任意荷載作用下樁撐路堤中加筋體的變形和拉力計(jì)算

余艷芳，史宏彥

（廣東工業(yè)大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，廣東 廣州 510006）

為了在軟弱地基上修建路、堤(壩)等設(shè)施，傳統(tǒng)方法是預(yù)先對(duì)軟土進(jìn)行處理(如采用砂井-堆載或/和真空預(yù)壓等)，以減小其沉降和提高其承載能力。但該類方法施工周期較長(zhǎng)，工后(不均勻)沉降可能依然較大。樁撐式技術(shù)是近十多年來興起的一種在軟弱地基上修建路堤的新方法。它通過在軟土中設(shè)置樁和樁帽，并在其上鋪設(shè)加筋體(土工布、土工格柵等)，最后再在加筋體上填土修筑路堤。實(shí)踐結(jié)果表明，該方法施工速度快，工后沉降小且均勻，具有廣闊的應(yīng)用前景。

研究結(jié)果表明[1-6]，源自于路堤的荷載(自重以及其上其他荷載)，一部分通過填土中形成的土拱直接傳給了相鄰的樁，其余的則通過加筋體間接傳給了樁和其下的地基土(如果有并考慮其支撐作用的話)。前者稱之為“荷載A”，后者稱為“荷載B+荷載C”?！昂奢dB”和“荷載C”分別指間接傳給樁和地基土的那部分荷載。

基于上述荷載傳遞機(jī)理，樁撐式路堤的設(shè)計(jì)自然也分為兩步：第一步即為確定“荷載A”。該方面的研究比較深入、廣泛，也取得了豐富的成果[7-12]；第二步就是確定“荷載B”和“荷載C”。該步的關(guān)鍵是依據(jù)加筋體的荷載-變形特性確定加筋體受荷后的變形以及加筋體內(nèi)的拉力及其變化。這是因?yàn)?，“荷載B”就是加筋體在樁帽內(nèi)邊緣處拉力的豎直分量，而一旦確定出加筋體的變形，則可利用地基變形模型(如Winkler模型等)計(jì)算出“荷載C”。

但應(yīng)指出的是，雖然加筋體的拉力與應(yīng)變之間可用簡(jiǎn)單的線性關(guān)系表示(見下文的式(13))，但因應(yīng)變與位移之間是高度非線性的，因此，利用加筋體受力平衡條件最終形成的荷載-變形關(guān)系仍然是一組高度的非線性微分方程組，不易求解[13]。有鑒于此，目前常用的方法是：以加筋體的受力平衡方程為基礎(chǔ)，再附加一些其他假定條件，以期求得加筋體的變形和拉力。其中假定加筋體中拉力是均勻變化以及加筋體變形后為圓弧或二次拋物線是最為常見的[14-16]。但現(xiàn)有的研究結(jié)果表明，作用在加筋體內(nèi)的拉力一般不是均勻的，通常在中間最小、在樁帽內(nèi)邊緣處最大[3-5，9]；而變形后的加筋體最接近三次拋物線[5]。

綜上可見，如何確定加筋體的變形和拉力仍是樁撐路堤設(shè)計(jì)中有待解決的問題。本文針對(duì)平面應(yīng)變條件下的加筋體，首先推導(dǎo)出了相應(yīng)的平衡方程，并據(jù)此分析僅僅利用平衡方程不可能求得加筋體變形和拉力的原因，最后提出了一種利用加筋體平衡條件和變形相容條件確定加筋體變形和拉力的簡(jiǎn)單數(shù)值解法。

1 加筋體的受力平衡方程

設(shè)相鄰兩根樁的中心距為2Sx，樁帽寬度為2a，凈間距為2S0=2(Sx-a)。由于加筋體和作用在其上的荷載通常是對(duì)稱的，因此可取相鄰兩樁中心線與樁帽中心線之間的加筋體為對(duì)象，如圖1(a)示。該加筋體可以分為AB和BC兩段。其中AB段和BC段的下表面分別與地基土及樁帽上表面接觸。設(shè)加筋體單位長(zhǎng)度的重量為γG。

圖1 加筋體的變形及受力分析Fig.1 Deformation and loading of the GR

1.1 AB段的平衡方程

在該段加筋體中取一長(zhǎng)度為ds的微元體，設(shè)該微元兩端受到的拉力分別為T和T+dT，與水平面的傾角分別為ψ和ψ+dψ，其受力如圖1(b)示。其中σnt和τst是加筋體以上填土作用在加筋體上表面的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力；而σnb和τsb是加筋體以下土體作用在加筋體下表面的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力，自重為dG=γGds。令

σn和τs分別稱為凈法向應(yīng)力和合剪應(yīng)力，這樣，該微元體在水平和垂直方向的受力平衡條件分別為

將式(2)和(3)中的三角函數(shù)求和項(xiàng)展開，注意到dψ→0并略去與二階無窮小量dψds有關(guān)的項(xiàng)，則有

將式(4)兩邊乘以cosψ與式(5)兩邊乘以sinψ后相加、將式(4)兩邊乘以sinψ與式(5)兩邊乘以cosψ后相減，則式(4)、(5)的平衡方程可改寫為

式(6)和(7)中

1.2 BC段的平衡方程

對(duì)于水平的BC段加筋體，由于其在AB段荷載作用下有伸長(zhǎng)的趨勢(shì)，因此其表面剪應(yīng)力的方向與AB段相反，如圖1(c)示。該段水平和豎直方向的受力平衡方程分別為

值得注意的是，由于剪應(yīng)力在B點(diǎn)反向，因此整個(gè)加筋體ABC在樁帽內(nèi)邊緣處的拉力最大，這與實(shí)驗(yàn)和數(shù)值分析結(jié)果是一致的[5]。有鑒于此，從設(shè)計(jì)的角度看(即控制最大值)就沒有必要對(duì)BC段進(jìn)行分析了。此時(shí)B點(diǎn)可以看做是加筋體的固定端。這就是目前普遍采用的加筋體分析模型[1-5，14-16]。此外，由于加筋體的自重通常遠(yuǎn)小于所受到的外荷，因此可不予考慮。

式(6)、(7)、(9)是關(guān)于T和ψ的一階微分方程(式(10)是個(gè)自平衡方程)，只有利用其已知邊界條件才能完全確定。但目前僅能利用加筋體對(duì)稱于y軸的特點(diǎn)得到關(guān)于ψ的邊界條件(即當(dāng)x=0時(shí)ψ=0)，而關(guān)于T的邊界條件(即TA、TB和TC中任意一個(gè))卻是未知的。由此可見，由于邊界條件的不完備，僅僅利用加筋體的受力平衡方程是不可能確定出變形后加筋體的形狀(可以用ψ表示)和拉力T的。正因如此，才在目前的加筋體變形和拉力分析中附加了其他假定或簡(jiǎn)化。

2 均布法向荷載作用下加筋體的變形和拉力

文獻(xiàn)[14-15]的作者認(rèn)為，由于樁撐路堤通常都是修建在軟土地基上的，因此，軟土對(duì)加筋體下表面的摩擦力τsb通常很小可以不計(jì)。另一方面，雖然作用于加筋體上、下表面的法向應(yīng)力σnt和σnb沿加筋體不是均勻分布的，但其差值(即凈法向應(yīng)力σn)可以假定為均勻的，或者可以等效為均勻的。

從式(6)、(9)可以看出，只有不考慮作用在加筋體表面的剪應(yīng)力，加筋體中的拉力T才是均勻的。此外，利用式(7)、(8)不難得到以下方程

式(11)中，C1和C2是兩個(gè)積分常數(shù)，可利用邊界條件x=0和y=0時(shí)ψ=0確定。如果進(jìn)一步假定σn是常值，則上式可改寫為

此時(shí)加筋體變形后的曲線是圓心位于y軸、半徑R=T/σn的圓弧，如圖2示。由此可見，只有在不考慮加筋體表面摩擦力并且作用在加筋體表面的法向應(yīng)力為均勻分布的條件下，加筋體的拉力才是均勻的，變形后的加筋體也才是圓弧。

圖2 均布法向應(yīng)力作用下加筋體的變形Fig.2 Deformation of GR under normal uniform distribution load

設(shè)加筋體的拉伸剛度為KG，拉力T與應(yīng)變?chǔ)胖g的關(guān)系為

式(13)中注意到加筋體拉力均勻時(shí)其應(yīng)變也是均勻的，故整個(gè)加筋體ABC范圍內(nèi)的應(yīng)變?yōu)?/p>

式(14)中，na=a/S0，而sm和ψm分別為AB段加筋體變形后的弧長(zhǎng)和最大傾角(見圖2)。將式(14)代入(13)有

式(15)中

顯然，Nn就是作用在AB段加筋體上的總法向荷載。此外，從圖2可見

聯(lián)立式(15)、(16)、(17)消去T有

這樣，對(duì)于給定的參數(shù)ξ，由式(18)確定出ψm后，將ψm代入式(17)即可求出加筋體內(nèi)的拉力T。即

式(19)中

稱為加筋體的拉力放大倍數(shù)。由此可見，加筋體的拉力T等于總法向荷載的KT倍。由于Ψm≤π/2，故KT≥1，即加筋體的拉力不會(huì)小于所受的總荷載。

此外，利用式(8)和圖2不難得到加筋體的最大豎向位移δ為(見圖2)

若不考慮樁帽范圍內(nèi)加筋體的變形，可令na=0，此時(shí)參數(shù)ξ與ψm、KT和δ/S0之間的關(guān)系見表1。

表1 參數(shù)ξ與Ψm、KT和δ/S0之間的關(guān)系(na=0)Table 1 Relations among parameters ξ， Ψm， KT and δ/S0 (na=0)

3 任意荷載作用下加筋體的變形和拉力

從加筋體的受力平衡方程(6)～(7)和(9)～(10)可以看出，當(dāng)作用在加筋體表面的荷載比較復(fù)雜時(shí)，要想推導(dǎo)出變形和拉力的解析解是比較困難的。另一方面，如前所述，目前利用方程(6)～(7)和(9)～(10)確定加筋體的變形和拉力時(shí)所做的附加假定都是沒有理論依據(jù)的。為解決上述問題，本文提出以下數(shù)值解法。該方法僅將加筋體的變形關(guān)系(即式(13))與平衡方程聯(lián)系起來，并無其他任何假設(shè)。

數(shù)值解法就是將求解微分方程(6)～(7)和(9)～(10)轉(zhuǎn)化為求解其差分方程。但應(yīng)注意的是，由于加筋體受荷后會(huì)變形，在平面中的位置以及變形后的長(zhǎng)度都是未知的，但無論加筋體如何變形，它都限制在兩樁之間，因此，差分最好沿水平向進(jìn)行。

對(duì)圖1(a)所示的加筋體AC，首先對(duì)AB段由最低點(diǎn)A開始水平向右分成n個(gè)子段，即水平向的差分長(zhǎng)度Δxk=S0/n。設(shè)第k個(gè)子段(1≤k≤n)的弧長(zhǎng)度為Δsk，段起點(diǎn)和終點(diǎn)與水平面的夾角分別為ψk和ψk+1=ψk+Δψk，受到的拉力分別為Tk和Tk+1=Tk+ΔTk，作用在加筋體表面的凈法向應(yīng)力和合剪應(yīng)力分別為σnk和τsk，則式(6)和(7)可變換為

式(22)中

對(duì)式(22)和(23)逐段求解，即可得到各子段的拉力Tk以及AB范圍內(nèi)各子段的傾角ψk和弧長(zhǎng)Δsk。

應(yīng)注意的是，逐段求解式(22)和(23)的前提是已知加筋體在最低點(diǎn)A處的拉力TA以及第1個(gè)子段的傾角ψ1。鑒于第1個(gè)子段的加筋體接近水平，故可取ψ1≤2°；至于TA，起始計(jì)算時(shí)可賦一大于零的小數(shù)或大數(shù)(如TA=0.1或104kN/m)，以后通過迭代自動(dòng)調(diào)整。

顯然，根據(jù)幾何條件，整個(gè)AC范圍內(nèi)加筋體變形后的長(zhǎng)度S應(yīng)當(dāng)為

式(25)中的傾角ψk和弧長(zhǎng)Δsk由方程(22)和(23)求得。另一方面，利用式(23)和(24)求出各子段段首及段尾的拉力Tk和Tk+1=Tk+ΔTk后，也可利用加筋體的拉力與變形之間的關(guān)系式(13)，依據(jù)拉力求出變形后整個(gè)加筋體的長(zhǎng)度S′(等于原始長(zhǎng)度(s0+a)與拉力產(chǎn)生的長(zhǎng)度之和)。即

顯然，如果起始假定的TA是正確的，則根據(jù)加筋體的變形相容條件，S與S′應(yīng)當(dāng)是相等的。即

如果不等，則重新調(diào)整TA進(jìn)行迭代，直至f滿足允許誤差為止。由此可見，上述算法實(shí)際上就是非線性方程(27)關(guān)于TA的求解。這樣，利用一般非線性方程的求解方法(如迭代法、對(duì)分區(qū)間法等)，即可確定出TA，進(jìn)而求出整個(gè)加筋體的變形和拉力。

4 算例

假設(shè)相鄰兩樁的中心距2Sx=2.5 m，樁帽寬度2a=1 m (即Sx=1.25 m，a=0.5 m，S0=0.75 m)，加筋體張拉剛度KG=1 500 kN/m。

4.1 算例1

設(shè)加筋體上僅作用有凈法向應(yīng)力σn，其值分別為2 kN/m和20 kN/m (即ξ分別為0.001和0.01)，不考慮樁帽范圍內(nèi)加筋體的變形(即na=0)。取TA的起始值為0.1 kN/m，n=20。數(shù)值解與式(12)解析解得到的加筋體變形后曲線比較如圖3，其他物理量比較見表2。顯然，兩者的計(jì)算結(jié)果是比較吻合的。

圖3 均布法向荷載作用下加筋體的變形曲線Fig.3 Deformated shape of the GR under the normal uniform distibution load

表2 解析解與數(shù)值解的比較(na=0)Table 2 Comparison of analytical with numerical results (na=0)

如果進(jìn)一步計(jì)入樁帽以上加筋體的變形(此時(shí)na=a/S0=0.5/0.75=2/3，取m=10)，則當(dāng)ξ=0.01時(shí)加筋體的拉力為32.64 kN/m，最大傾角Ψm=27.36°，最大豎向位移δ=176.56 mm，其長(zhǎng)度由起始的1 250 mm變?yōu)? 277.8 mm。這些結(jié)果與前述解析解基本一致。此外，如果與不考慮樁帽范圍內(nèi)加筋體的結(jié)果(見表2)比較則不難發(fā)現(xiàn)，考慮時(shí)加筋體的拉力有一定程度的減小，而變形則明顯增大。

在實(shí)施行為干預(yù)前，需對(duì)家長(zhǎng)的養(yǎng)育行為進(jìn)行系統(tǒng)評(píng)估，明確干預(yù)的重點(diǎn)，干預(yù)計(jì)劃應(yīng)個(gè)體化，結(jié)合文化背景，因地制宜，并且排除兒童可能潛在的疾病和生物學(xué)因素。目前大部分兒童行為性失眠的干預(yù)經(jīng)驗(yàn)均來自與西方國(guó)家，在大部分亞洲地區(qū)兒童行為性失眠障礙尚未得到足夠的重視，盡管部分研究提示亞洲地區(qū)兒童行為性失眠問題的報(bào)道率可能還要高于歐美國(guó)家，因此這些干預(yù)方式是否符合亞洲地區(qū)的文化背景，以及干預(yù)策略的本土化則非常值得進(jìn)一步的探討和論證。

4.2 算例2

假定不計(jì)地基土的抗力(即σnb=τsb=0)，并且填土作用在加筋體上表面的法向應(yīng)力σnt和剪應(yīng)力τst達(dá)到極限平衡(即τst=σnttanφ)，則由式(4)可得

這就是著名的皮帶傳動(dòng)拉力公式(其中的tanφ相當(dāng)于皮帶與皮帶輪之間的摩擦系數(shù))。其他計(jì)算條件同算例1。部分?jǐn)?shù)值計(jì)算結(jié)果見表3，其中加筋體的變形曲線與圖3大致相同，而拉力與式(28)的比較如圖4，顯然兩者幾乎是一致的。

圖4 加筋體中拉力隨弧長(zhǎng)的變化Fig.4 Variation of tension of the GR with the arc length

此外，當(dāng)ξ分別為0.001和0.01時(shí)，由數(shù)值方法得到的作用在加筋體上的水平和豎直向荷載分別為-0.73 kN/m與1.579 kN/m以及-5.635 kN/m與16.75 kN/m，這樣，作用在加筋體水平及豎向的合力分別為：

由此可見，作用在加筋體上的荷載是平衡的。

4.3 算例3

VanEekelen等[5]提出了一種“同心拱(concentric arches)”模型。該模型能夠較好地反映路堤填料、加筋體以及地基土之間的相互作用，其計(jì)算結(jié)果也能較好地符合現(xiàn)場(chǎng)及模型試驗(yàn)結(jié)果。該模型分二維和三維兩種，詳情可參見文獻(xiàn)[5]。

在二維條件下，設(shè)無黏性填土的高度為H，重度為γ，有效內(nèi)摩擦角為φ，被動(dòng)土壓力系數(shù)為Kp=tan2(π/4+φ/2)，填土表面超載為p，這樣，根據(jù)同心拱模型，作用在加筋體上的荷載為豎直向下的切向應(yīng)力σθ：

式(29)中，0≤r≤Sx為從加筋體對(duì)稱軸(即圖1(a)中y軸)算起的矢徑(水平距離)，其余為

參數(shù)Hxg2D取值如下：

對(duì)H≥Sx的完全拱：Hxg2D=Sx

對(duì)H

從式(29)可以看出，作用在加筋體上的荷載是曲線變化的，難以利用式(6)～(7)和(9)～(10)得出變形曲線及拉力的解析解?，F(xiàn)利用本文數(shù)值方法求解該問題(不考慮樁帽范圍內(nèi)加筋體的變形)。其計(jì)算參數(shù)為：填土高度H=5.8 m，重度γ=18.2 kN/m3，超載p=0，內(nèi)摩擦角φ=300，n=30。其余參數(shù)同算例1。利用式(29)繪出的作用在加筋體上的豎向荷載σθ如圖5所示。由數(shù)值方法得到的變形后加筋體曲線(形狀)如圖6所示。其中變形后長(zhǎng)度為775.77 mm，最大傾角Ψm=35.89°，最大豎向位移δ=140.75 mm。

圖5 作用在加筋體上的豎向荷載Fig.5 Vertical load acting on the GR

圖6 加筋體變形后的曲線Fig.6 Deformated curve of the GR

加筋體內(nèi)拉力隨變形后弧長(zhǎng)的變化如圖7所示，其中最小拉力TA=48 kN/m，最大拉力TB=58.46 kN/m。此外，對(duì)式(29)在0≤r≤S0=0.75 m范圍內(nèi)積分，可以得到作用在加筋體上的總豎向荷載Fy≈36.5 kN/m。利用這些數(shù)據(jù)，易于驗(yàn)證作用在加筋體上的水平及豎向力也是滿足平衡條件的。

圖7 加筋體的拉力隨弧長(zhǎng)的變化Fig.7 Variation of tension with the arc

4.4 算例4

Low等[13]基于Eekelen土拱模型[5]及Winkler地基模型，在無超載且僅考慮均勻分布的凈法向應(yīng)力σn的條件下(如本文第3節(jié)所述，此時(shí)變形后的加筋體為圓弧)，提出了如下確定加筋體變形和拉力的計(jì)算方法(已轉(zhuǎn)化為本文符號(hào))：

式(33)中k為加筋體以下土體的基床系數(shù)。而變形后加筋體的最大傾角ψm和最大豎向位移δ可聯(lián)立以下兩式通過迭代法確定：

求出δ后，再代入式(33)即可得到σnb，進(jìn)而利用式(1)可確定出作用在加筋體上的凈法向應(yīng)力σn。加筋體的應(yīng)變?chǔ)虐聪率酱_定:

其拉力T仍依據(jù)式(19)確定。

假定填土高度H=5.8 m，重度γ=18.2 kN/m3，內(nèi)摩擦角φ=30°，基床系數(shù)k=2 000 kN/m3。在這些條件下，由式(32)可得σnt=48.922 kPa，由式(26)可得ψm=3.73°，δ=24.42 mm，由式(33)可得σnb=48.83 kPa，由式(1)、(36)和(13)可得σn=0.092 kPa及T=1.06 kN/m。

現(xiàn)與本文方法進(jìn)行比較。將KG=1 500 kN/m、σn=0.092 kPa及S0=0.75 m 代人式(16)及(18)可得ξ=4.594×10-5和ψm=3.73°。此外，由式(21)和(19)可得δ=24.42 mm及T=1.06 kN/m。顯然，兩種方法的計(jì)算結(jié)果幾乎是相同的。

5 結(jié)語

(1) 只有在不考慮加筋體表面摩擦力并且作用在加筋體表面的法向應(yīng)力為均勻分布的條件下，加筋體內(nèi)的拉力才是均勻的，變形后的加筋體也才是圓弧。

(2) 由于邊界條件的不完備，僅僅利用加筋體的受力平衡方程是不可能確定出變形后加筋體的變形和拉力的。

(3) 將加筋體的平衡條件與變形相容條件(即利用加筋體的平衡方程求出的加筋體長(zhǎng)度應(yīng)當(dāng)與加筋體原始長(zhǎng)度及拉力產(chǎn)生的長(zhǎng)度之和相同)相結(jié)合，可以彌補(bǔ)平衡方程邊界條件的不完備，并且能夠較為準(zhǔn)確地確定出加筋體的變形和拉力。該方法簡(jiǎn)單易行，適用于各種荷載條件及大、小變形的加筋體。