基于時變時滯的電力系統穩(wěn)定性分析

沈 力，張云佐

(1. 江蘇省城市規(guī)劃設計研究院，江蘇 南京 210036；2. 石家莊鐵道大學 信息科學與技術學院，河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著電網智能化地發(fā)展，現代電力系統越來越趨向于多互聯，大規(guī)模方向發(fā)展，所以僅僅依靠傳統的區(qū)域信號控制方法可能滿足不了系統對性能的要求。近30年來，隨著現代電力通信中向量測量單元技術的廣泛應用，使得將本地電力系統信息同步采樣并傳送至遠程控制中心成為可能。各種廣域控制信道在電力信息的傳輸過程中難免會存在時滯且隨時間變化的，這類時滯的存在將會直接破壞電力系統的穩(wěn)定性。因此，研究分析含時變時滯電力系統穩(wěn)定性問題具有實際意義。

近些年，對于含有時滯的電力系統，國內外學者的研究方法大都是基于 Lyapunov直接法的時域法[1-6]。通過構建Lyapunov-Krasovskii泛函，借助Lyapunov穩(wěn)定理論分析系統的穩(wěn)定性，給出穩(wěn)定判據，最后利用線性矩陣不等式工具箱求解得到時滯電力系統的穩(wěn)定裕度。文獻[7]提出并將自由權矩陣的分析方法引入時滯系統魯棒控制的研究中，在一定程度上克服了先前分析方法的局限性。文獻[8]將Wirtinger不等式作為一種特例，提出一種新的積分不等式處理泛函導數中的積分項，給出了時滯離散系統的穩(wěn)定判據。文獻[9]利用系統狀態(tài)中的二重積分項，給出一種將Wirtinger不等式包含在內的的新的積分不等式。文獻[10]在Jensen不等式的基礎上，提出一種含Jensen不等式的新的積分不等式，具有更小的保守性。文獻[11]避開討論Wirtinger不等式，進一步討論了無窮形式的積分不等式，同時給出了時滯二次型的處理方法，有助于處理文章泛函導數中時滯二次項。文獻[12]考慮系統時滯變化率，介紹了一種逆凸不等式，提出了一種新的增廣形式的Lyapunov-Krasovskii泛函，雖然很大程度上降低了時滯系統現有結果的保守性，但是，在實際電力系統中時滯變化率是很難測量的，文章通過構建一種新的增廣Lyapunov-Krasovskii泛函，合理地避開了時滯變化率的討論。文獻[13]將文獻[8]的方法應用到單機無窮大電力系統中。文獻[14]應用基于牛頓-萊布尼茨的自由權矩陣方法處理泛函導數中的積分項，給出的時滯電力系統的穩(wěn)定性判據具有較大的保守性。文獻[15]舍棄Jensen不等式，利用Wirtinger不等式對泛函導數中積分項進行處理，所得的時滯電力系統的穩(wěn)定性判據也具有一定的局限性。

文章提出一種新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函作為系統的能量函數，應用逆凸不等式[12]對能量函數求導后得到的積分項進行有效地放縮，然后分析系統的Lyapunov穩(wěn)定性，根據給出的穩(wěn)定判據求解時滯穩(wěn)定裕度。與現有文獻的結果相比較，文章方法得到的穩(wěn)定裕度更大一些。

文章采用如下標號：Rn和Rn×m分別表示實數域上的n維向量空間和n×m維矩陣空間；Rn×n表示n階正對稱矩陣集合；RT和R–1表示矩陣的轉置和逆；I和0分別表示單位矩陣和零矩陣；P>0

1 系統模型

通常，含時變時滯系統的數學模型可化簡為：

式（1）中：x(t)∈Rn，是狀態(tài)向量；A、B為系統矩陣；0

為了得到系統穩(wěn)定判據[10-13]，給出了3個引理。

引理 1：定義可導函數ω于區(qū)間[a,b]→Rn，對于實對稱矩陣Z(∈ Rn×n) ＞ 0，則下述不等式（2）應成立：

引理2：有f(s) =a2s2+a1s+a0二次函數，如果以下3個不等式成立，則f(s)＜0，s∈ [ 0,h] 。

(i)f(0)＜0；(ii)f(h)＜0；(iii)-h2a2+f( 0) ＜ 0。

引理3：定義?1、?2是Rn上的可導函數，標量α∈ ( 0,1)，對于實對稱矩陣?1、?2(∈ Rn×n) ＞ 0，任意矩陣Y1,Y2∈Rn×n有積分不等式（8）成立：

2 穩(wěn)定判據

首先，定義向量、矩陣如下：

對于系統(1)，有如下穩(wěn)定性判據：

定理 1：存在實對稱矩陣P(∈ R5n×5n)＞0，R(∈ Rn×n) ＞ 0，任 意 矩 陣Y1、Y2∈R3n×3n， 對 于條件，如果下列不等式組（18）～（20）成立，則系統（1）穩(wěn)定。

式中：

證明：根據Lyapunov穩(wěn)定分析需求，構建新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函如下：

當P>0，R>0時，則函數正定，即V(xt)＞0。對V(xt)求導可得：

由引理1得：

由引理3得：

結合式（40）～（43），得：

3 案例分析

本節(jié)以典型二階時滯系統、四機11節(jié)點時滯電力系統為例，驗證文章所提方法的優(yōu)越性。

3.1 典型二階時滯系統

（1）考慮如下典型系統1：

（2）考慮如下典型系統2：

利用文獻[13-15]的方法及定理 1計算，仿真得到系統的穩(wěn)定裕度，結果見表1、表2。

表1 典型系統1的穩(wěn)定裕度hTab.1 S tability margin h of typical system 1

表2 典型系統2的穩(wěn)定裕度hTab.2 S tability margin h of typical system 2

從上表1、2中可明顯看出，較文獻[13-15]，定理1得到的穩(wěn)定裕度更大一些，由此表明文章所提方法的優(yōu)越性。

3.2 四機11節(jié)點系統

了進一步驗證文章方法的實用性和有效性，考慮如圖1所示四機11節(jié)點電力系統[16]。

圖1 四機11節(jié)點系統Fig.1 Four-machine 11-bus power system

狀態(tài)矩陣如下：

利用文獻[13-15]的方法及定理 1計算，仿真得到四機 11節(jié)點電力系統的穩(wěn)定裕度，結果見表3。

表3 四機11節(jié)點系統的穩(wěn)定裕度hTab.3 Stability margin h of four-machine 11-bus system

從表3可以明顯看出，較文獻[13-15]，定理1得到的穩(wěn)定裕度更大一些，由此表明文章所提方法具有更小的保守性。

4 結論

文章為了得到更大的時滯穩(wěn)定裕度，以及滿足Lyapunov穩(wěn)定分析的需求，提出一種新的增廣型Lyapunov-Krasovskii泛函，合理地利用一種逆凸不等式處理泛函求導后的積分項。通過分析推導，給出了含時變時滯的電力系統穩(wěn)定判據，大大降低了現有結果的保守性。最后，以典型二階時滯系統、四機11節(jié)點系統為實例，通過仿真分析得到系統的時滯穩(wěn)定裕度，與現有文獻相比，表明了文章方法的優(yōu)越性。