基于二元多項式插值的B超圖像放大算法

康 牧, 李遠博

(1.洛陽師范學(xué)院 信息技術(shù)學(xué)院,河南 洛陽 471934; 2.洛陽理工學(xué)院 計算機與信息工程學(xué)院,河南 洛陽 471023)

B超可以對患者進行無損檢測且價格低廉,所以受到廣大醫(yī)護人員的厚愛.利用B超圖像可以準(zhǔn)確地判斷患者的病情,又可以降低患者的診療費用.人們在電腦上觀看視頻,不管是“流暢版”的視頻還是“高清版”的視頻都可以“全屏”播放,但是“流暢版”的視頻始終沒有“高清版”的視頻“清晰”,主要是因為“流暢版”視頻的分辨率低.B超圖像的分辨率也不是很高,為了更清楚地看清B超圖像,對B超圖像進行放大處理,擴大其分辨率就勢在必行.對圖像進行放大或縮小是圖像處理中基本且常用的幾何運算[1].圖像放大需要對多出來的像素點進行插值,在圖像旋轉(zhuǎn)時,原來行列坐標(biāo)是整數(shù)的像素點,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后可能對應(yīng)到幾個像素點之間,這時也要對像素點進行插值.常見的圖像插值算法有:雙線性法、最近鄰法、非均勻法、雙三次卷積插值法、雙立方法、Lagrange法、曲面插值法[2]、克里金(Kriging)插值法[3—7]、樣條插值法[8]、反距離加權(quán)插值法[9]等.雙線性法只參考待插入點周圍的4個點,參考范圍太小,故插值效果不夠理想,容易出現(xiàn)“鋸齒形”邊緣和“塊狀”現(xiàn)象.最近鄰法用離待插入點最近的那個點的像素值作為待插入點的像素值,算法最簡單,但是效果也最差.雙三次卷積插值法和雙立方法的算法復(fù)雜度較高,更重要的是缺少低于6次方的6個項,容易產(chǎn)生顏色“失真”現(xiàn)象.圖像插值算法廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域:文獻[10]將圖像插值應(yīng)用在火山巖孔隙徑向非均質(zhì)性方面;文獻[11—13]將圖像插值應(yīng)用在醫(yī)學(xué)CT圖像的處理方面;文獻[14]將圖像插值應(yīng)用在日最高最低氣溫估算方面;文獻[15]將圖像插值應(yīng)用在二重六點細分方案中;文獻[16]提出了一種基于離散插值的多項式曲線逼近有理曲線的方法,但是該方法中去掉了“常數(shù)項”,不是十分理想.對于醫(yī)學(xué)圖像的處理必須有一個合理的算法,否則后果不堪設(shè)想.本文從分析雙線性法和雙立方法入手,結(jié)合文獻[16]的思想提出了一種基于二元多項式插值的B超圖像放大算法,對實驗結(jié)果的分析說明了本文方法的優(yōu)越性.

1 傳統(tǒng)的圖像插值算法

雙線性法的原理如圖1所示,其中“黑色點”是待插入點,“白色點”是其周圍的像素點.插值公式為

f(x,y)=(1-y){(1-x)f(0,0)+xf(1,0)}+

y{(1-x)f(0,1)+xf(1,1)}.

(1)

將(1)式整理得

f(x,y)={f(0,0)+f(1,1)-f(0,1)}xy+

{f(1,0)-f(0,0)}x+

{f(0,1)-f(0,0)}y+f(0,0).

(2)

顯然(2)式就是x和y的二元多項式,其每一項的系數(shù)就是待插入點周圍的4個像素點顏色值的運算結(jié)果.

雙三次方法的插值原理是:取待插入點周圍的16個像素點(圖2),其中fi(1≤i≤16)是該點的顏色值,其坐標(biāo)值分別為f1(-1,-1),f2(0,-1),f3(1,-1),f4(2,-1),f5(-1,0),f6(0,0),f7(1,0),f8(2,0),f9(-1,1),f10(0,1),f11(1,1),f12(2,1),f13(-1,2),f14(0,2),f15(1,2),f16(2,2).雙三次法的插值公式為

圖2 雙三次方插值示意圖

(3)

顯然(3)式也是x和y的二元多項式,其x與y混合項指數(shù)最高是6,包含x3y3,x3y2,x3y,x3,x2y3,x2y2,x2y,x2,xy3,xy2,xy,x,y3,y2,y和“常數(shù)項”,混合項指數(shù)最高達到6,但是低于6次方的項卻缺少如下幾項x5,y5,x4y,y4x,x4,y4,不是十分合理,對此在實驗及分析部分還有介紹.

文獻[16]中給出的用多項式逼近有理曲線的公式為

f(x,y)=-188 842 750x+893 052 864x2-

164 249 856x3+10 265 616x4+377 685 504y+

33 891 072xy-41 736 394x2y-74 803 392y2-

63 290 880xy2+7 911 360x2y2+10 238 972y3-

154 880y4.

(4)

顯然(4)式也是一個x和y的二元多項式.其x與y的混合項指數(shù)不超過4,但是缺少x3y,y3x和“常數(shù)項”,(4)式是用來逼近有理曲線的,不能直接用于圖像插值.

2 本文提出的算法

雙線性法運算簡單,但是參考的范圍較小,效果稍微欠缺.雙立方法缺少低于最高次方的5個項,不大理想.由于缺少x3y,y3x和“常數(shù)項”,文獻[16]用多項式逼近有理曲線,運用在圖像插值方面不大合理.本文提出一個插值多項式,其基本要求是:對于待插入點的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y同樣看待,用待定系數(shù)法確定一個二元多項式圖像插值算法,并將該插值算法應(yīng)用于B超圖像的放大處理.

雙線性法有4個項:xy,x,y,“常數(shù)項”,選擇待插入點周圍的4個獨立的點,可以滿足要求.

對于全二次多項式,有x2,y2,xy,x,y和“常數(shù)項”共6個項,需要6個獨立的點,在圖像插值中從待插入點周圍選擇6個點不好選擇.

對于全三次多項式,有x3,y3,x2y,y2x,x2,y2,xy,x,y,“常數(shù)項”共10個項,需要10個獨立的點,在圖像插值中從待插入點周圍選擇10個點不好選擇.

對于全四次多項式,有x4,y4,x3y,y3x,x2y2,x3,y3,x2y,y2x,x2,y2,xy,x,y,“常數(shù)項”共15個項,需要15個獨立的點,選擇15個點也無法選擇.在這里對待插入點周圍4×4區(qū)域中的16個點,去掉與待插入點距離最遠的4個角上的點(與待插入點距離近就對插值影響大,否則就影響小),如圖3所示.

圖3 插值參考點

由于圖像插值時,待插入點的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y都是大于等于“0”小于“1”的數(shù),所以“高次項”對圖像插值的影響比“低次項”小,故在插值多項式中保留全三次多項式的10個項,再從5個四次項中選擇2個即可.

若選擇x2y2,則因為要求對x和y同樣看待,另一個無法選擇.若選擇x4和y4,則相應(yīng)的插值公式為

f(x,y)=A11x4+A10y4+A9x3+A8y3+

A7x2y+A6y2x+A5x2+A4y2+

A3xy+A2x+A1y+A0.

(5)

將f0～f11及其坐標(biāo)x和y代入(5)式得

(6)

但方程組(6)存在數(shù)據(jù)相關(guān),沒有解.故只能選擇x3y和y3x,則相應(yīng)的插值公式為

f(x,y)=A11x3y+A10y3x+A9x3+A8y3+

A7x2y+A6y2x+A5x2+A4y2+A3xy+

A2x+A1y+A0.

(7)

將f0～f11及其坐標(biāo)x和y代入(7)式得

(8)

解方程組(8)得

(9)

將A0～A11代入(7)式即得到圖像插值公式.

3 實驗結(jié)果及分析

為了驗證本文算法的優(yōu)越性,選擇一個“方正舒體”的 “化”字,“粘貼”到“畫圖”軟件中,組成一幅圖像,利用雙線性法、雙三次法和本文方法進行放大8倍的實驗,實驗結(jié)果見圖4.

從圖4可以看出,雙線性法的結(jié)果中“字”的“顏色”“暗淡”,且在圖像的邊緣部分“鋸齒形”現(xiàn)象嚴重,從偏旁部首“單立人”上面的“一撇”可以看出,文中算法基本是“連續(xù)的”;雙線性法則體現(xiàn)為一些“散點”;雙三次法“顏色”嚴重“失真”,這主要是由于它缺少低于6次方的那幾項造成的;本文算法無論“顏色”、邊緣和視覺效果都比較理想.

圖4 實驗結(jié)果1

下面選擇3幅B超圖像進行實驗.這3幅B超圖像都是512×512的,有些大,為了節(jié)省文章篇幅,截取中間的一小塊進行放大實驗,結(jié)果見圖5～7.

從圖5可以看出,雙線性法的結(jié)果中圖像色澤“暗淡”,且在圖像的邊緣部分出現(xiàn)了一些細小的“鋸齒”;雙三次法比雙線性法要好一些,與本文算法的視覺效果差不多,這說明雙三次法在不“失真”的前提下,效果還是可以的.

圖5 實驗結(jié)果2

從圖6可以看出,雙線性法的“模糊”現(xiàn)象和“鋸齒形”現(xiàn)象比較嚴重,但是雙三次法出現(xiàn)了一些不該有的“黑色塊”,B超圖像放大是為了醫(yī)護人員更容易看清結(jié)果,而這種現(xiàn)象容易導(dǎo)致醫(yī)護人員做出錯誤的判斷,這是不應(yīng)該的,而本文算法的結(jié)果比較理想.

圖6 實驗結(jié)果3

從圖7可以得出與實驗3相似的結(jié)論,只是雙三次法的結(jié)果中除了出現(xiàn)一些莫名其妙的“黑色塊”以外,在原圖像中下部的那個“黑色尖部”的中間還出現(xiàn)了一個“白色塊”,這說明雙三次法不能應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理.

圖7 實驗結(jié)果4

另外,雙三次法需要計算16個系數(shù)(本文算法僅需要計算12個系數(shù)),且插值公式比本文算法多了1個六次項x3y3,2個五次項x3y2,x2y3和1個四次項x2y2,算法的復(fù)雜度高于本文算法,且實驗結(jié)果還不如本文算法,這進一步說明了本文算法的優(yōu)越性.

以上從主觀視覺效果上說明了本文算法的優(yōu)越性,以下從客觀效果上進行評價.

第一，峰值信噪比可以在一定程度上客觀地反映算法的優(yōu)劣.

如果一個圖像插值算法是理想的,用同一種圖像插值算法對一幅圖像先放大若干倍,然后再縮小若干倍,應(yīng)該與原圖像相同,峰值信噪比可以在一定程度上客觀地反映圖像處理的效果.

峰值信噪比的計算公式為

PSNR=

(10)

式中:f(i,j)代表原圖像中第i行第j列處的像素值;f′(i,j)代表去噪后圖像中第i行第j列處的像素值;M,N代表圖像的高和寬.

第二，對4個實驗的結(jié)果,用同樣的插值算法先放大4倍,再縮小4倍,然后求它們與原圖像的峰值信噪比,得到的實驗結(jié)果見表1.

表1 峰值信噪比

從表1可以看出,對于“化”字圖像、B超圖像1和B超圖像2,由于雙立方法失真比較嚴重,其峰值信噪比相當(dāng)?shù)?對于B超圖像1,3種算法都沒有產(chǎn)生失真,雙立方法峰值信噪比稍微高于雙線性法,這說明在不失真的前提下,雙立方法優(yōu)于雙線性法;而本文算法不但不會失真,而且峰值信噪比也總是最高的;從客觀上也說明了本文算法的優(yōu)越性.

4 結(jié)語

通過對傳統(tǒng)圖像插值算法的分析,發(fā)現(xiàn)所有圖像插值算法(最近鄰算法除外)都可以轉(zhuǎn)換為待插入點坐標(biāo)值x和y的二元多項式,每一項的系數(shù)是待插入點周圍像素點的顏色值的運算結(jié)果.在此基礎(chǔ)上用待定系數(shù)法定義和實現(xiàn)了一個新的圖像插值算法,對待插入點坐標(biāo)值x和y同樣看待,不但算法結(jié)果優(yōu)于雙三次法,而且算法復(fù)雜度也低于雙三次法.實驗結(jié)果分析從一定程度上說明了本文算法的合理性.