聚焦選考題中的不等式證明

孫承輝

《不等式選講》在“不等式”的基礎(chǔ)上，增加了絕對值不等式和柯西不等式等知識，在高考中以選做題的形式出現(xiàn)，考查邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。對于其中的證明題，重點(diǎn)考查運(yùn)用比較法、綜合法和分析法等證明方法，本文對不等式證明題進(jìn)行分類解析，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時參考。

?？碱}型1：以絕對值三角不等式為考點(diǎn)絕對值不等式的內(nèi)容比較豐富，比如|a-b|《|a-c|+|c-b|（a，bER）和絕對值三角不等式||al-|b|l《|atb|《|a|+|b|（a，bER）。運(yùn)用絕對值三角不等式需注意不等式的結(jié)構(gòu)，必要時可對代數(shù)式進(jìn)行拆項(xiàng)變形。

例1已知函數(shù)f（r）=|2x-1|。（1）解不等式f（x）《|x|+3;

（2）設(shè)2x-1=m（x-3y+l）+n（2y1）=mx+（-3m+2n）y+m-n，則m=2，n=3，即2x-1=2（x-3y+l）+3（2y-1）。

因?yàn)椋躼-3y+1＼4分，2y-1《，所以f（x）=|2x-1|=12（-3+1）+3（2y-1）|<2|x-3y+1l|+3|2y-1|<2X

點(diǎn)評：第（1）小題是解含絕對值的不等式，屬于簡單題。第（2）小題是利用待定系數(shù)法對2x一1進(jìn)行拆項(xiàng)，這是絕對值不等式|a-b|《la-cl+|c-b|的直接應(yīng)用。

?？碱}型2：以基本不等式和柯西不等式為考點(diǎn)

不等式證明題中有以基本不等式和柯西不等式為考點(diǎn)的題型，同學(xué)們要熟悉這兩種不等式的多種形式，例如，三元基本不等式：

例2已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足a+b3+c3=1。證明：

（1）a+b+c>（a+b+c*）;

（2）a2b+b'c+c'a<1。

證明：（1）證法一（柯西不等式法）：因?yàn)閍+b+c=1，所以a+b+c=（a+b+）。（a'+b3+c3）=[（/a）2+（6）+（6].【（/a）*+（/歷）+（/）】》（a+63+c2）”。

證法二（基本不等式法）：因?yàn)閍+b+c8=1，所以a+b+c=（a+b+c（a+63+c'）=a'+b*+c*+（ab*+ba'）+（ac*+ca*）+（be*+cb*）>a'+b*+c*+2/a6ba+2/aeca+2/b6cc6"=a*+6'+e*+2a*6+2a"c+26c'=（a+b+c）.

（2）要證a'b+b*c+c*a《1，即證a*6+b'c+c'a

證法一（排序不等式法）：不妨設(shè)a》b≥c，則a'》b》c，由亂序和《順序和，可知a'b+bc+c*a

證法二（基本不等式法）：a+6'=（a+6）（a'-ab+b）>（a+b）（2ab-ab）=ab+ab。同理，b+c》bc+bc*.c*+a》ca+ca。所以2（a+6+c*）》ab+bc+ca+ab'+bc+ca'。

又因?yàn)閍+6'》2ab，所以a+ab》2a'b，所以a'》2a*b-ab。同理，b'》26'c-bcz，c》2ca-ca。所以a+b+c》2（a'6+b*c+ca）-ab-bc？-ca。

②①+②得3（a+b+c）》3（a6+

bc+c'a），即ab+bc+ca《a+b+c3=1，結(jié)論得證。

點(diǎn)評：解答第（1）小題時要觀察到需證的不等式的左邊是一次多項(xiàng)式，右邊是四次多項(xiàng)式，所以根據(jù)a+6*+c8=1把a(bǔ)+6+c變形為a+b+c=（a+b+c）（a+6+c），再運(yùn)用柯西不等式或基本不等式就能證明。第（2）小題中的ab+bc+ca可以看作亂序和，直接運(yùn)用排序不等式證明最方便。

?？碱}型3：以不等式的證明方法為考點(diǎn)證明不等式的常見方法有比較法、綜合法、分析法等，作差（或作商）法的本質(zhì)是把兩個式子的大小判斷轉(zhuǎn)化為一個式子與0（或1）的大小關(guān)系。另外，用分析法證明不等式時，要注意書寫格式的規(guī)范性，也可以先用分析法尋找思路，再用綜合法寫證明過程。

例了已知不等式|x-2|+|x-3|《3的解集為M，且a，bEM。

（1）若a》b，求證：2a'-b》2ab*-a'b;（2）求證：|4+ab《|a+46|。

解析：（1）求得不等式|x-2|+|x-3|《3的解集為（1，4），所以M=（1，4）。

2a'-b-（2ab*-ab）=（2a'-2ab）+（a'b-b）=2a（a-b）+b（a-b）=（a2-b）（2a+b）=（a+b）（a-b）（2a+b）。

因?yàn)?《b《a《4，所以a+b》0，a-bo，2a+b》0，所以（a+b）（a-b）（2a+6）》0，即2a-6-（2ab-a6）》0。

所以2a'-6》2ab'-a'6。

（2）要證|4+ab|《|a+46|，即證（4+ab）'《（a+46），即ab+16-a-1660，即證（a-16）（6-1）《0

因?yàn)閍，bE（1，4），所以a-16《0，61》0，所以（a-16）（b-1）《0.

所以|4+ab|《|a+4b|。

點(diǎn)評：第（1）小題主要考查作差法證明不等式;第（2）小題通過分析法，將要證的不等式平方后再作差。這兩小題里作差后的變形是解決問題的關(guān)鍵，常用的策略是把代數(shù)式因式分解，通過判斷各個因式的符號來確定整個代數(shù)式的符號。

（責(zé)任編輯王福華）