以達到量感培養(yǎng)目標(biāo)?在學(xué)生經(jīng)歷“等底等高圓柱與圓錐體積之間關(guān)系”探究全過程后,我加入了3組特殊數(shù)據(jù)圓柱與圓錐體積之間關(guān)系的實驗,引導(dǎo)學(xué)生分組進行深度探究,在課堂生成中啟發(fā)、培養(yǎng)、發(fā)展了學(xué)生的量感。

    其次,是研究圓錐體積還是容積?如何幫助學(xué)生界定體積與容積概念?是選用“冰淇淋”(圓柱體的冰淇淋與等底等高圓錐體冰淇淋,哪個體積更大)還是選用圓柱與等底等高的圓錐體容器來乘水?哪個更貼近生活?哪個更能引起學(xué)生的探究興趣?哪個更容易感知和培養(yǎng)量感?相對于水,學(xué)生對“冰淇淋”更有興趣。但是,固體計算體積,后續(xù)實驗用具盛的是水,測的是容積。為了減少中間的交替,我選用了飲用水并在課中交待:判斷哪種容器裝得多,說的是容積,但在小學(xué)階段,我們可以將容積與體積合并研究。

    再次,實驗器具的選擇,為什么只能找到等底等高的圓柱與圓錐體容器?特殊數(shù)據(jù)的圓柱與圓錐體容器怎樣解決?容器中所盛物體用細(xì)沙、小米還是水更能降低實驗誤差?特殊數(shù)據(jù)成套的圓柱與圓錐體容器不易尋找,因此我通過3D技術(shù)打印定制特殊數(shù)據(jù)的容器,解決了實驗器具的問題。在多次課前嘗試和實驗中我發(fā)現(xiàn),用細(xì)沙或小米,人為增加了操作難度,量勺與每次刮平的動作,拉長了實驗時間,干擾了學(xué)生專注力與實驗的準(zhǔn)確性。這樣,不但無法達到建構(gòu)的目的,反而增加了學(xué)生處理誤差的難度。而實驗改用盛水后,操作較為順利,誤差也有所降低。

    還有兩個問題值得重視:實驗中出現(xiàn)誤差怎么辦?如何引導(dǎo)學(xué)生正確看待誤差?作為有“特殊數(shù)據(jù)”實驗用具的圓柱與圓錐,在3D打印時,應(yīng)特別關(guān)注厚度與高度。課前,應(yīng)多次實驗,選取誤差最小的器具在課堂使用。在指導(dǎo)學(xué)生進行實驗時,我通過問題“實驗中需要注意什么”引導(dǎo)學(xué)生注意正確操作,提示他們?nèi)绻僮鞑划?dāng)時,就可能會引起誤差。

    對于個別學(xué)生出現(xiàn)的錯誤:長方形旋轉(zhuǎn)成圓柱體,三角形旋轉(zhuǎn)成圓錐體,長方形面積是三角形面積的2倍,所以圓柱體體積也應(yīng)是圓錐體體積的2倍。應(yīng)從算理的角度在新課時進行分析與研究。

    最后,在實驗中,若“等底等高”與“特殊數(shù)據(jù)”同時呈現(xiàn)在一次實驗中,還是在二次實驗中分別解決?

    在試教中我發(fā)現(xiàn),“等底等高”與“特殊數(shù)據(jù)”同時呈現(xiàn)在一次實驗中,如5個小組實驗等底等高,2個小組實驗等底不等高,1個小組等高不等底,這3組實驗“特殊數(shù)據(jù)”的學(xué)生沒有經(jīng)歷等底等高實驗的感知,難以建構(gòu)圓柱與圓錐關(guān)系模型,無法進行推導(dǎo)過程說明。于是,我將設(shè)計改為:第一輪,全班學(xué)生一起完成等底等高數(shù)據(jù)實驗;第二輪,分組探究特殊數(shù)據(jù)形狀之間的關(guān)系。這樣,在建立基礎(chǔ)模型的過程中,提高了學(xué)生的度量意識。

    三、發(fā)展思維,在實驗檢驗中積累量感經(jīng)驗

    數(shù)學(xué)實驗是蘊含思維的數(shù)學(xué)活動,是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)、體驗數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)的一種重要方式。數(shù)學(xué)實驗?zāi)茏寣W(xué)生在觀察、操作、實驗中習(xí)得知識,積累量感經(jīng)驗,激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性,增進對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。在本課設(shè)計中,要進行兩輪操作實驗,在實驗中感知量、培養(yǎng)量感。

    【實驗一】探索等底等高圓柱與圓錐之間的關(guān)系

    師:同學(xué)們,數(shù)學(xué)課要用數(shù)據(jù)說話,老師給每個小組都準(zhǔn)備了一套圓柱與圓錐,請大家動手操作,用實驗結(jié)果來驗證我們的猜想。拿到學(xué)具你打算怎么操作?

    生:比較圓柱與圓錐的底與高,看看是不是等底等高。

    生:將圓錐盛滿水,注入圓柱,看倒了幾次,就是幾倍的關(guān)系。

    師:在實驗開始之前你有什么想要提醒同學(xué)們在操作過程中需要注意的事項?

    生:將圓錐盛滿水后,注入圓柱體中,記錄注入次數(shù)。

    生:使圓柱剛好裝滿而不溢出。

    生:注入動作要緩慢、平穩(wěn),以免產(chǎn)生誤差。

    師:說得真好,這些注意事項都能幫助我們在實驗中減小誤差,提高實驗的科學(xué)性以及準(zhǔn)確性。

    師:這次實驗的圓柱與圓錐,底面直徑都為10cm,高都為15cm。請大家根據(jù)你們總結(jié)出的注意事項小組合作,進行實驗操作并完成實驗報告單。

    師:請大家來分享你們的實驗結(jié)果。

    小組1:我們小組將圓錐盛滿水后注入圓柱,剛好倒了3次。

    小組2:我們的結(jié)果和剛剛匯報的小組一樣,也是倒了3次。

    小組3:我們組將圓柱盛滿水,總共倒?jié)M了3杯圓錐。

    師:根據(jù)大家匯報的實驗數(shù)據(jù),你有什么發(fā)現(xiàn)?

    生:圓錐的體積V等于與它等底等高圓柱體積的三分之一。

    生:圓柱的體積是與它等底等高的圓錐體積的3倍。

    生:圓錐體積是圓柱體積的三分之一。

    師:這樣表達可以嗎?有沒有其他意見?

    生:應(yīng)該還要加“等底等高”。

    師:為什么?

    生:從實驗來看,“等底等高”這個前提條件下的圓柱和圓錐才有3倍的關(guān)系。

    【實驗二】探索非等底等高圓柱與圓錐之間的關(guān)系

    師:剛才我們經(jīng)歷了提問—猜測—實驗—結(jié)論—解決問題的全過程,探索的是等底等高的一組圓柱與圓錐,如果它們的條件發(fā)生改變,你們還能準(zhǔn)確判斷它們的體積大小嗎?

    師:請看,現(xiàn)在有這樣三套圓柱與圓錐體容器,它們的數(shù)據(jù)是這樣的,請大家說一說,你了解了什么數(shù)學(xué)信息?(如圖4)

    生:第一套,圓柱與圓錐的底面直徑相等,但圓錐的高是圓柱高的2倍。

    生:第二套,圓柱與圓錐的高度相等,都是12厘米,但圓錐底面直徑是圓柱底面直徑的3倍。

    生:第三套,圓柱與圓錐的底面直徑相等,圓錐的高是圓柱高的3倍。

    師:你認(rèn)為每套中哪個容器的體積更大?將你猜一猜、估一估的結(jié)果填在學(xué)習(xí)單上,你認(rèn)為每套中哪種形狀的容器裝得多就在下方打“√”,如果認(rèn)為兩者同樣多那么兩者都打“√”。

    師:請各小組拿出另一套學(xué)具,通過實驗來驗證猜想。

    生:我們組形狀的數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的底面直徑相等,但圓錐的高是圓柱高的2倍”。我們將圓錐裝滿水,倒了1次半就把圓柱倒?jié)M了,所以我們判斷,圓柱形的體積較大。

    生:在實驗前我們就想,圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一,現(xiàn)在底相等,但圓錐的高是圓柱高的2倍,所以它們的體積不可能一樣大。

    生:我們組實驗的數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的高度相等,都是12厘米,但圓錐的底面直徑是圓柱底面直徑的3倍?!币驗閳A柱看起來明顯比較小,所以我們將圓柱裝滿水往圓錐里倒,倒了3次,所以我們認(rèn)為圓錐形容器的體積較大。

    生:我們組實驗的形狀數(shù)據(jù)是“圓柱與圓錐的底面直徑相等,圓錐的高是圓柱高的3倍”。我們將圓錐乘滿水往圓柱里倒,剛好一次就倒?jié)M了,所以我們認(rèn)為這兩種數(shù)據(jù)的容器體積一樣大。

    生:如果說圓錐的體積是與它等底等高圓柱體積的三分之一,現(xiàn)在圓柱與圓錐體積相等,它們的底也相等,那圓錐的高應(yīng)該是圓柱高的3倍。

    在組織“量”的教學(xué)活動中,我引導(dǎo)學(xué)生觀察、操作、比較、驗證、表達,將模糊的感覺體現(xiàn)在實驗學(xué)具中,讓感覺得到校正,并逐步清晰。這樣,依托具體形象思維,引導(dǎo)學(xué)生積累量感經(jīng)驗,使他們體驗了量感建立的過程。課堂實驗結(jié)束后,我對學(xué)生進行知識點后測,結(jié)果能正確判斷的較前測提高了約200%。

    四、利用經(jīng)驗,在抽象推理中構(gòu)建量感模型

    數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強的學(xué)科,具有高度的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用的廣泛性等特征。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷量感體驗過程后,還應(yīng)自覺遷移,解決生活中的實際問題,利用量感經(jīng)驗進行抽象推理,構(gòu)建量感模型。基于此,我設(shè)計了以下兩個問題:

    1.圓錐是與它等底等高圓柱的三分之一,如果是高度各取一半,等式是否還成立?(如圖5)

    2.在等高等體積的情況下,圓錐的底面積應(yīng)是圓柱的幾倍?

    學(xué)生無需經(jīng)歷所有數(shù)據(jù)的實驗,每一次的估測都是對量感的積累與培養(yǎng)。在教學(xué)中,我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生了解:當(dāng)已知“圓錐是與它等底等高圓柱體體積的三分之一”時,其他特殊數(shù)據(jù)圓錐與圓柱體積的關(guān)系均可根據(jù)推理與計算得出結(jié)論。

    學(xué)生的量感建立是呈鏈狀的,一環(huán)扣一環(huán)、一點接一點,需要教師不斷給學(xué)生提供尋找它們之間關(guān)系的機會和平臺,幫助其產(chǎn)生鏈接,讓量感從無到有、從碎片到整體,最終目的是讓這看不見、摸不著的“量感”,自然地植入學(xué)生的思維并應(yīng)用于生活。本課的教學(xué)設(shè)計,每一個知識點,都在引導(dǎo)學(xué)生合乎邏輯地思考問題,不斷穿越表象,去偽求真。我引導(dǎo)學(xué)生針對圓錐體積的本質(zhì)進行了深入解讀,在此基礎(chǔ)上,發(fā)展了學(xué)生的量感,讓量感的建立更精準(zhǔn)、豐滿、靈動、自由,為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

    (責(zé)任編輯:楊強)

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