利用電磁阻尼單擺測量金屬球的電導(dǎo)率

鐘旭英，張朝暉，唐東升

(1.湖南師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 長沙 410081; 2.北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

單擺運(yùn)動(dòng)是生活中常見的運(yùn)動(dòng)，也是物理學(xué)研究中的重要模型，在理論及實(shí)驗(yàn)教學(xué)中都有著重要的地位[1-2]. 中學(xué)階段考慮的單擺運(yùn)動(dòng)是抽象成簡諧振動(dòng)的理想模型，但是隨擺動(dòng)時(shí)間逐漸積累單擺實(shí)際上是振幅隨時(shí)間不斷衰減的阻尼振動(dòng). 生活中可以利用阻尼解釋很多物理現(xiàn)象，如各類機(jī)器的防震器中采用一系列的阻尼裝置，通過改變阻尼的方法控制系統(tǒng)的振動(dòng)情況；一些精密的儀器，如物理天平、靈敏電流計(jì)中也裝有阻尼裝置，并通過調(diào)整阻尼狀態(tài)，可以使測量快捷、準(zhǔn)確. 相關(guān)文獻(xiàn)對空氣阻尼進(jìn)行了研究報(bào)道，例如通過單擺測量空氣的阻尼系數(shù)[3-4]和黏度[5]等.

電導(dǎo)率是表征金屬材料性能的重要物理量之一，可用于分選材質(zhì)、確定金屬材料的硬度和熱處理狀態(tài). 目前金屬電導(dǎo)率的測量方法有很多[6-7]，一般是通過直接測量金屬絲的直徑、長度和電阻，代入電導(dǎo)率的公式計(jì)算金屬的電導(dǎo)率. 因此通過在單擺實(shí)驗(yàn)加入梯度磁場，讓2個(gè)大小相同、電導(dǎo)率不同的金屬球在梯度磁場中做小角度擺動(dòng)，然后對空氣阻尼和電磁阻尼展開定量的研究，采用對比法測量金屬球的電導(dǎo)率.

1 基本原理

1.1 單擺系統(tǒng)線性阻尼振動(dòng)方程的解

忽略阻尼情況下，單擺可以抽象成簡諧振動(dòng)的理想模型. 弱阻尼情況下，空氣阻力對單擺振幅的影響隨擺動(dòng)時(shí)間逐漸積累，從而使得擺幅隨時(shí)間逐漸衰減. 如圖1所示，當(dāng)小球擺動(dòng)的速度很小時(shí)，空氣阻力近似與擺球速度成線性關(guān)系，此時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)稱為線性弱阻尼振動(dòng). 根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以得到單擺系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

圖1 單擺在空氣中的線性阻尼振動(dòng)

(1)

式中：m為擺球的質(zhì)量，l為擺線長度，γ為阻力系數(shù)，θ為擺球的擺幅，g為當(dāng)?shù)刂亓铀?

(2)

該方程的解與阻尼系數(shù)有關(guān).

當(dāng)β<ω0時(shí)，系統(tǒng)處于弱阻尼狀態(tài)，其解為

θ=θ0e-β tcos (ωt+φ0),

(3)

當(dāng)β=ω0時(shí)，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)，其解為

θ=(C1+C2t)e-β t,

(4)

此時(shí)系統(tǒng)不做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是較快地回到平衡位置并停下來.

當(dāng)β>ω0時(shí)，系統(tǒng)處于過阻尼狀態(tài)，其解為

(5)

此時(shí)系統(tǒng)不做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，而是非常緩慢地回到平衡位置.

1.2 運(yùn)動(dòng)金屬球在梯度磁場中受到的電磁阻尼力

梯度磁場指的是空間變化率不為零的磁場. 金屬球在這樣的磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)在其內(nèi)部產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，從而產(chǎn)生渦旋電流. 在本文的實(shí)驗(yàn)中，擺球位于以平衡位置為中心向左右兩側(cè)線性減弱的梯度磁場，兩側(cè)的磁場梯度為大小相等、方向相反的常量. 當(dāng)擺球從中心向右擺動(dòng)，其產(chǎn)生的感應(yīng)電流如圖2(a)所示. 在渦流和外磁場的作用下，金屬球受到4個(gè)方向的等效作用力如圖2(b)所示，這些作用力的合力總是與金屬球的運(yùn)動(dòng)方向相反，故稱之為電磁阻尼.

(a) 垂直磁場方向觀測到的感應(yīng)電流(紫色虛線表示磁感應(yīng)強(qiáng)度)

Adom Giffin[8]等人對金屬球在梯度磁場中做低速運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的電磁阻尼與金屬球的電導(dǎo)率的關(guān)系展開研究，在忽略磁場擾動(dòng)對電磁阻尼影響的情況下，得出金屬球在梯度磁場中做低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，其線性弱電磁阻力表達(dá)式為

(6)

其中，r是金屬球的半徑，v為金屬球的運(yùn)動(dòng)速度，σ為金屬球的電導(dǎo)率，Bmax為最大磁感應(yīng)強(qiáng)度，L為梯度磁場的寬度.

1.3 求解金屬球的電導(dǎo)率

空氣阻尼為：

(7)

擺球在磁場中振動(dòng)受到的阻力為

F阻=F空+F磁，

(8)

聯(lián)立(7)(8)兩式得：

F磁=F阻-F空=(γ阻-γ空)v，

(9)

由于阻尼系數(shù)γ=2mβ，代入(9)式，與(6)式聯(lián)立解得電導(dǎo)率為

(10)

因此在有無磁場阻尼作用下，通過測定大小相同，電導(dǎo)率不同的2個(gè)金屬球的阻尼系數(shù)，再采用對比法即可得出待測金屬球的電導(dǎo)率為

(11)

2 實(shí)驗(yàn)儀器及步驟

2.1 實(shí)驗(yàn)儀器

1) 單擺裝置：包括半徑為90 cm的測角儀，量程為-5.5°～+5.5°，分度值為0.1°(見圖3)；

2) 帶擺線的鋁球(質(zhì)量m=11.346 g、半徑r=10.000 mm、電導(dǎo)率σ=3.767×107S/m)；帶擺線的待測金屬球(質(zhì)量m=35.112 g、半徑r=10.000 mm)；

3) 螺旋測微器、卷尺、多通道計(jì)時(shí)秒表(精度為0.01 s)；

4) 釹鐵硼永磁鐵(20 mm×20 mm×10 mm).

2.2 實(shí)驗(yàn)步驟

1) 按照圖3所示，將鋁球作為單擺的擺球，調(diào)節(jié)鋁球的擺線長度為95.00 cm.

圖3 單擺在磁場中的阻尼振蕩

2) 讓鋁球做小角度(θ≤5°)擺動(dòng)，當(dāng)擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)，用多通道計(jì)時(shí)秒表記錄擺球擺動(dòng)n次的時(shí)間，并記錄擺幅隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

3) 不改變擺球及其擺線長度的情況下，將釹鐵硼永磁鐵放置于鋁球平衡位置正下方大約x=2 cm處. 讓鋁球做小角度擺動(dòng)，記錄擺幅隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

4) 用待測金屬球替換鋁球，保持磁鐵的位置不變，調(diào)整擺線的長度使其與原鋁球擺線長度一致.

5) 讓待測金屬球做小角度擺動(dòng)，記錄擺幅隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

6) 移開磁鐵，讓待測金屬球做小角度擺動(dòng)，記錄擺幅隨時(shí)間變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

3.1 磁鐵位置分析

本文使用的2個(gè)金屬球質(zhì)量和電導(dǎo)率存在較大的差異. 與待測金屬球相比鋁球較輕，則鋁球擺動(dòng)過程中，空氣阻尼和電磁阻尼對其振幅的影響較大，而對待測金屬球的影響較小. 要想在有限的時(shí)間內(nèi)縮短測量時(shí)間的同時(shí)得出更準(zhǔn)確的測量數(shù)據(jù)，則磁鐵的位置至關(guān)重要.

3.1.1 磁鐵位于擺球平衡位置正下方的分析

本文的釹鐵硼方形磁鐵放置于擺球平衡位置正下方，其目的是在擺球平衡位置形成對稱分布的梯度磁場. 為此本實(shí)驗(yàn)使用特斯拉計(jì)測定擺球振動(dòng)軌跡對應(yīng)的磁場變化情況，如圖4所示. 測量結(jié)果表明磁感應(yīng)強(qiáng)度(B)隨擺幅(θ)的增大而減小，從圖4中可以發(fā)現(xiàn)釹鐵硼磁鐵形成的實(shí)際磁場是理論要求“等腰三角形”分布的近似，滿足電磁阻尼力磁場理論的要求.

3.1.2 磁鐵與擺球質(zhì)心距離的分析

本文選擇擺長為96 cm，對應(yīng)的周期T約為1.97 s. 磁鐵距離擺球越遠(yuǎn)，單擺在磁場中運(yùn)動(dòng)的振幅衰減越慢，可采集到擺幅的數(shù)據(jù)點(diǎn)就越多，擬合的阻尼系數(shù)越準(zhǔn)確. 并非是磁鐵距離擺球越遠(yuǎn)越好，磁鐵太遠(yuǎn)會(huì)增加測量時(shí)間，太近則較輕的擺球擺幅衰減太快，不利于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的采集. 況且本文并非僅考慮單個(gè)擺球振幅的衰減規(guī)律，而是需要綜合考慮2個(gè)擺球的質(zhì)量和電導(dǎo)率對擺幅衰減快慢和測量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量的影響，這就需要找到合適的位置，所以磁鐵在平衡位置與擺球質(zhì)心的距離也是完成本實(shí)驗(yàn)的關(guān)鍵因素之一.

實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)記錄1個(gè)擺幅數(shù)據(jù)點(diǎn)至少需要2個(gè)周期的時(shí)間即3.94 s，因此擺幅從5°衰減到2°，采集獲得11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，則在平衡位置磁鐵距離擺球的質(zhì)心至少應(yīng)為2.5 cm. 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)每隔5個(gè)周期記錄1個(gè)擺幅時(shí)，時(shí)間相對充裕，能更準(zhǔn)確捕捉到擺球擺到最高位置的角度，測量更準(zhǔn)確. 根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果每隔5個(gè)周期記錄1個(gè)數(shù)據(jù)需要9.84 s，讓幅度從5°衰減到2°采集11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，在平衡位置磁鐵距離擺球質(zhì)心則約為3 cm. 綜上本文所使用的平衡位置磁鐵距擺球質(zhì)心位置為3 cm.

3.2 阻尼作用對振動(dòng)周期的影響

表1 擺球在有無磁阻作用下周期-時(shí)間表

3.3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理

由于單擺在有無電磁阻尼作用下的阻尼系數(shù)遠(yuǎn)小于單擺的固有周期，所以無法通過測量周期計(jì)算出單擺的阻尼系數(shù). 根據(jù)弱阻尼振動(dòng)微分方程的解[見式(3)]，可知單擺的振幅隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，本文通過提高擺幅測量的精度(見圖3中測角儀的放大圖)，測定單擺擺幅隨時(shí)間的衰減規(guī)律，利用θ=θ0e-β t進(jìn)行擬合得到擺球在有無磁場作用下單擺振蕩的阻尼系數(shù)β，如圖5所示. 結(jié)果表明單擺在擺動(dòng)過程中擺幅隨時(shí)間呈指數(shù)衰減，實(shí)測數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果吻合得很好. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)2種金屬擺球在有無電磁阻尼作用下，阻尼系數(shù)β(詳見圖5)都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于單擺的固有頻率ω0=3.19 s-1，故阻尼對單擺振動(dòng)周期的影響可以忽略不計(jì). 單擺的阻尼系數(shù)可以通過測量單擺擺幅隨時(shí)間的衰減規(guī)律來求解.

(a)鋁球作為擺球

3.4 對比法求解金屬球的電導(dǎo)率

根據(jù)圖5曲線擬合的結(jié)果和已知條件，待測金屬球：m1=35.112 g，β1阻=1.557×10-3s-1，β1空=1.506×10-3s-1；鋁球：σ2=3.767×107S/m，m2=11.314 g，β2阻=6.165×10-3s-1；β2空=4.070×10-3s-1.

將所有的已知條件代入式(11)求得待測金屬球的電導(dǎo)率σ1=2.86×106S/m. 其中r1=r2.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明待測金屬球的電導(dǎo)率與相關(guān)資料提供的錳銅電導(dǎo)率的數(shù)據(jù)(σ=2.78×106～3.23×106S/m)相匹配. 本文使用的待測金屬球的密度ρ為8.38 g/cm3和錳銅的密度相近. 同時(shí)本實(shí)驗(yàn)累計(jì)測量n次擺幅隨時(shí)間的衰減規(guī)律，得到n個(gè)阻尼系數(shù)，電導(dǎo)率的不確定度為uσ1=0.14×10-6S/m

4 結(jié)束語

本文利用簡單的力學(xué)單擺實(shí)驗(yàn)，采用對比法測量電磁學(xué)的物理量，定量研究了空氣阻尼和電磁阻尼. 通過觀測2個(gè)大小相同、電阻率不同的金屬球在有無電磁阻尼作用下擺幅隨時(shí)間的變化規(guī)律，擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到空氣阻尼系數(shù)和電磁阻尼系數(shù)，采用對比法可得出待測金屬球的電導(dǎo)率. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，利用單擺小角度的弱阻尼振蕩，結(jié)合金屬球在梯度磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的磁阻尼力求解金屬球電導(dǎo)率，方法可行. 該實(shí)驗(yàn)可加深學(xué)生對單擺作為簡諧振動(dòng)理想模型的理解，另一方面也為研究梯度磁場中金屬小球的電磁感應(yīng)現(xiàn)象提供了新思路.