單星多波束天線下基于壓縮感知的多目標干擾定位

張 軼 翟盛華 陶海紅

①(中國空間技術研究院西安分院 西安 710100)

②(西安電子科技大學雷達信號處理國家重點實驗室 西安 710071)

1 引言

隨著在軌衛(wèi)星數(shù)量的不斷增多及衛(wèi)星頻譜資源越來越緊張，干擾問題日益突出，嚴重影響衛(wèi)星通信網(wǎng)絡正常穩(wěn)定運行。為了減小和消除干擾造成的惡劣影響，通常需要采用衛(wèi)星干擾源定位技術[1,2]。單星定位系統(tǒng)僅利用1顆觀測衛(wèi)星實施干擾定位，可擺脫雙星定位中對鄰星和衛(wèi)星星歷等遴選條件的限制[3,4]。

常用的單星定位體制有：(1)單星僅測向：利用相位干涉儀或空間譜估計算法對來波方向進行估計。其中，干涉儀法的測向范圍受基線長度限制，容易產(chǎn)生相位模糊；同時由于其設備復雜、造價高，目前常應用于偵查衛(wèi)星中[5]?？臻g譜估計方法可實現(xiàn)高測向靈敏度和準確度，但對星載天線陣列有很高的要求[6]。(2)利用運動學原理：星上接收機在不同位置通過對同一干擾源測量得到的多個多普勒頻率或脈沖到達時間進行定位[7]。該技術難以有效應對多目標問題，且對衛(wèi)星姿態(tài)及同步要求很高，因此只適用于低軌衛(wèi)星或傾斜軌道衛(wèi)星。(3)幅度比較式測向：利用天線的方向特性，按照接收信號幅度的不同，測定不同來波方向。該體制實現(xiàn)相對簡單，但定位精度過度依賴天線方向圖的測量精度，且無法同時處理多個同頻干擾[8]。

近年來，壓縮感知(Compressive Sensing,CS)理論[9]的興起為我們提供了一種全新的視角去看待多目標問題。研究表明，基于CS的多目標定位方法已在無線傳感器網(wǎng)絡(Wire Sensor Networks,WSN)中得到了廣泛應用，并凸顯出比傳統(tǒng)方法更好的定位性能[10–12]。但是該方法需建立大量的無線鏈路以實現(xiàn)對定位區(qū)域的充分覆蓋，而衛(wèi)星多波束天線的覆蓋特性恰好為二者的結(jié)合提供了基礎。

鑒于此，本文針對多目標定位問題，提出一種將壓縮感知理論應用于多波束衛(wèi)星的干擾定位方法，給出了明確的系統(tǒng)模型和算法流程；推導了定位誤差的理論值并分析了影響誤差的主要因素；通過軟件仿真，驗證了所提方法具備較好的定位性能。

2 多目標定位模型

2.1 節(jié)點分布特性

空間網(wǎng)格化是構(gòu)建多目標定位模型的基礎。不失一般性，設已知存在K個目標干擾源的2維感知區(qū)域被離散成N個網(wǎng)格節(jié)點，M個衛(wèi)星波束各自對應1個傳感器，用以測量其覆蓋范圍內(nèi)各節(jié)點處參考信號的接收信號強度(Received Signal Strength,RSS)。以圓形波束為例，其覆蓋單元可用正六邊形的蜂窩結(jié)構(gòu)(等效邊長為l)，且各圖形之間不存在重疊或者空隙，圖1所示為19個蜂窩網(wǎng)波束下的四色頻分復用方式。

圖 1 多波束四色復用示意圖

其中，-∞＜t ＜∞, I和ω是相互獨立的隨機變量，且分別服從區(qū)間[0, R]和[0,2π]上的均勻分布。在空間網(wǎng)格點數(shù)目足夠大的條件下，可以用節(jié)點坐標近似估計目標的位置來對K個干擾源進行定位。

2.2 壓縮感知定位原理

由于K ?N，所以干擾源的位置在空域上具有稀疏性。根據(jù)CS理論，多目標問題可以抽象成通過M維接收信號強度的有噪測量(衛(wèi)星信道中近似為高斯白噪聲)，重構(gòu)出N維空間中K稀疏位置矢量的近似問題?；灸Ｐ蜑槠渲?，P為信號發(fā)射功率，At為雨衰、大氣吸收、電離層閃爍等引起的附加衰減，與實時鏈路狀態(tài)相關。G表示波束增益，可近似計算為[13]

(5) 觀測矢量y ∈RM×1：觀測矢量為M個傳感器的實際RSS測量結(jié)果。由于多波束天線具有高靈敏度，點波束旁瓣值較高，導致鄰近波束之間有較大的重疊區(qū)域。當系統(tǒng)受到干擾時，除主要受干擾波束接收到干擾信號外，其鄰近波束也會接收到該信號(即帶外信號)。因此，y＝(y1,y2,···,yM)T中的任一元素yi代表第i個傳感器感知到的所有目標的功率疊加結(jié)果。

2.3 算法流程

圖2展示了基于CS的多目標定位方法總體框架結(jié)構(gòu)，分為離線和在線兩個階段：

圖2 總體框架結(jié)構(gòu)

(1) 離線階段

步驟 1 建立坐標系。以1號蜂窩單元中心為原點建立平面坐標系，并以此推算各波束中心指向坐標；

步驟 2 設計節(jié)點分布方案。按照2.1節(jié)方法在圓形覆蓋區(qū)域內(nèi)隨機產(chǎn)生N個動態(tài)節(jié)點，并記錄所有節(jié)點坐標；

步驟 3 構(gòu)建感知矩陣。將參考信號置于各節(jié)點處，根據(jù)多波束天線方向圖的分布特性，各點波束在不同信號源方向上的天線增益不同，使得所接收到的信號強度有較大的差異，因此按照式(3)計算各傳感器處的RSS，具體實施為：歸一化參考功率，則干擾功率等于功率系數(shù)k；入射角度、鏈路長度可結(jié)合三角函數(shù)關系，由各節(jié)點坐標、星地距離、地球曲率等聯(lián)合計算得到；考慮到目標頻率的隨機性會形成感知矩陣的不唯一性，故將載波頻率按照復用方式分別代入，對測量結(jié)果取平均值。

(2) 在線階段

步驟 4 測量RSS。當系統(tǒng)檢測到干擾時，對各傳感器接收到的所有干擾信號進行觀測，并統(tǒng)計功率疊加結(jié)果；

步驟 5 重構(gòu)稀疏矢量。利用稀疏恢復算法(如正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)、基追蹤(Basis Pursuit, BP)、原對偶內(nèi)點(Primal-Dual Interior Point, PDIP)算法等[14,15])求解目標干擾的位置矢量信息；

步驟 6 確定干擾位置。以通過門限判決的有效值對應的節(jié)點作為目標位置的近似估計，完成定位。

3 定位性能分析

3.1 隨機分布誤差

由于采用動態(tài)網(wǎng)格化的定位方法，故當定位成功時，估計誤差ε可等效為任意兩個相鄰參考信號之間距離的期望。不妨設任意相鄰節(jié)點的坐標為

其中，D(ε)為ε的方差。已知下列算式成立

將式(8)代入式(7)可得

由于D(ε)隨N增大而減小，因此N越大，ε越趨近于右邊表達式。

3.2 稀疏重構(gòu)算法的影響

考慮到重構(gòu)算法對定位性能的影響，還需從以下因素進行分析：

(1) 節(jié)點數(shù)N：在多目標定位問題中，基于CS的方法將參數(shù)空間離散化以獲得目標所在節(jié)點的近似估計，顯然N越大，節(jié)點與目標之間的誤差就越小，式(9)也佐證了這一點；但同時N過大會導致稀疏基矩陣中各元素間的相關性增強，影響算法性能。

(2) 干擾數(shù)K：從壓縮重構(gòu)的角度看，給定節(jié)點分布方案確定了A的構(gòu)成，從而進一步確定了能夠重構(gòu)出的最大目標數(shù)K，換言之，傳感器個數(shù)M需滿足[16]

因此對于生成波束不變的衛(wèi)星系統(tǒng)，K存在理論上限。

(3) 覆蓋半徑r：點波束覆蓋半徑越大，其與相鄰波束之間的重疊區(qū)域就越大，不同傳感器對同一干擾提供的信息就越多，但由于目標在感知區(qū)域內(nèi)是稀疏分布的，故這個信息量是有限的；若波束間重疊區(qū)域很小，則各傳感器近似獨立工作，使信號重構(gòu)效果變差。

(4) 判決門限T：通過對x?中 的非零元素設定閾值，以減小因噪聲和算法誤差引起的“擾動項”。需要注意的是，由于目標數(shù)量和發(fā)射功率是未知的，利用重構(gòu)算法進行信息恢復時，可能將一處干擾的RSS識別為多個目標共同作用的結(jié)果，因此隨著T增大，中可用信息的數(shù)量會減少，影響對定位結(jié)果的判斷。

綜上，給出下述評價指標作為衡量定位性能的依據(jù)：

定位成功率ρ：以估計位置為圓心，當實際目標處于任一搜索半徑范圍內(nèi)視為定位成功，即能夠被正確識別的干擾數(shù)所占的比例稱為定位成功率。

定位誤差δ：在定位成功前提下，滿足搜索范圍重疊區(qū)最小處的質(zhì)心與實際目標的距離視為定位誤差。

4 仿真實驗

仿真參數(shù)配置如表1所示，其中頻率設置的標準是3 dB波束寬度滿足至少能覆蓋1個蜂窩單元；循環(huán)迭代次數(shù)為500，每次執(zhí)行時隨機生成N個節(jié)點坐標和K個干擾坐標，同時隨機分配頻率和功率；不同仿真條件下只對相應參數(shù)作動態(tài)調(diào)整，其余不變；不考慮附加衰減影響，最后對統(tǒng)計結(jié)果進行仿真分析。

表1 仿真參數(shù)配置

4.1 計算干擾識別概率

圖3為不同重構(gòu)算法下干擾數(shù)識別概率的統(tǒng)計結(jié)果。通過計算干擾識別數(shù)的期望，可以得到在4目標隨機分布條件下，OMP, BP和PDIP算法執(zhí)行時成功定位的概率分別達到0.66, 0.70和0.73，充分驗證了本文提出方法的可靠性，其中PDIP算法的性能相對最優(yōu)；但針對上述重構(gòu)算法的比較，并非本文研究重點，這里不再贅述。實際應用時可在條件允許情況下對RSS進行連續(xù)采樣，從而利用多次觀測降低隨機誤差對定位結(jié)果的影響。

圖3 不同干擾數(shù)的識別概率

4.2 不同參數(shù)下的性能驗證

采用PDIP算法，圖4為不同節(jié)點數(shù)下定位成功率、定位誤差隨干擾數(shù)變化的仿真結(jié)果。從圖中可以看到，定位性能隨干擾個數(shù)的增大而顯著下降，這是因為位置矢量的稀疏度隨之增大，算法的信號重構(gòu)能力下降。由式(10)可知，對于M ＝ 19和N ＝100～400的部署方案，K的理論上限分別為7, 5,4和4。圖4(a)中，相同干擾數(shù)下N越大定位成功率越低，但當K分別取理論上限時各情形的ρ值相近；當K超過理論上限時，定位成功率均低于70%。圖4(b)中，當K小于理論上限時，各情形的定位誤差均滿足式(9)，且相同干擾數(shù)下N越大定位誤差越小；但是隨著K增大，受限于式(10)所示約束條件，N為400時δ值的增長趨勢甚至超過其他情形。上述仿真結(jié)論均與第3節(jié)相關理論一致，充分驗證了分析的合理性。綜上所述，當波束數(shù)(傳感器數(shù))固定時，節(jié)點數(shù)越大可獲得更精確的估計結(jié)果，越小則能進行更多目標的定位，因此對N的選取應根據(jù)實際情況進行折衷考量。

圖4 不同節(jié)點數(shù)下定位性能與干擾數(shù)仿真結(jié)果

圖5為不同覆蓋半徑下定位成功率、定位誤差隨判決門限變化的仿真結(jié)果。從圖中可以看到，相同判決門限下，定位性能隨覆蓋半徑增大而顯著上升，這是因為各傳感器之間協(xié)作程度隨之增大，提高了信號重構(gòu)的準確度；但當r ≥3l時存在一個相對穩(wěn)定的上界，這是由目標的K-稀疏分布決定的。圖5(a)中，定位成功率隨判決門限增大而緩慢下降，但在r ≥2l的情形中均保持在60%以上。圖5(b)中，定位誤差不隨判決門限的變化而顯著改變；當r ＝ l時，δ值在15 km上下波動，已經(jīng)大于式(9)給出的理論上限，說明此時定位模型幾近失效，根據(jù)誤差定義，仿真曲線反映的即是搜索半徑值的平均統(tǒng)計特性。上述仿真結(jié)論均與第3節(jié)相關理論一致，充分驗證了分析的合理性。綜上所述，判決門限對定位性能的影響有限，而波束覆蓋半徑的大小則是實現(xiàn)壓縮感知多目標定位的關鍵因素。

圖5 不同覆蓋半徑下定位性能與判決門限仿真結(jié)果

根據(jù)仿真結(jié)論將各評價指標與關鍵參數(shù)的大致對應關系匯總?cè)缦?見表2)。其中，“+”表示成正比，“–”表示成反比，“/”表示無直接關系。

表2 評價指標與關鍵參數(shù)對應關系

4.3 與其他衛(wèi)星定位方法的比較

將本文方法與相位干涉儀、空間譜估計(又稱波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計)測向方法進行性能比較。針對傳統(tǒng)干涉儀只適用于單目標情形，考慮利用旋轉(zhuǎn)干涉儀(Rotating Interferometer, RI)處理多目標問題，即通過對干涉儀在不同旋轉(zhuǎn)角度下的采樣數(shù)據(jù)進行預處理，構(gòu)造虛擬陣列數(shù)據(jù)對多目標參數(shù)進行估計；DOA估計中采用經(jīng)典的MUSIC(MUltiple SIgnal Classification)算法，接收端考慮19饋源的3層環(huán)陣排布方式。由于RI和DOA均為針對來波角度參量(俯仰角、方位角)的估計方法，為便于比較，需要對測向結(jié)果進行轉(zhuǎn)換。

假設確定干擾坐標的隨機變量為I和ω，測向時俯仰角、方位角誤差分別為α和β，則估計坐標的參量可表示為

其中，tan(ξ)＝I/H, H表示星地距離，這里取值為36000 km。利用式(11)得到的坐標可計算求解定位誤差。此外，為更直觀地描述低信噪比下的定位性能，本例中將搜索半徑設置為500 km。

圖6為不同定位方法下定位誤差隨信噪比(Signalto-Noise Ratio, SNR)變化的仿真結(jié)果?？梢钥吹剑S著信噪比的增大，目標參數(shù)的定位誤差逐漸減小，3種方法在SNR ＝ 20 dB時的定位精度分別達到30.2 km, 18.9 km和7.7 km；其中本文方法的定位性能相對最優(yōu)，且在低信噪比段(0～5 dB)仍具備較強的競爭力。具體原因是RI和DOA法利用陣元測量相位差時，受通信衛(wèi)星軌道高度的影響，其基線長度難以保證有效的測量精度；DOA法測向時還利用了信號的幅度參數(shù)，因此其定位性能優(yōu)于RI法；而所提方法基于“同一地理區(qū)域信號在同一時間幀中具有功率變化的正相關”這一特征，在構(gòu)造感知矩陣時能夠最大化減少低信噪比的影響，只是在信號重構(gòu)時會引入與噪聲相關的“擾動項”，但當SNR ＞ 5 dB時誤差曲線趨于平緩，定位精度較高。

圖6 不同定位方法下定位誤差與信噪比仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

本文提出將壓縮感知相關理論應用于多波束衛(wèi)星的干擾定位場景中，旨在解決空分頻率復用下多個干擾目標位置的識別問題。該方法利用星載多波束天線的方向特性，通過動態(tài)節(jié)點化參考信號，只需測量接收信號強度及求解一個稀疏恢復問題，便可重構(gòu)出包含多個目標位置信息的稀疏矢量。研究結(jié)果表明，定位性能與節(jié)點分布、干擾個數(shù)、波束覆蓋半徑、判決門限等諸多因素有關；在一定參數(shù)條件下，該方法在定位成功率及定位誤差方面均能取得較好的定位效果，且其定位精度明顯優(yōu)于相位干涉儀和空間譜估計方法，因此對衛(wèi)星干擾定位技術應用具有一定的參考價值。在此基礎上，之后的研究工作可結(jié)合坐標系轉(zhuǎn)換、鏈路衰減適配等方面深入展開，以進一步簡化模型參數(shù)、提高定位性能。