知識(shí)+方法+思想

陸芳芳

【摘 要】以加法、減法概念為核心的加法結(jié)構(gòu)包含多種數(shù)學(xué)概念，如總數(shù)、部分?jǐn)?shù)、差數(shù)、大數(shù)、小數(shù)等，一般分為變化題、合并題和比較題，學(xué)生若一直停留在題文推理的解題水平，則不利于加法結(jié)構(gòu)的完善。教師應(yīng)通過將數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想融合于數(shù)學(xué)知識(shí)的概念教學(xué)中，助力學(xué)生達(dá)到概念推理的解題水平，為數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)打下良好基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】知識(shí) 方法 思想 概念

日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏說：“作為知識(shí)的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、思想、研究的方法和著眼點(diǎn)等，這些隨時(shí)隨地地發(fā)生作用，使人終身受益?！狈椒ā⑺枷胄纬傻幕A(chǔ)和載體是知識(shí)技能，因而方法和思想的習(xí)得需扎根于知識(shí)技能的學(xué)習(xí)過程中。同時(shí)，只有在知識(shí)技能的學(xué)習(xí)過程中將方法和思想相融合，學(xué)生才能在火熱的思考中感受到冰冷的美麗。

人們獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)，多是在以概念（詞）為節(jié)點(diǎn)的語義網(wǎng)絡(luò)中儲(chǔ)存的，人們頭腦中的概念有個(gè)重要的特征，即它們都是被嵌入到一個(gè)有組織的概念體系中。因而，教師應(yīng)把數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)置于重要地位。加法和減法是數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)，以加法、減法概念為核心的加法結(jié)構(gòu)又包含多種數(shù)學(xué)概念，如總數(shù)、部分?jǐn)?shù)、差數(shù)等。在紛繁復(fù)雜的加減法實(shí)際問題中，如何幫助學(xué)生做到舉一反三和觸類旁通呢？本文就從三個(gè)維度談一談“知識(shí)+方法+思想”的教學(xué)模式在加減法實(shí)際問題教學(xué)中的運(yùn)用。

一、知識(shí)維度——掌握核心概念，生成“一”

教材將“分與合”單元編排在認(rèn)識(shí)加減法之前，除了將“分與合”作為加減法的口算方法基礎(chǔ)，同時(shí)也作為加減法的概念鋪墊。教師容易忽略“分與合”這一基本算術(shù)技能在加減法概念發(fā)展中的重要作用。通過“分與合”的教學(xué)，教師在幫助學(xué)生體會(huì)“分與合”的有序性之外，還應(yīng)讓學(xué)生初步感受部分與總體的關(guān)系，即將一個(gè)總體分成兩個(gè)部分，以及兩個(gè)部分合成一個(gè)總體（見圖1）。

孫昌識(shí)教授將加減法實(shí)際問題分為三大類：變化題、合并題和比較題。其中，學(xué)生以生活經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)形成了加減法的概念雛形，如數(shù)量增加用加法，數(shù)量減少用減法。教材在編排上也遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，先認(rèn)識(shí)變化題（題文中有暗示增量或減量的動(dòng)詞，如“又來了”“走掉了”等），順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生利用已有生活經(jīng)驗(yàn)初步建構(gòu)加減法概念，即合并圖式;再認(rèn)識(shí)合并題（題文中沒有暗示增量或減量的動(dòng)詞，三個(gè)量是包含關(guān)系），進(jìn)一步豐富學(xué)生的加減法概念，知道兩個(gè)部分?jǐn)?shù)合起來是總數(shù)用加法，從總數(shù)中去掉一個(gè)部分?jǐn)?shù)得到另一個(gè)部分?jǐn)?shù)用減法，即部分與總體關(guān)系推理圖式;隨著解題經(jīng)驗(yàn)的積累，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將原有以生活經(jīng)驗(yàn)為主導(dǎo)的合并圖式整合到部分與總體關(guān)系推理圖式中，逐漸擺脫生活經(jīng)驗(yàn)的束縛，學(xué)會(huì)用概念進(jìn)行思維，逐漸接近加減法概念的本質(zhì)。

在變化題的教學(xué)中，筆者也遇到了一些頑固性問題，如：劃走6只船后，還剩5只船，原來有幾只船？不少學(xué)生列式為“11-6=5（只）”，因?yàn)閿?shù)字較小，他們?cè)诹惺街耙呀?jīng)知道了答案，但到了高年級(jí)，涉及的數(shù)字較大時(shí)，這種數(shù)字推理方式就行不通了。如何幫助學(xué)生走出困境呢？筆者認(rèn)為，一些學(xué)生習(xí)慣了“減量用減法”的思維方式，新知與原有的認(rèn)知產(chǎn)生了矛盾，教師應(yīng)通過概念分析幫助學(xué)生將新知與原有認(rèn)知加以整合：題目中雖然出現(xiàn)了減量動(dòng)詞，但是要結(jié)合加減法概念思考三個(gè)量的關(guān)系——“原來的只數(shù)”分成了“劃走的6只”和“剩下的5只”這兩部分，求總數(shù)只要把兩個(gè)部分的數(shù)合起來，所以用加法。

在加減法實(shí)際問題的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從題文（找增、減量動(dòng)詞）驅(qū)動(dòng)的解題方式向概念（推理部分與總體關(guān)系）驅(qū)動(dòng)的解題方式轉(zhuǎn)變，只有把握了概念本質(zhì)，才能“一”以貫之，以不變應(yīng)萬變。

二、方法維度——聯(lián)通核心概念，合成“類”

在三類加減法實(shí)際問題中，變化題和合并題便于學(xué)生建立部分與總體的關(guān)系圖式，進(jìn)而建構(gòu)加減法概念，比較題涉及差數(shù)概念，不利于學(xué)生整合到部分與總體關(guān)系推理模式中，因而教材將比較題教學(xué)置后編排。新授課教學(xué)中，一些教師先告訴學(xué)生“比某某多用加法，比某某少用減法”，再運(yùn)用此技巧進(jìn)行練習(xí)，這屬于題文驅(qū)動(dòng)的解題方式，新授課采取此種教學(xué)方式實(shí)屬不當(dāng)。

比較題中關(guān)于差數(shù)這一難點(diǎn)知識(shí)該如何處理呢？筆者認(rèn)為，教師應(yīng)當(dāng)研讀教材，從學(xué)生初次接觸比較兩個(gè)數(shù)量的多少開始，教材就引導(dǎo)學(xué)生一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)地排（見圖2），這對(duì)我們的教學(xué)也有所啟示，即重視動(dòng)作、線段圖等表象在理解概念中的作用。

學(xué)生學(xué)習(xí)比較題的基礎(chǔ)是“一樣多”的概念和一一匹配的操作程序。學(xué)生能夠通過一一匹配的直觀圖看出兩個(gè)數(shù)量（大數(shù)、小數(shù)）相差多少，但如何用算式表征？如何溝通算式與減法概念的聯(lián)系？這都需要借助動(dòng)手操作和線段圖等形象直觀的教學(xué)方法。

比較題的教學(xué)編排分成兩部分，一年級(jí)下冊(cè)是“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問題”，二年級(jí)上冊(cè)是“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾是多少的實(shí)際問題”，在教學(xué)中，教師要重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系加減法概念列出算式。

筆者在教學(xué)“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問題”時(shí)，首先提出明確的操作要求：怎樣擺，能讓別人一眼看出來哪種花片多？多幾個(gè)？在學(xué)生操作、展示的基礎(chǔ)上，課件顯示（見圖3），明確 “紅花片多，多5個(gè)”;課件顯示（見圖4），將藍(lán)花片設(shè)置成透明效果，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系直觀圖理解算式，13個(gè)紅花片分成了兩部分，一部分是與藍(lán)花片同樣多的8個(gè)，另一部分是多出來的個(gè)數(shù)，從總數(shù)中去掉與藍(lán)花片同樣多的8個(gè)，就是多出來的個(gè)數(shù)，即13-8=5（個(gè)）。

“求比一個(gè)數(shù)多（少）幾是多少的實(shí)際問題”的教學(xué)可作類似處理。將大數(shù)（總體）、小數(shù)（一部分）、差數(shù)（另一部分）通過直觀的方法整合到部分與總體關(guān)系的推理圖式中。這樣，學(xué)生就能將求大數(shù)與求總數(shù)歸為同一類問題，將求小數(shù)、求差數(shù)與求部分?jǐn)?shù)歸為同一類問題，即合成“類”。

三、思想維度——融合核心概念，達(dá)成“通”

加法結(jié)構(gòu)是一個(gè)概念域，是以加法減法概念為核心的概念體系，是多種數(shù)學(xué)概念（部分?jǐn)?shù)、總數(shù)、差數(shù)等）圍繞加減法概念形成的聯(lián)結(jié)網(wǎng)絡(luò)。在加法結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程中，加法和減法也從分離狀態(tài)逐漸實(shí)現(xiàn)整合——減法是加法的逆運(yùn)算。

教材從“分與合”單元開始滲透分解與合成的互逆關(guān)系，在“一圖四式”的教學(xué)中，要求學(xué)生看圖寫出四道算式（見圖5），進(jìn)而明確“同一幅圖既可以看作是把總體分成兩部分，也可以是把兩部分合成總體”?！扒笪粗訑?shù)”的教學(xué)，在尊重學(xué)生算法多樣化的基礎(chǔ)上，要相機(jī)介紹用減法求未知加數(shù)（見圖6）。以上內(nèi)容都是學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，初步感受到加法、減法之間的聯(lián)系。

一年級(jí)下冊(cè)“20以內(nèi)的退位減法”的教學(xué)，教師要在倡導(dǎo)算法多樣化的基礎(chǔ)上優(yōu)化算法，以引導(dǎo)學(xué)生在邏輯抽象層面進(jìn)一步理解加法、減法之間的聯(lián)系（見圖7）。

筆者在學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)中采取以下檢測(cè)方法，能有效甄別學(xué)生解決加減法實(shí)際問題時(shí)采取的解題方式，同時(shí)通過適當(dāng)?shù)挠?xùn)練，幫助學(xué)生理解題目中三量之間的關(guān)系，以提高學(xué)生概念驅(qū)動(dòng)的解題水平。先提供一組文字描述的題目，如：①小麗和小軍共有20枚郵票，小麗有8枚，小軍有幾枚？②媽媽買來一些蘋果，吃了6個(gè)后，還剩5個(gè)，媽媽買了多少個(gè)蘋果？③一分鐘跳繩比賽中，小紅跳了82下，小軍比小紅多跳4下，小軍跳了多少下？④張阿姨已經(jīng)做了40件上衣和28條褲子，至少再做多少條褲子就能和上衣配套？⑤一分鐘跳繩比賽中，小紅跳了82下，小明比小紅少跳6下，小明跳了多少下？再出示線段圖（見圖8），要求學(xué)生根據(jù)題文信息選擇匹配的線段圖，并將條件填在合適位置，再列式解答。

教師在具體操作中，也可根據(jù)學(xué)生情況調(diào)整實(shí)際問題的難易程度。在這個(gè)過程中，學(xué)生首先要將問題中的條件抽象成總數(shù)、部分?jǐn)?shù)、大數(shù)、小數(shù)和差數(shù)等概念，多個(gè)問題可以用同一幅圖表征，這時(shí)線段圖作為模型就能幫助學(xué)生通過部分和總體關(guān)系推理出數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而列出正確算式。在整個(gè)過程中，三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想——抽象、推理和模型得以滲透，打破了加法、減法彼此孤立的狀態(tài)，達(dá)成“通”，并進(jìn)一步完善了學(xué)生的加法結(jié)構(gòu)。

錢陽輝老師說：“知識(shí)背后沒有方法，知識(shí)就不可能被調(diào)用，只能成為一種僵硬的學(xué)問與沉重的負(fù)擔(dān);方法背后沒有活生生的思想，方法也不可能被創(chuàng)造性地靈活運(yùn)用，只能是一種笨拙的工具?！敝R(shí)技能是基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識(shí)技能的學(xué)習(xí)，知識(shí)技能的學(xué)習(xí)必須有利于其他三個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。因此，在知識(shí)技能的教學(xué)中，應(yīng)注意數(shù)學(xué)方法的指導(dǎo)和數(shù)學(xué)思想的滲透，讓數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得以真正達(dá)成。

綜上所述，堅(jiān)持采用“知識(shí)+方法+思想”的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，我們的學(xué)生即使離開了校園，依然會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、會(huì)用數(shù)學(xué)思維分析世界、會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，這也是我們致力追求的數(shù)學(xué)教育愿景。

【參考文獻(xiàn)】

[1]孫昌識(shí)，姚平子.兒童數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展與教育[M].北京：人民教育出版社，2004.

[2]錢陽輝.發(fā)展學(xué)生思維的關(guān)鍵在于展開探索過程[J].江蘇教育，2009（5）.

注：本文系無錫市陶行知研究會(huì)“十三五”課題“核心素養(yǎng)立意下的加減法實(shí)際問題大單元教學(xué)研究”（課題編號(hào)：XTD-025）的階段性研究成果。