鋼筋混凝土雙曲拱橋計算模型修正方法

王浩宇， 淳慶

(東南大學 建筑學院， 江蘇 南京 210096)

鋼筋混凝土雙曲拱橋是我國六七十年代特殊國情背景下興起的一種特殊結構類型的拱橋，它有著結構輕巧、用料較少、造型極具民族特色、施工快速等諸多優(yōu)點，但是限于當時荷載等級和設計水平較低，大多沿用至今的雙曲拱橋都存在各種殘損病害，亟需對其進行加固修繕.

在國外，由于實際工程的缺乏，大多學者研究的對象都是石制單向拱橋，如Cavalagli等[1]對多種幾何尺寸的砌體拱橋進行的安全性分析，Pepi等[2]對砌體古橋的動力特性分析等.目前，國內的一些學者也利用有限元方法研究雙曲拱橋.如陳旭勇等[3]通過理論計算和ANSYS有限元模擬來研究雙曲拱橋加固前后的結構性能對比；趙人達等[6]、張向東等[7]利用平面桿梁單元模擬主拱圈、空腹及實腹段；劉加灣等[8]、漆泰生等[9]用空間梁單元模擬主拱圈及空腹墻，填料則結合空間桿單元模擬，橫向拱波及橋面板用空間板單元；徐家云等[10]、王敏強等[11]用實體單元模擬主拱肋，橫向拱波，空腹墻等，并根據具體問題作適當簡化；程章宏等[12]將拱波拱肋通過等效得到一種等效的模型截面，從而用梁單元直接模擬拱波和拱肋，并用桿單元模擬填料，橋面板用等效格子梁方式建模.

綜上，國外學者研究的拱橋完全不同于中國的雙曲拱橋，而國內學者偏重于雙曲拱橋的受力性能研究.關于雙曲拱橋的模型修正方法研究鮮有報道.鑒于此，本文將以南京長江大橋雙曲拱橋為例，對雙曲拱橋的模型修正方法進行研究.

1 雙曲拱橋有限元模型建立

1.1 實體單元模型的建立

南京長江大橋被列為中國第一批工業(yè)遺產保護名錄，其公路橋共有33孔雙曲拱橋，包括北岸4孔、南岸18孔和回龍橋11孔；每孔雙曲拱的主拱圈由預制的混凝土構件和工地現澆的混凝土結合而成，即下層由預制的16根拱肋和15跨拱波拼成，拱波上表面澆筑6 cm的現澆鋼筋混凝土面層.

文中以南京長江大橋雙曲拱引橋為例(圖1)，通過有限元模型計算結果與雙曲拱橋現場測試結果[16]的對比分析，研究適合于雙曲拱橋性能計算的有限元模型修正方法.

(a) 外側 (b) 內側

主拱圈的簡化是通過面掃掠線形成體的方式來對主拱圈進行建模，主拱圈中央截面簡化為一個矩形，減去了15個半圓弧與矩形的和.拱肋之間的橫桿無需再單獨建立，一是考慮到主拱圈截面在原拱波處模擬的厚度偏大，此處橫向剛度的增加正好對應連桿所具有的一定橫向剛度；二是由于如果需要完全精細化模擬，連桿的尺寸相對于拱肋過小，在劃分網格時相接處會產生大量的細小的網格，增加了計算量.

南京長江大橋雙曲拱橋單跨的實體單元模型，如圖2所示.模型選用的單元Solid 65(共650 639個)，結構阻尼比為0.05，混凝土選用C30混凝土，抗壓強度為30 MPa，彈性模量為30 GPa，密度為2 350 kg·m-3，泊松比為0.3；拱頂填料彈性模量為19 GPa ，密度取天然砂礫石的堆積密度1 374 kg·m-3，泊松比為0.3.

圖2 雙曲拱橋的實體單元有限元模型

1.2 梁桿單元等效模型的建立

將拱肋拱波組成的主拱圈截面進行等效[12]，得到簡化后等效的主拱圈截面，如圖3所示.在ANSYS中導入等效的拱肋截面，通過創(chuàng)建等效截面的各個點，點連線，線圍成面的方式完成等效拱肋截面的繪制，并將其存入作為一號梁截面.然后，建立拱軸線上的關鍵點，查《公路橋涵設計手冊： 拱橋(上冊)》可以得到拱軸線上各個點的坐標與跨高的比值[13].最后，將關鍵點連線并復制出所有的拱肋，橫向聯結每一個節(jié)點得到橫向單元，至此完成等效的主拱圈的建模.

(a) 拱肋拱波原截面 (b) 等效后的截面(中間拱和邊拱)

雙曲拱橋的上部結構由空腹墻、墻上的空腹拱、拱頂填料和橋面板構成.由于拱頂填料只是負責傳遞橋面荷載，所以只需用受壓桿單元模擬即可；空腹墻轉化為立柱的形式，立柱沿橫向設置聯系梁；墻上的空腹拱橫向間同樣也設置聯系梁；橋面板采用等效格子梁的方式建模，除了拱頂填料其余構件均采用空間梁單元模擬.

南京長江大橋雙曲拱橋單跨的ANSYS有限元模型，如圖4所示.模型左右兩側完全固定，梁單元選用Beam 188(共16 800個)，桿單元選用Link 180(共2 410個)結構阻尼比為0.05，混凝土選用C30混凝土，抗壓強度為30 MPa，彈性模量為30 GPa，密度為2 350 kg·m-3，泊松比為0.3；拱頂填料彈性模量為19 GPa ，密度取天然砂礫石的堆積密度1 374 kg·m-3，泊松比為0.3.

圖4 雙曲拱橋的梁桿單元有限元模型

2 靜動力分析

2.1 有限元模型靜力分析

為證明有限元模型計算的有效性，將模型計算數據與現場實測數據進行比較.選取兩種典型的工況進行分析，工況一為按跨中斷面正彎矩最不利加載位置對稱加載，工況二為按拱腳斷面負彎矩最不利加載位置偏心加載.圖5為不同工況下的荷載布置，表1為模型計算及現場實測的數據[16].表1中：模型1為梁桿單元模型；模型2為實體單元模型.

(a) 工況一車輛橫向布置圖 (b) 工況一車輛縱向布置圖

表1 有限元計算及現場實測的L/2處豎向撓度

由表1可知：梁桿單元模型的豎向撓度總體上要比現場試驗結果稍微的偏大一些，靠近邊跨的地方誤差較大，在跨中誤差較小，總體誤差范圍為1.59%～24.60%；實體單元模型的豎向撓度在跨中部分與現場試驗值吻合較好， 總體誤差范圍為1.59%～20.30%.但是能夠看出的是， 實體單元模擬的模型剛度稍稍偏大，計算撓度值都小于現場實測的數據.這主要是因為在主拱圈的等效過程中加厚了拱波的厚度，使其具有了一定的豎向承載能力，參與了結構豎向的承載增加了結構的豎向剛度.另外，因為ANSYS中實體單元建模等于各個構件之間默認剛接，所以增大了模型的剛度，從靜力分析來看，實體單元模型比梁桿單元模型更加準確.

2.2 有限元模型動力特性分析

計算分析梁桿單元模型和實體單元模型的動力特性，將雙曲拱橋有限元模型的前3階自振周期、自振頻率及振型描述與現場實測結構動力特性[17]進行對比，結果如表2所示.表2中：n為振型階次.

表2 雙曲拱橋有限元模型與實測的結構動力特性對比表

由表2可知:現場測試的單跨雙曲拱橋基頻為3.45 Hz，第一階振型為豎直方向上的彎曲振動，第二階振型為橫向的扭轉振動，第三階振型為沿橋縱向的扭轉振動.模型計算結果與現場測試結果的對比顯示，采用梁桿單元模擬的雙曲拱橋，前三階固有頻率都要略微小于現場實測值，總體誤差為2.5%～18.9%，說明其豎向抗彎與縱橫方向上的抗扭剛度都較為明顯地低于實際情況.

實體單元模型計算結果與現場實測結果較為復合.從固有頻率看，前三階固有頻率實體單元模型大于現場數據，總體誤差為2.0%～4.9%；從振型上看也基本吻合，一階振型是沿橫向的扭轉振動，二階振型是沿縱向的扭轉振動，三階振型是豎向的彎曲振動.這說明梁桿單元模型較真實情況存在著剛度的缺失，而實體單元模型由于較為精細地模擬了雙曲拱橋，所以動力特性與實際情況基本吻合.

2.3 模型的選取

實體單元模型由于是精細化模擬，所以與實際情況最為接近，模型的靜、動力特性也就最準確.但它的缺陷也十分明顯，網格劃分過多導致的結果使得計算時間變長，計算效率低下.因此，選取修正的模型是梁桿單元等效模型，使其靜動力特性更加接近實際情況，從而滿足后續(xù)計算效率與精度的要求.

3 有限元模型的改進方案

3.1 修正等效模型建立

由上可知，梁桿單元模擬的等效模型計算結果與實測數據存在25%以內的誤差.在等效過程中，首先等效的拱肋截面在原拱波拱頂處是圓弧面，立柱模擬的空腹墻可能在與主拱圈交接處存在著較大的空隙，從而會影響到結構的整體剛度；其次，上述方法忽略了空腹式拱橋拱上建筑與主拱圈的聯結作用，這種聯結作用也能夠很好的增強模型的整體剛度；最后，用等效的格子梁來代替橋面板，并不能很好地反應橋面板縱橫方向上的抗彎、抗扭剛度，等效的格子梁只能夠簡單地代替橋面板起到豎向傳力作用和一些縱橫方向上的剛度.據此，需要對等效模型進一步修正.

1) 考慮立柱模擬的空腹墻與主拱圈相接處可能存在空隙導致整體剛度的缺失，根據實際情況，拱波現澆層上部為水平線，將等效的拱肋截面最頂部改為平面.

2) 拱上建筑與主拱圈的聯結作用的模擬是在同一排立柱之間加上斜撐，由于同一排空腹墻在其頂部有著拱形墻連接，這部分墻體在單用立柱模擬時并沒有被表現，因此，需要增加斜撐來增加同一排柱的關聯性，彌補缺失的抗側剛度.抗側剛度公式[18]為

(1)

式中：K為抗側剛度；h為墻的高度；b為截面長度；G為剪切模量；A為截面面積.

每根斜撐的截面應由其模擬的墻截面來定.斜撐的加入同時也加大了空腹墻與主拱圈的接觸面積，以模擬拱上建筑與主拱圈的聯結作用.

3) 用殼單元模擬橋面板來代替等效格子梁模擬橋面板，其厚度設置為空腹拱頂部至橋面的距離為40 cm，殼單元模擬橋面板更加的符合實際情況.另外，桿單元與梁、殼單元耦合時，有公共節(jié)點即可無需約束方程；梁單元與殼單元耦合時，由于自由度數目相同，自由度也相同，所以也無需約束方程.

修正后的南京長江大橋雙曲拱橋單跨梁桿單元模型，如圖6所示.模型中除了等效拱肋截面更改以外，其余截面參數都不變.梁單元選用Beam 188(共89 063個)，桿單元選用Link 180(共35 20個)，橋面板單元采用Shell 81(共1 433個)，結構阻尼比取0.05，混凝土選用C30混凝土，抗壓強度為30 MPa，彈性模量為30 GPa，密度為2 350 kg·m-3，泊松比為0.3； 拱頂填料彈性模量取19 GPa， 密度取天然砂礫石的堆積密度1 374 kg·m-3，泊松比為0.3.

圖6 修正后的雙曲拱橋梁桿單元有限元模型

3.2 參數靈敏度分析

對重新建模后的模型進行模態(tài)分析后，發(fā)現仍然存在一定的剛度缺失，固有頻率雖然有所提高，但是與現場實際測試結果仍存在較大的出入.因此引入參數的靈敏度分析，對重新建模后的模型進行修正.根據現場試驗結果和理論的頻率值構造目標函數[19]為

.

(2)

式中：F為目標函數；λai為頻率有限元計算值；λti為現場實測頻率；αi為各階自振頻率權重系數.

修正參數的選取將直接關系到有限元模型修正的成敗和優(yōu)化效率，應遵循2個基本原則：1) 選取的參數數量不能過多，參數數量太多將導致分析和優(yōu)化的工作量增加，并且使優(yōu)化迭代陷入局部最優(yōu)解；2)結合工程經驗選擇靈敏度較高的參數.因此，本研究選取橋面板厚度、混凝土彈性模量、密度等作為設計參數，并進行靈敏度分析.目標函數對設計變量的靈敏度為

(3)

用ANSYS中的最優(yōu)梯度法對設計參數進行靈敏度分析，得到模型中設計參數的變化，以及目標函數靈敏度.結果表明：目標函數對混凝土彈性模量、混凝土密度和橋面板厚度等設計參數的靈敏度分別為7.0%，6.1%和2.3%.說明，混凝土彈性模量和密度對于頻率的計算結果影響很大，橋面板的厚度也有較大的影響.因此，將混凝土的彈性模量、密度和橋面板的厚度選取為待修正的設計參數.

3.3 模型修正計算結果

將修正后的梁桿單元模型的計算結果與現場實測結果的進行比較，結果如表3所示.表3中：n為振型階次.優(yōu)化迭代后的設計參數修正值，如表4所示.表4中：Ec為混凝土彈性模量；ρ為混凝土密度；hB為橋面板厚度.

表3 修正后的梁桿單元模型與現場實測的動力特性對比

表4 設計參數修正值與初始值

從表4可知：混凝土的彈性模量比原選取值增大21.67%.材料彈性模量的增大表征的是對整個結構的剛度的修正，說明初始計算模型的結構剛度存在不足；混凝土的密度的增加是與混凝土中的配筋率和施工時的均勻程度有關；橋面板厚度的增大也說明了等效格子梁模型并不能較好的模擬橋面板受力情況，采用殼單元模擬橋面板能夠彌補剛度的缺失.

修正后梁桿單元模型的模態(tài)振型，如圖7所示.從圖7可知：修正后的等效模型比初始模型整體剛度要大，豎向抗彎與縱向抗扭剛度有較為明顯的提升，自振周期明顯降低，振型與實際情況基本一致.

(a) 修正后模型的一階振型 (b) 修正后模型的二階振型 (c) 修正后模型的三階振型

3.4 靜力分析驗證

修正后的梁桿單元模型增大了整體剛度，更加符合實際情況.對修正后的梁桿單元模型在兩種工況下的豎向變形進行計算分析，其計算結果與現場實測結果的比較，如表5所示.表5中：模型A為未修正的模型，模型B為修正后的模型.

表5 修正后的梁桿單元模型與現場實測的L/2處豎向撓度對比

由表5可知：修正后的梁桿單元模型計算結果與現場實測結果更加接近，誤差為0.40%～8.33%.說明，修正后的模型達到較高的計算精度，能夠較為準確地反映該雙曲拱橋真實的結構受力狀況.

4 結論

通過對鋼筋混凝土雙曲拱橋有限元建模方法的研究，以及與現場實測結果的對比分析，可以得出以下3點結論.

1) 雙曲拱橋采用梁桿單元模型進行靜力計算時，其總體誤差范圍為1.59%～24.60%；而采用實體單元模型計算時，其總體誤差范圍為1.59%～20.30%.采用梁桿單元模型進行動力計算時，其總體誤差為2.5%～18.9%；而采用實體單元模型計算時，其總體誤差為2.0%～4.9%.

2) 由于在模擬時的各種簡化導致雙曲拱橋梁桿單元模型存在較大的剛度缺失，計算結果精度要略差于實體單元模型.考慮到梁桿單元計算的效率與建模難度等因素，在建模方式上對梁桿單元模型進行一定的改進，并通過參數靈敏度分析的方法，對計算模型進行了混凝土彈性模量、混凝土密度和橋面板厚度的參數修正.修正后的梁桿單元模型靜動力計算結果與現場實測結果較為吻合，并且各階模態(tài)振型也較為接近實測值，靜力計算誤差在8.33%以內，動力計算誤差在2.07%以內.因此，提出的梁桿單元模型在修正后達到較高的計算精度.

3) 所提出的適用于鋼筋混凝土雙曲拱橋有限元模型修正的方法，其研究結果可以為鋼筋混凝土雙曲拱橋的建模方法、模型修正和科學計算提供依據，建議在后續(xù)研究中采用更多的工程實例進行驗證.