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    一類非線性四階偏微分方程的精確解研究

    2021-07-28 00:57:42趙欣李秀梅汪穎張繼紅梁波
    大連交通大學學報 2021年4期
    關(guān)鍵詞:波形圖四階常數(shù)

    趙欣,李秀梅,汪穎 ,張繼紅,梁波

    (大連交通大學 理學院,遼寧 大連 116028) *

    非線性偏微分方程的精確解研究在實際中十分重要.研究方法上包括李群對稱分析方法、級數(shù)展開法等.文獻[1-2]利用Backlund變換并結(jié)合李對稱分析方法和冪級數(shù)展開法對一類非線性偏微分方程給出了精確解分析.文獻[3-4]則研究了一類非線性四階偏微分方程的精確解.文獻[5]對一類非線性四階偏微分方程求出數(shù)值結(jié)果.本文是結(jié)合經(jīng)典方法,對四階非線性偏微分方程進行計算和研究得出求精確解的一種方法.

    本文研究一類非線性四階偏微分方程:

    (1)

    的精確解,其中k,λ,μ,c,f,g,h均為常數(shù).

    1 精確解分析

    1.1 方程處理

    令u(x,t)=φ(x,t)+R,代入到式(1)中有

    (2)

    對式(2)進行約化有

    (3)

    令Φ=φ-φx,為了使式(3)中的每一項依賴于Φ或Φ的微分,要求其系數(shù)滿足條件:

    解得

    于是式(3)轉(zhuǎn)化為

    (4)

    1.2 求解過程

    這里考慮兩種情況:

    情況一:當λ≠0時,考慮方程Φ=0,即

    φ-φx=0.

    基本解組為φ(x,t)=A(t)ex

    其中A(t)是任意函數(shù).

    情況二:當λ=0,k≠0時,則式(4)化為

    -kΦxx-Φtt+kΦxxx=0

    (5)

    此時介紹三種研究方案:

    方案一:若

    Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt

    其中c,d為任意常數(shù).可求得基本解組為

    φ(x,t)=A(t)ex+cx+dt

    其中,A(t)是任意函數(shù).

    方案二:若

    Φ=φ-φx,φ-φx=x2-kt2,

    故基本解組為:

    φ(x,t)=A(t)ex+x2-kt2,

    其中A(t)是任意函數(shù).

    方案三:若Φ=φ-φx,

    φ-φx=x3-3k(x-1)t2

    基本解組為

    φ(x,t)=A(t)ex+x3-3k(x-1)t2

    其中A(t)是任意函數(shù).

    1.3 推廣

    (6)

    對式(6)求解得

    故式(3)轉(zhuǎn)化為

    (7)

    此時考慮兩種情況.

    情況一:λ≠0,考慮方程Φ=0.求得基礎(chǔ)解組為

    φ(x,t)=A(t)eαx

    其中A(t)是任意函數(shù).

    情況二:當λ=0,k≠0時,則式(7)轉(zhuǎn)化為

    (8)

    此時有如下方案給出精確解.

    方案一:若

    Φ=φ-φx,φ-φx=cx+dt+e

    其中c,d,e為任意常數(shù). 基本解組為

    φ(x,t)=A(t)eαx+cx+dt+e

    其中A(t)是任意函數(shù).

    方案二:若Φ=φ-φx,

    其中b,e,c為任意常數(shù). 基本解組為

    其中A(t)是任意函數(shù).

    由方案一和方案二,可得廣義形式

    這里假設(shè)函數(shù)f(x)和g(t)分別關(guān)于x和t足夠光滑,且f?(x)=0.若滿足條件

    kfxx+αgtt=0.

    此時基本解組為

    φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+g(t)

    其中A(t)是任意函數(shù).

    方案三:若Φ=φ-φx,

    其中a,b,c為任意常數(shù).

    它的基本解組為

    其中A(t)是任意函數(shù).

    方案四:若Φ=φ-φx,

    其中a,b,c為任意常數(shù).

    它的基本解組為

    其中A(t)是任意函數(shù).

    由方案三和方案四,可得廣義形式:

    這里假設(shè)函數(shù)g(t),f(x)及h(x)足夠光滑.

    若g″(t)=0,及

    或者,若g″(t)=c(c≠0),只要滿足下面條件

    基本解組為

    φ(x,t)=A(t)eαx+f(x)+h(x)g(t)

    其中A(t)是任意函數(shù).

    2 一類三階方程的算法擴展

    考慮三階非線性偏微分方程,形式如下

    (9)

    其中f關(guān)于x至少具有一階導數(shù),μ,a,b,c,k,r,w均為常數(shù).

    令u(x,t)=φ(x,t)+R,將其代入式(9)得:

    (10)

    將式(10)進行約化得:

    (11)

    令Φ=φxx+αφx+βφ+f,其中β≠0,α為任意常數(shù). 為使式(11)的每一項均包含Φ或者Φ的n階導數(shù),則系數(shù)須滿足關(guān)系

    故將(11)化為

    -βΦt+βφxΦ+βφΦx=kΦ

    (12)

    此時只需求解方程Φ=0,同時注意到Φ=φxx+αφx+βφ+f=0是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,易得該方程一般形式的解. 為獲得式(9)一系列精確解,可進行變形,式(11)的每一項都依賴于Φ或者Φ的n階微分,那么當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,則φ(x,t)是式(12)的解. 實際上,在式(12)中,當φ(x,t)是方程Φ=0的解時,φ(x,t)也是(9)的解. 通過改變常數(shù)的值,推廣了方程Φ=0的基礎(chǔ)解,從而得到了(9)一系列精確解.

    3 精確解波形圖分析

    根據(jù)所求得的精確解,繪圖時都取λ=1,k=-4,α=1;利用Matlab軟件將幾個典型的波形圖繪制如圖1~4所示.

    (1)A(t)=sin(t)+cos(t),x∈[-20,20],t∈[-10,10]時,其波形如圖1所示.

    圖1 x∈[-20,20],t∈[-10,10]時波形圖

    (2)A(t)=sin(t)+cos(t),x=-2,t∈[-10,10]時, 其波形如圖2所示.

    圖2 x=-2,t∈[-10,10] 時波形圖

    (3)A(t)=sh(t),x∈[-1,1],t∈[-50,50]時,其波形如圖3所示.

    圖3 x∈[-1,1],t∈[-50,50]時波形圖

    (4)A(t)=sh(t),x=-1,t∈[-50,50]時,其波形如圖4所示.

    圖4 x∈[-1,1],t=50時波形圖

    4 結(jié)論

    本文通過將非線性四階偏微分方程約化為常微分方程的方法,簡化了方程結(jié)構(gòu)及復(fù)雜的計算,從而獲得解的基本形式. 利用參數(shù)的變化取得一系列精確解. 遵循四階方程研究的研究思路,將精確解求法推廣到一類三階非線性偏微分方程上. 最后, 利用Matlab軟件繪制出了幾個典型情形下

    的波形圖. 本文的方法為簡化求解提供了參考.

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