基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)在未知噪聲場(chǎng)的欠定寬帶信號(hào)DOA估計(jì)

郭業(yè)才， 田佳佳， 胡國(guó)樂(lè)

（1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，南京210044；2.江蘇省大氣環(huán)境與裝備技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心，南京210044；3.安徽大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，合肥230039）

0 引 言

利用傳感器陣列估計(jì)寬帶波達(dá)方向（Direction of Arrival，DOA）是一個(gè)活躍的研究課題［1］，因?yàn)樗哂袕V泛的應(yīng)用，需要估計(jì)所謂的角譜。例如：在雷達(dá)、聲吶、無(wú)線通信和定位等。由于DOA估計(jì)準(zhǔn)確度是由傳感器陣列的自由度（Degree of Freedom，DOF）決定的，均勻間隔陣列需要增加傳感器數(shù)量才能獲得較高的DOF，而提高了制造成本和陣列標(biāo)定的難度。稀疏陣列，即嵌套陣列和互質(zhì)陣列［2-3］，可以獲得更高的DOF數(shù)目，比使用非均勻傳感器位置的物理傳感器數(shù)目解析更多的源。對(duì)于稀疏陣列，利用擴(kuò)展協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)DOF的增加，其虛擬傳感器位置由物理傳感器之間的連續(xù)和非連續(xù)滯后差決定。

在稀疏陣列中，互質(zhì)陣列由于其簡(jiǎn)單的陣列結(jié)構(gòu)和檢測(cè)比物理傳感器數(shù)量更多的信號(hào)的能力，引起了人們對(duì)DOA估計(jì)應(yīng)用的極大興趣［4］。利用多個(gè)頻率來(lái)填充缺失的共線陣元，互質(zhì)陣列可以有效地獲得所有提供的DOF，用于高分辨率DOA估計(jì)［5］。利用陣列信號(hào)模型的稀疏性，稀疏信號(hào)表示技術(shù)促進(jìn)了DOA估計(jì)的進(jìn)展［6］。這些基于稀疏信號(hào)表示的算法不僅將感興趣的范圍離散為空間角網(wǎng)格，而且假設(shè)真實(shí)信號(hào)DOA必須落在預(yù)定義的網(wǎng)格上。然而，在實(shí)際情況中，無(wú)論網(wǎng)格有多密集，真正的DOA不一定位于準(zhǔn)確的采樣網(wǎng)格上。這種離網(wǎng)源會(huì)導(dǎo)致字典失配問(wèn)題，不僅違反稀疏性條件，而且會(huì)降低性能［7］。Shen等［8］提出了一種基于組稀疏的兩步離網(wǎng)源欠定寬帶DOA估計(jì)方法，該方法比現(xiàn)有的基于組稀疏的同網(wǎng)格搜索方法具有更好的性能。為解決聯(lián)合稀疏性無(wú)法捕獲信號(hào)真實(shí)結(jié)構(gòu)的問(wèn)題，提出一種稀疏貝葉斯框架內(nèi)的寬帶DOA估計(jì)算法，可以更靈活地占用頻譜帶，并通過(guò)在潛在參數(shù)空間上施加Dirichlet過(guò)程來(lái)自動(dòng)確定潛在的波段占用［9］。

稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)（Sparse Bayesian Learning，SBL）作為一種壓縮感知（Compression Sensing，CS）實(shí)現(xiàn)，彌補(bǔ)了在聯(lián)合處理多個(gè)頻率和多個(gè)快照以定位一個(gè)或多個(gè)源時(shí)，多個(gè)稀疏解可能對(duì)應(yīng)于一個(gè)源的缺點(diǎn)［10-11］。作為一種概率方法，SBL計(jì)算稀疏權(quán)向量的后驗(yàn)分布，并給出其協(xié)方差和平均值［12］。將SBL思想應(yīng)用于稀疏信號(hào)恢復(fù)的單測(cè)量向量（Single Measurement Vectors，SMV）模型中，通過(guò)貝葉斯規(guī)則得到后驗(yàn)概率p（x｜y；Θ），Θ為所有超參數(shù)［13-14］。超參數(shù)是通過(guò)在x上進(jìn)行邊緣化，執(zhí)行證據(jù)最大化或ii型最大似然來(lái)從數(shù)據(jù)中估計(jì)的［15］。SBL的魅力在于它的全局極小值總是最稀少的一個(gè)［16］，而流行的l1-norm優(yōu)化算法并不是全局收斂［17］。因此，基于SBL的優(yōu)化算法明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的l1-norm優(yōu)化算法。

本文研究了基于互質(zhì)陣列的SBL算法在未知噪聲場(chǎng)中對(duì)離網(wǎng)源的欠定寬帶DOA估計(jì)。互質(zhì)陣列采用最小稀疏標(biāo)尺重構(gòu)空間協(xié)方差矩陣，用非均勻采樣方法，提倡采集少量樣本，避免寬帶信號(hào)的混疊。將協(xié)方差矩陣向量化，利用克羅內(nèi)克積從互質(zhì)陣列得到虛擬流形矩陣，利用SBL算法得到寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)。在稀疏貝葉斯框架下開(kāi)發(fā)的SBL算法可以近似地解決非凸優(yōu)化問(wèn)題，并利用定點(diǎn)更新自動(dòng)確定稀疏性。基于SBL的寬帶DOA估計(jì)方案在采集少量樣本的情況下，尤其在低信噪比（Signal-to-Noise Ratio，SNR）的情況下，可以提供處理優(yōu)勢(shì)。

1 互質(zhì)陣列的寬帶信號(hào)模型

一個(gè)互質(zhì)陣列，它包括2個(gè)帶有N和2M傳感器的均勻線性陣列（Uniform Linear Array，ULA），如圖1所示。圖中，第1、第2個(gè)子陣列的元素間距分別為Mλ/2和Nλ/2。λ為信號(hào)的中心波長(zhǎng)。假設(shè)遠(yuǎn)場(chǎng)K個(gè)寬帶信源sk（t），k＝1，2，…，K以入射角Θ＝［θ1，θ2，…，θK］射在互質(zhì)陣列上。在互質(zhì)陣列的第w個(gè)傳感器處觀察到的信號(hào)可以表示為式中：0≤w≤2M＋N－1；sk（t）為第k個(gè)信號(hào)；nw（t）為未知噪聲信號(hào)；τw（θk）為第k個(gè)入射信號(hào)以入射角θk

圖1 互質(zhì)陣列模型

到達(dá)互質(zhì)陣列的第w個(gè)傳感器的時(shí)間延遲。對(duì)觀察到的傳感器信號(hào)作L點(diǎn)離散傅立葉變換（Discrete

Fourier Transform，DFT），在頻域中，在第w個(gè)傳感器處接收的數(shù)據(jù)向量可以表示為

式中：A（l，θ）＝［a（l，θ1），a（l，θ2），…，a（l，θK）］為方向矩陣；a（l，θK）為對(duì)應(yīng)入射角的導(dǎo)向向量。

數(shù)據(jù)向量的協(xié)方差矩陣為

式中：E｛·｝為期望運(yùn)算符；｛·｝H為厄米轉(zhuǎn)置運(yùn)算符為第k個(gè)信源的方為相應(yīng)的噪聲方差；a（l，θk）為導(dǎo)向向量。在實(shí)際情況下，理論協(xié)方差矩陣Rl是不可能得到的，可以使用T個(gè)可用段（頻率快照）估算樣本協(xié)方差矩陣：

信號(hào)協(xié)方差矩陣Rl向量化為

式中：Bl＝［b（l，θ1），b（l，θ2），…，b（l，θK）］為等效導(dǎo)向向量構(gòu)成的矩陣；b（l，θk）＝a*（l，θk）?a（l，θk）為等效導(dǎo)向向量；入射信號(hào)方差矩陣和單位矩陣轉(zhuǎn)化后的列向量vec（I）。其中符號(hào)‘*’為復(fù)共軛；符號(hào)‘?’為克羅內(nèi)克積（前一個(gè)矩陣中的每一個(gè)元素都與后一個(gè)矩陣相乘）；vec（·）為將矩陣轉(zhuǎn)化為列向量的操作［18］。

來(lái)自矩陣Bl的傳感器的位置（被視為較大的虛擬陣列的流形矩陣）在自差分集中

2 帶有離網(wǎng)源的稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)

2.1 離網(wǎng)公式

假設(shè)存在以lq（q＝1，2，…，Q）為索引的Q≤L個(gè)DFT頻點(diǎn)。那么對(duì)應(yīng)于Q個(gè)頻率點(diǎn)的流行矩陣Bl＝［Bl1，Bl2，…，BlQ］。使用固定間隔≤D）的D元素網(wǎng)格θg采樣潛在空間域，g為網(wǎng)格，并將網(wǎng)格間隔離散，則式（6）可以寫(xiě)成

將D個(gè)導(dǎo)向向量的集合表示為離網(wǎng)目標(biāo)下寬帶信號(hào)的稀疏表示為

式中，vl為向量，是噪聲部分的集合，除第k個(gè)條目（對(duì)應(yīng)于nw（t）的第k個(gè)元素的方差）外，它由所有零組成。

可見(jiàn)，噪聲部分vl可以通過(guò)每2個(gè)不同的zl之間的計(jì)算消除，即式中，m＝1，2，…，h，其中h＝L（L－1）/2。

2.2 稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)算法

由于未知噪聲通過(guò)式（9）得到消除，因此似然概率為

式中：zmq為m點(diǎn)離散傅里葉變換的第q個(gè)頻點(diǎn)的寬帶信號(hào)稀疏表示；CN為復(fù)高斯分布為m點(diǎn)離散傅里葉變換的第q個(gè)頻點(diǎn)導(dǎo)向向量的集為m點(diǎn)離散傅里葉變換的第q個(gè)頻點(diǎn)的方差的稀疏向量。由于為正實(shí)數(shù)，因此式（10）可以轉(zhuǎn)換為以下實(shí)值似然概率為

式中：γmq為m點(diǎn)離散傅里葉變換的第q個(gè)頻點(diǎn)的源方差；Γmq＝diag（γmq，1，γmq，2，…，γmq，D）＝diag（γmq）為在每個(gè)范圍深度單元θ中以γmq作為源方差的對(duì)角協(xié)方差；γmq，d為在第d個(gè)網(wǎng)格處的源方差。

令Ymq＝｛y1q，y2q，…，yhq｝為T(mén)個(gè)快拍的集合，而源方差向量的相應(yīng)集合為使用式（11），多重快照似然概率為

多頻似然概率為

簡(jiǎn)而言之，SBL算法可以總結(jié)如下步驟：

步驟1初始化＝1。

步驟2輸入

步驟3通過(guò)式（13）更

步驟4如，停止。

步驟5和Nt＝Nt＋1。

步驟6如果Nt＜1 000，返回步驟2；否則停止。

3 仿真結(jié)果

在本節(jié)中，將通過(guò)仿真來(lái)說(shuō)明用于寬帶DOA估計(jì)的帶互質(zhì)陣列的SBL算法的性能，并將其與其他最新算法進(jìn)行比較，包括同時(shí)正交匹配跟蹤最小二乘（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit Least

Squares，SOMP-LS）、同時(shí)正交匹配跟蹤總最小二乘（Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit Total Least Squares，SOMP-TLS）［21］和離網(wǎng)稀疏貝葉斯推理（Offgrid Sparse Bayesian Inference，OGSBI）［22］。在仿真中，信號(hào)的分?jǐn)?shù)帶寬（即帶寬與中心頻率的比值）。采樣頻率是最高頻率的3倍。換言之，信號(hào)具有從的歸一化頻率范圍，其中歸一化頻率，其中f是感興趣的頻率?？紤]在每個(gè)頻率點(diǎn)的信號(hào)共享相同的分布，即，振幅是瑞利隨機(jī)變量，并且相位均勻地分布在［－π，π］上。應(yīng)用L＝128點(diǎn)DFT，感興趣的頻帶覆蓋Q＝26個(gè)頻點(diǎn)。假設(shè)有一個(gè)K＝12信源的示例，它們的離網(wǎng)沖擊角均勻地分布在之間?；ベ|(zhì)陣列由M＝3和N＝4的一對(duì)稀疏線性陣列（ULA）組成，一共有9個(gè)物理傳感器，其位置設(shè)置為S＝［0，3，4，6，8，9，12，16，20］λ/2。

比較SBL與SOMP_LS、SOMP_TLS和OGSBI在互質(zhì)陣列中對(duì)欠定寬帶DOA估計(jì)的檢測(cè)性能。在整個(gè)感興趣的頻帶內(nèi)，信號(hào)功率和噪聲功率用來(lái)計(jì)算信噪比SNR。假設(shè)K＝12個(gè)寬帶信源入射到M＝3、N＝4的互質(zhì)陣列上，快拍數(shù)為100，輸入信噪比SNR固定為0 dB。如圖2所示，SBL與SOMP_LS、SOMP_TLS和OGSBI可以成功的區(qū)分出所有的寬帶信號(hào)（信源數(shù)超過(guò)物理傳感器的數(shù)量）。如圖2（a）所示，即使SBL在0rad處也存在一個(gè)偽峰，而圖2（b）、（c）中SOMP_LS和SOMP_TLS沒(méi)有生成偽峰。如圖2（d）所示，OGSBI會(huì)生成一些明顯的虛假峰。與SBL相比，在某些角度上，SOMP-TLS提供了更接近真實(shí)值的DOA估計(jì)，而對(duì)于其他角度，SBL則提供了更好的準(zhǔn)確度。因此，使用SBL和SOMP-TLS算法的估計(jì)性能是可比的，并且在其他算法中可提供最佳檢測(cè)。

圖2 4種算法在快拍數(shù)為100，SNR＝0 dB時(shí)DOA估計(jì)的歸一化空間譜

為更加具體地觀察出4種算法在互質(zhì)陣列上對(duì)寬帶信號(hào)的檢測(cè)性能，表1列出了4種算法的檢測(cè)結(jié)果和待估計(jì)DOA。表1表明，SBL算法在絕大多數(shù)待估計(jì)角度檢測(cè)中的表現(xiàn)出優(yōu)于其他3種算法的性能，檢測(cè)結(jié)果的誤差均小于其他3種算法。根據(jù)均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）將SBL算法與SOMP_LS，SOMP_TLS和OGSBI算法進(jìn)行比較，以評(píng)估算法的估計(jì)精度。用RMSE作為DOA性能評(píng)估指標(biāo)，且

表1 4種算法在SNR＝0 dB，快拍數(shù)為100時(shí)的角度估計(jì)

式中：W為獨(dú)立的蒙特卡洛試驗(yàn)的數(shù)為第i個(gè)蒙特卡洛試驗(yàn)的θk的估計(jì)值。這里，每個(gè)測(cè)試點(diǎn)均采用200次蒙特卡洛模擬迭代的平均結(jié)果。Crame-Rao下界（CRLB）［23-24］（它提供了估計(jì)準(zhǔn)確性方差的下界）也用于表示理想估計(jì)。

如圖3所示，在快拍數(shù)為200時(shí)，4種算法隨信噪比的變化，SBL算法的仿真結(jié)果表現(xiàn)出比其他3種算法更好的估計(jì)性能，尤其是在低信噪比時(shí)，SBL算法的RMSE明顯小于其他3種算法，在寬帶信號(hào)的DOA估計(jì)上表現(xiàn)出更好的性能。

圖3 快拍數(shù)為200時(shí)，4種算法的RMSE隨SNR的變化

如圖4所示，在信噪比為0dB時(shí)，SBL算法的性能明顯優(yōu)于其他3種算法，在相同條件下，SBL算法的均方根誤差最小，準(zhǔn)確率更高。

圖4 SNR＝0 dB時(shí)，4種算法的RMSE隨快拍數(shù)的變化

4 結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)使用SBL算法進(jìn)行基于互質(zhì)陣列的欠定寬帶在未知噪聲場(chǎng)中的DOA估計(jì)，與SOMP_LS，SOMP_TLS和OGSBI算法相比，SBL表現(xiàn)出出色的檢測(cè)性能和估計(jì)準(zhǔn)確度。SBL可以容納由互質(zhì)陣列提供增加的DOF，對(duì)欠定寬帶進(jìn)行有效的DOA估計(jì)，通過(guò)互質(zhì)陣列提供的虛擬陣元接收更多的寬帶信號(hào)并且通過(guò)每2個(gè)向量化函數(shù)之間的運(yùn)算消除未知噪聲。本文采用了定點(diǎn)更新為寬帶DOA估計(jì)提供全局收斂性。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法有著更好的抗噪能力。