基于萊維飛行和自適應(yīng)權(quán)重的水波優(yōu)化算法

周建萍，賈鶴鳴，王 爽

（三明學(xué)院 信息工程學(xué)院，福建 三明 365004）

最近十年之間群智能優(yōu)化算法已經(jīng)成為優(yōu)化領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)，主要因?yàn)樵撍惴ň哂徐`活性強(qiáng)、無梯度機(jī)制和局部最優(yōu)化等優(yōu)點(diǎn)。群智能優(yōu)化算法源于生物的集體行為，模仿大的種群如何尋找食物的方法。

蟻群優(yōu)化算法(ant colony optimization,ACO)[1-2]和粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization,PSO)[3-4]是這類算法中較為經(jīng)典的兩類方法。ACO模仿螞蟻尋找最短路徑的社會(huì)行為，PSO模擬鳥群在飛行和狩獵中的行為。其他群優(yōu)化算法有：2015年Karaboga等[5]提出的人工蜂群算法（artificial bee colony algorithm,ABCA），通過模仿蜜蜂采花蜜的行為進(jìn)行尋優(yōu)，該算法能夠適應(yīng)環(huán)境的變化；螢火蟲算法（firefly algorithm,FA）[6]由Yang X S等[7]提出，通過模仿螢火蟲的趨光性，向光源移動(dòng)進(jìn)行尋優(yōu)；蝙蝠優(yōu)化算法（bat algorithm,BA）是一種有效的全局搜索方法，該算法通過迭代搜索最優(yōu)解，并且在最優(yōu)解附近進(jìn)行飛行產(chǎn)生局部新解，加強(qiáng)了局部搜索能力；2016年Mirjalili等[8]提出的鯨魚優(yōu)化算法（whale optimization algorithm,WOA）是一種模仿座頭鯨捕食的算法，該算法在全局搜索及局部尋優(yōu)均具有較強(qiáng)的能力。雖然進(jìn)化優(yōu)化與群體優(yōu)化之間存在差別，但其共同點(diǎn)是能夠在限定域中找到最優(yōu)值。盡管各類算法都具有各自的優(yōu)點(diǎn)，但No-Free-Lunch(NFL)定理[9]已經(jīng)證明沒有一種算法能夠解決所有的優(yōu)化問題。傳統(tǒng)群優(yōu)化算法無法解決所有優(yōu)化問題，所以國內(nèi)外許多學(xué)者研究改進(jìn)原有的算法，增強(qiáng)其全局或局部搜索能力。劉佳等[10]提出了混合人工蜂群算法，在蜂群開采階段加入全局搜索機(jī)制，提高了算法的搜索能力，解決了拆卸線平衡問題。楊景明[11]等提出了改進(jìn)的多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法,引入了分解的思想，避免算法陷入局部最優(yōu)，解決了文檔分類的問題。Li Z[12]等提出了改進(jìn)的飛蛾撲火算法，利用萊維飛行增加種群的多樣性，防止局部最優(yōu)發(fā)生，有效提高了算法的尋優(yōu)能力。Dou R[13]提出應(yīng)用萊維飛行加入元啟發(fā)算法中，解決艦載機(jī)著陸控制問題，優(yōu)化了自動(dòng)駕駛儀的控制參數(shù)和功率補(bǔ)償系統(tǒng)。諸多現(xiàn)有的群智能優(yōu)化算法均存在一定的不足之處，但許多學(xué)者都一直在結(jié)合彼此特點(diǎn)進(jìn)行取長補(bǔ)短，令改進(jìn)后的群智能優(yōu)化算法在全局搜索和局部尋優(yōu)的能力盡量達(dá)到平衡統(tǒng)一，更好地解決工程應(yīng)用中的尋優(yōu)問題。

水波優(yōu)化算法（water wave optimization，WWO）有著優(yōu)秀的尋優(yōu)能力，但是在解決工程問題時(shí)存在尋優(yōu)能力不足。許多學(xué)者研究改進(jìn)的算法對(duì)水波優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，金旭旸利用萊維飛行對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn)[14],劉翱[15]利用自適應(yīng)控制參數(shù)對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn),王萬良[16]提出了模擬退火和水波算法的融合的優(yōu)化算法,杜兆宏[17]提出了自適應(yīng)參數(shù)對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn),顧啟元[18]利用了自適應(yīng)學(xué)習(xí)對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn),以上文獻(xiàn)利用一種策略對(duì)優(yōu)化算法進(jìn)行改進(jìn)，無法更好地平衡全局最優(yōu)和局部最優(yōu)。林偉豪[19]提出了自適應(yīng)參數(shù)和動(dòng)態(tài)分組學(xué)習(xí)策略對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn)，有著較好的效果。顧啟元[20]采用群自適應(yīng)策略對(duì)水波算法進(jìn)行改進(jìn)，同時(shí)加入了約束調(diào)整，使優(yōu)化算法的優(yōu)化能力得到了提升。所以多種策略的合理使用可以顯著地改善水波算法的優(yōu)化能力。

本文為了解決傳統(tǒng)水波優(yōu)化算法在全局尋優(yōu)能力較弱和收斂速度慢的問題，提出了利用萊維飛行和自適應(yīng)權(quán)重兩個(gè)方法，對(duì)經(jīng)典的水波優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化和改進(jìn)，對(duì)單目標(biāo)優(yōu)化學(xué)習(xí)問題進(jìn)行處理和研究，以提高原算法的精度和收斂速度為目標(biāo)，在全局和局部兩個(gè)方面引入不同策略進(jìn)行完善，最終進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)最優(yōu)值的求解實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的改進(jìn)算法的有效性。

1 改進(jìn)的水波優(yōu)化算法

水波算法主要模擬水波的傳播、折射和分裂現(xiàn)象，有效地對(duì)搜索空間進(jìn)行尋優(yōu)[21]。水波在不同的深淺區(qū)域形成的波浪形狀如圖1所示。水波的運(yùn)動(dòng)過程是從深區(qū)到淺區(qū)，隨著波高的增加，波長相應(yīng)地隨之減小，適應(yīng)度函數(shù)值增大則增加[22-23]。

圖1 水波模型

水波傳播階段:每個(gè)水波都會(huì)進(jìn)行傳播并且產(chǎn)生一個(gè)新的水波，其數(shù)學(xué)公式如式（1）

其中 L（d）為水波的搜索長度，rand（-1,1）是均勻分布的隨機(jī)數(shù)。如果 f（x'）＞f（x），水波則會(huì)被新的水波x'取代。給出了一個(gè)水波的波長，如式（2）。

其中α表示水波波長約束因子;fmax，fmin分別表達(dá)所選擇的適應(yīng)度函數(shù)值的最大和最小值;ε可以選取為非零無窮小的正整數(shù)。

折射階段:在波的傳播過程中，波的能量持續(xù)下降，直到波高降為零，進(jìn)行折射以避免搜索停滯。位置更新如式（3）

其中:x*為當(dāng)前最優(yōu)解;N（μ，σ）為生成的復(fù)合高斯分布的隨機(jī)數(shù)。通過折射后，水波的高度會(huì)隨著新的水波x'更新為hmax，并且波長更新公式如式（4）

分裂階段:隨著水波的傳播，其攜帶能量也會(huì)逐漸增強(qiáng)，水波的波峰就會(huì)越來越陡峭，最后傳播結(jié)束時(shí)水波就會(huì)最終分裂成多個(gè)獨(dú)立的水波。為了模仿這個(gè)現(xiàn)象，隨機(jī)選擇k個(gè)維度，并且在每個(gè)維度產(chǎn)生一個(gè)單獨(dú)的水波。單獨(dú)的水波更新公式如式（5）

其中:β為水波分裂系數(shù)。

1.1 萊維飛行

萊維飛行最早是由Levy提出的，然后由Benoit Mandelbrot詳細(xì)的對(duì)其進(jìn)行描述[24-25]。實(shí)際上萊維飛行是一種隨機(jī)步長描繪Levy分布的方法。大量的研究表明，自然界的很多動(dòng)物和昆蟲的個(gè)體行為表現(xiàn)就很好地表征了萊維飛行的基本特征。萊維飛行其本質(zhì)是將步長隨機(jī)化的模擬飛行的方法，圖2是關(guān)于萊維飛行軌跡的模擬圖像，它的步長總是很小，但是偶爾也會(huì)出現(xiàn)大的跳動(dòng)。

圖2 萊維飛行軌跡

萊維飛行的公式如式（6）

Mantegna提出的生成Levy隨機(jī)步長的公式如式（7）

1.2 自適應(yīng)權(quán)重

慣性權(quán)重因子是粒子群優(yōu)化中的核心調(diào)節(jié)參數(shù)。當(dāng)慣性權(quán)重較大的時(shí)候，會(huì)明顯增強(qiáng)其搜索能力，大幅提升算法的搜索區(qū)域；當(dāng)慣性權(quán)重較小的時(shí)候，算法后期的搜索能力會(huì)增強(qiáng)，可以提升局部尋優(yōu)能力[26]。

水波算法進(jìn)行局部尋優(yōu)的時(shí)候以公式(2)向最優(yōu)解逼近，但是局部尋優(yōu)能力較弱。為了解決這個(gè)問題，提出了加入自適應(yīng)權(quán)重這個(gè)參數(shù)，使得其全局和局部能力得到平衡。自適應(yīng)權(quán)重公式如式（9）

其中:t為當(dāng)前迭代次數(shù);itmax為最大迭代次數(shù)。

1.3 改進(jìn)的水波優(yōu)化算法

經(jīng)典的水波智能優(yōu)化算法能夠簡單和高效地處理數(shù)學(xué)函數(shù)的低維單模優(yōu)化求解問題，但采用相同的方法處理高維復(fù)雜的優(yōu)化求解問題時(shí)，傳統(tǒng)WWO所得到的解并不十分理想，而且運(yùn)算時(shí)間長。為了提高WWO的全局搜索能力和局部探索能力，本文提出了一種改進(jìn)的水波優(yōu)化算法。Levy飛行可以最大限度地實(shí)現(xiàn)搜索域的多樣化，這樣能夠保證算法高效地更新水波位置，實(shí)現(xiàn)局部最優(yōu)；自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)能夠加快算法的收斂速度，減少運(yùn)算時(shí)間。通過上述改進(jìn)思路能夠看出利用萊維飛行和自適應(yīng)權(quán)重系數(shù)有助于WWO獲得更好的尋優(yōu)結(jié)果，減少運(yùn)算時(shí)間，因此對(duì)水波的位置更新公式做出優(yōu)化，可用式（10）和（11）的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表達(dá)。

改進(jìn)后的算法能夠大幅提高WWO的全局搜索能力從而避免進(jìn)入局部最優(yōu)值。這種方法不僅提高了WWO的搜索強(qiáng)度，也改善了算法的運(yùn)行較長的問題。利用加入改進(jìn)策略保證改進(jìn)后的優(yōu)化在避免陷入局部最優(yōu)的前提下也能夠準(zhǔn)確找到函數(shù)的最優(yōu)極值，通過增強(qiáng)多樣性使該算法具有更好的全局搜索能力。同時(shí)該算法對(duì)單峰值、多模態(tài)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)以及多閾值圖像分割中的應(yīng)用均具有較好的效果。通過上述分析可知，本文提出的改進(jìn)水波優(yōu)化算法IWWO(improved water wave optimization)的性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的WWO。

2 實(shí)驗(yàn)仿真分析

為更好地驗(yàn)證IWWO算法的有效性，本文以多種形式的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行算法測試，驗(yàn)證改進(jìn)優(yōu)化算法的優(yōu)化求解能力和算法的運(yùn)行效率。同時(shí)，與WWO,PSO和FPA(flower pollination algorithm)進(jìn)行比較分析。

2.1 標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)實(shí)驗(yàn)與分析

選取了多種標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)作為測試函數(shù)來衡量元啟發(fā)式算法的性能。測試函數(shù)的公式如表1所示，利用其不同函數(shù)的數(shù)學(xué)特性，從不同的角度來測試IWWO的性能[27]。表1為標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)。測試函數(shù)大致可以分為三類：高維單模態(tài)測試函數(shù)、高維多模態(tài)測試函數(shù)、固定多模態(tài)測試函數(shù)，如圖3所示。

表1 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)

圖3 標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)效果圖

圖4清晰地給出了多種優(yōu)化算法處理表1中標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)尋優(yōu)后最優(yōu)值的收斂曲線，從收斂曲線的走勢能夠明顯看出改進(jìn)后的水波算法同時(shí)兼具精度高和收斂速度快的兩類優(yōu)點(diǎn)，函數(shù)尋優(yōu)的最終結(jié)果均優(yōu)于對(duì)比的其他幾種傳統(tǒng)優(yōu)化算法。這也進(jìn)一步說明了IWWO算法具有更強(qiáng)的局部搜索能力，且不會(huì)產(chǎn)生陷入局部最優(yōu)的問題，選擇的兩種策略很好地平衡了全局大范圍搜索和局部小范圍尋找最優(yōu)解之間的關(guān)系，準(zhǔn)確地找到了備選測試標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的理論極值。

圖4 各算法的收斂曲線

為了進(jìn)一步對(duì)IWWO的優(yōu)越性進(jìn)行評(píng)價(jià)和測試，將本文選擇研究對(duì)比的智能優(yōu)化算法均獨(dú)立運(yùn)行30次，驗(yàn)證每個(gè)選擇算法的穩(wěn)定性，如表2所示給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由表2可知，IWWO的算法的AVE和Std波動(dòng)不大。同時(shí)，從表中結(jié)果可知在所有實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，IWWO算法有5個(gè)結(jié)果優(yōu)于其它算法，PSO算法有1個(gè)結(jié)果優(yōu)于其它對(duì)比算法，所以IWWO算法優(yōu)于其它對(duì)比算法。說明IWWO算法不僅具有優(yōu)秀的尋優(yōu)能力，同時(shí)能夠穩(wěn)定地進(jìn)行尋優(yōu)。

表2 各算法運(yùn)行的穩(wěn)定性

3 結(jié)束語

本文在研究了基于萊維飛行和自適應(yīng)權(quán)重的水波優(yōu)化算法之后，獲得3個(gè)主要結(jié)論。

(1)提出一種基于萊維飛行和自適應(yīng)權(quán)重的水波優(yōu)化算法，該方法采用萊維飛行算法改進(jìn)水波的傳播機(jī)制，利用其隨機(jī)移動(dòng)機(jī)制使水波向最優(yōu)值移動(dòng)。

(2)加入自適應(yīng)權(quán)重因子使水波分裂階段更集中，加強(qiáng)對(duì)局部區(qū)域的探索能力，保證算法的收斂能力。

(3)選擇經(jīng)典的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化仿真測試，很好地驗(yàn)證了改進(jìn)優(yōu)化算法的尋優(yōu)求解能力，最優(yōu)值以及穩(wěn)定性明顯優(yōu)于WWO、PSO和FPA算法，充分驗(yàn)證了所提出的算法的優(yōu)化能力。