古典概率學習中幾個典型錯誤及需注意的問題評析

闞永志

(遼寧工業(yè)大學 理學院，遼寧 錦州 121001)

等可能概型在概率論發(fā)展初期曾是主要的研究對象，所以也稱為古典概型，其中的事件概率的學習即古典概率的學習也就稱為概率論學習中最基本的內容之一。由于古典概率的學習是學好概率論的基礎，而且學生在初學古典概率時，常常會犯各種錯誤，所以有必要將一些常見的典型錯誤進行評析，并指出需注意的問題。

一、實例錯解評析

（一）事件的包含關系與概率的關系之間存在的一種錯誤

實例1 設A,B為任意兩個事件，滿足P(AB) =P(A)，問A?B是否成立？

對于本例，一定會有多數(shù)人認為A B? 一定成立。原因是：既然A與B的積事件的概率等于A的概率，就類比A與B兩個集合的交集應等于集合A，則必然會有集合A是集合B的子集，即A B?成立。

實際上，A B? 是不一定成立的，那么，它錯在什么地方呢？顯然，若A B?，則AB=A，也就有P(AB)=P(A)；但反過來，若P(AB) =P(A)，則AB=A是不一定成立的

即A?B不一定成立。

例如：設X是一個連續(xù)型隨機變量，A={1 ≤X≤ 3}，B={1 ≤X＜3}，顯然AB，且B?A，但卻有P(AB) =P(A).實際上，AB=B，則P(AB)=P(B)；而A=B∪{X=3}，則

P(A) =P(B)+P{X=3}，

又連續(xù)型隨機變量取任意指定實數(shù)值的概率均為零，因此P{X=3}=0，從而P(A) =P(B).綜上P(AB) =P(A).又如：

其中X是一個連續(xù)型隨機變量，xi≥3,i=1,2,…

顯然A B，但仍有P(AB)=P(A).實際上，由AB={1≤X＜2}，知P(AB)=P{1≤X＜2}.而

其中P{X=xi}=0(i=1,2,…)，

則P(A) =P{1 ≤X＜2}，故P(AB) =P(A).

（二）抽簽模型中的概率及概率與條件概率的理解錯誤

實例2 袋中有a個白球、b個黑球，依次將球一個個取出，不放回。

設事件A1={第一次取出白球}，A2={第二次取出白球}，Ak={第k次取出白球}(1 ≤k≤a+b)，試求P(A2)和P(Ak).

（1）對于P(A2)，由于有事件A1的干擾或對事件A2的理解角度偏頗，所以部分初學概率論的學生在求P(A2)時，會出現(xiàn)各種不同的計算錯誤。

一方面，有部分學生認為，既然從袋中第一次取出白球，那么袋中應剩余a+b-1 個球，其中有a-1個白球，從而依等可能概型中的概率計算公式有

表面上看，此種求解方法正確，實際上，雖然A2與A1的發(fā)生有一定的關系，但P(A2)和A1的發(fā)生與否是沒有關系的，且本題中并沒有提到A1是否已經(jīng)發(fā)生，從而導致求解思路上的錯誤。

另一方面，對于事件A2，還有部分學生也隨心所欲地認為第一次取出的應是黑球，所以依上述可知

此種求解思路錯在對事件A2的理解上，實際上，事件A2的發(fā)生意味著第一次取出的可能是黑球，也可能是白球。

下面給出求P(A2)的正確解法：

方法一 設取球試驗直至第二次取球為止，則導致事件A2發(fā)生的事件共有兩類：

故根據(jù)有限可加性

得

方法二 設想將球編號，一個個取出直至第二次取球為止，則基本事件總數(shù)就是從a b+個編號的球中選出兩個球進行排列的排列個數(shù)，即.要使A2發(fā)生，只需從a個白球中選出一個放在第二個位置上作為第二次取出的球（共有種不同的放法），至于第一個位置可以任意放余下各種編號的球（共有種不同的放法），由乘法原理可得A2包含的基本事件個數(shù)為.故有

方法三 設想將球編號，每次試驗將取出的a b+個球順次排列在a b+個位置上，排列的總數(shù)即基本事件總數(shù)為=(a+b)!

若使A2發(fā)生，只需從a個白球中選出一個放在第二個位置上作為第二次取出的球（共有=a種不同的放法），而其余 1a b+-個球可以任意順次排列在a+b-1個位置上（共有=(a+b-1)!種不同的放法）

由乘法原理可得A2包含的基本事件個數(shù)為(a+b-1)!a.故有

由于篇幅關系，只給出以上幾種求解方法，供參考。

（2）依上述易知，P(Ak)的結果也是

（三）樣本空間的設計方法與某事件的設計方法不一致造成的錯誤

實例3 在實例2 中，求取到的k個球中恰有m(1 ≤m＜k)個白球的概率。

本例顯然也是古典概率計算中比較簡單而且典型的一個題目，但也容易發(fā)生各種錯誤。

有部分同學是這樣求解的，由于該試驗為不放回抽樣，所以第一次取球有a+b種取法，第二次取球有a+b-1種取法，第三次取球有a+b-2種取法，……，依次推知第k次取球有a+b-k+1種取法，由乘法原理可得從a+b個球中取k個球共有(a+b)(a+b-1)(a+b-2) …(a+b-k+1)種取法，即基本事件總數(shù)為

(a+b)(a+b-1)(a+b-2) …(a+b-k+1)

此種解法雖然都用組合或排列的方法求兩者的基本事件數(shù)，但在求kB時發(fā)生了錯誤。

理由是：本例中“取k個球”為一次試驗，又m k＜，因此“只從a個白球中任取m個”不會使事件B發(fā)生。

而僅當m k=時，上述求解才是正確的。

正確解法：

（四）積事件的概率與條件概率的理解錯誤

實例4 在實例2 中，設不放回地取兩次球，每次任取一個。求：

（1）第二次才取到白球的概率；

（2）發(fā)現(xiàn)其中之一是白的，另一個也是白的概率。

對于問題（1），由于其中有一個“才”字，所以每個學生都能注意到“第一次取到的必定是黑球”，但有的學生會犯下列錯誤：

設事件 {C=第二次才取到白球}，則

對于問題(2)，設事件 {D=其中之一是白的，另一個也是白的}，有部分學生認為，若D發(fā)生，即第一次和第二次取到的都應是白球，則事件D應與事件“兩個都是白球”相同，故

上述兩個問題求解錯誤的根本原因在于沒弄清兩事件積事件的概率與條件概率的區(qū)別。

上述問題（1）的求解思路認為，P(C)是指在第一次取到黑球的條件下，第二次取到白球的條件概率.正確的求解思路應是：

由于“取兩次球”作為一次試驗，所以若使C發(fā)生，必須是和A2同時發(fā)生，即P(C)是和A2的積事件的概率。

本以為我丟給沙莉的這塊難啃的“硬骨頭”會成為她手上的燙手山芋，誰知道，沙莉竟輕松地將此事處理得滴水不漏。最令我悔之晚矣的是，半月之后，那位投訴的李先生，被沙莉的真誠打動，竟向沙莉介紹了一位大客戶，在李先生的幫助下，沙莉順利地簽訂了最難銷售的一批貨。

而上述問題(2)的求解思路認為，P(D)是指A1和A2同時發(fā)生的概率。

正確的求解思路應是：

若使D發(fā)生，應是在事件E={發(fā)現(xiàn)其中之一是白的}（即兩球中至少有一個是白的）已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件F={另一個也是白的}（即兩個都是白球）才發(fā)生，即

P(D)應是條件概率P(F|E).

正確解法：

已在前述求P(A2)的正確解法的方法一中已經(jīng)給出，或利用乘法公式，得

（2）方法一（利用條件概率的定義）

也在前述求P(A2)的正確解法的方法一中已經(jīng)給出。

方法（一）

由古典概率的計算公式，有

方法（二）

方法（三）

由E=A1∪A2，利用加法公式得

方法（四）

E=A1∪A2，利用逆事件的概率公式、德摩根律及古典概率計算公式，

方法二（利用縮減樣本空間的方法）事件E為新的樣本空間，基本事件總數(shù)為.而積事件EF包含的基本事件個數(shù)為，故

二、古典概率學習中應該注意的問題

1.通過對例1的典型錯誤的評析，提示以后需要注意事件之間的包含關系與概率之間的關系。若A?B，則AB=A，也就有P(AB) =P(A)；反之，若P(AB) =P(A)，則A?B未必成立。

2.抽簽模型中的概率不僅與取球的先后次序無關，即本文中第k(1 ≤k≤a+b)次取出白球的概率均為，而且也與是否放回抽樣方式無關；同時，尤其值得注意的是概率P(A2)與條件概率P(A2|A1)或的本質區(qū)別。P(A2)即是事件A2發(fā)生的概率，而P(A2|A1)或是在事件A1已經(jīng)發(fā)生或沒發(fā)生的條件下，事件A2發(fā)生的概率。

3.對于等可能概型，在樣本空間的設計方法和某事件的設計方法上務必保持一致，即若設計樣本空間時采用排列（組合）的方法，則某事件的設計時也要用排列（組合）的方法，否則就會出現(xiàn)計算方法上的錯誤；同時，設計方法不同，事件概率計算的方法就會花樣繁多，從而繁簡程度也就會大不相同。

4.在處理等可能概型的某種問題時，對于積事件的概率與條件概率的區(qū)別也更容易出錯。積事件的概率是一些事件同時發(fā)生的概率，而條件概率如上所述，二者不要混淆。

三、結束語

為了避免學生在學習概率論的過程中發(fā)生不必要的各種錯誤，本文通過以上幾個具體實例，列舉并評析了等可能概型中古典概率計算的幾個常見的典型錯誤，闡述了在計算等可能概型中事件概率時需要注意的問題，這對激發(fā)學生學習概率論的不同興趣奠定了一定的基礎，能有效地提高概率論的教學質量，對每位初學者學好概率論以及它在其它各個科學領域中得到廣泛的應用具有重要作用。