一種基于動力學模型的彈性模量理論估算誤差分析

蔣鵬程，王愛文

(北京信息科技大學 理學院，北京100192)

0 引言

彈性模量是工程材料重要的性能參數(shù)，是衡量物體抵抗彈性變形能力大小的物理量。彈性模量的準確測量對復(fù)雜環(huán)境下結(jié)構(gòu)力學性能的預(yù)測和精密儀器的設(shè)計有著非常重要的意義。

彈性模量可以通過測量最大最小頻率[1]和多階固有頻率[2]間接獲得；另外，許多學者[3-4]通過改變結(jié)構(gòu)表面的施加載荷，測量其中心彎曲撓度的變化之后通過計算獲得。比如，Vikash等[5]用激光測量由溫度改變引起的板中心彎曲撓度，估算與溫度相關(guān)的板的彈性模量。Ayhan等[6]使用試驗機測量單板層積材在載荷下的撓度，計算單板層積材的彈性模量。

上述實驗結(jié)果依賴板中心的彎曲撓度。通常的彎曲撓度測量過程如下：在兩側(cè)簡單支撐的板中心表面放置一個矩形條，改變施加在它上面的載荷量，測量板中心的彎曲撓度。彈性模量的計算是基于板條施加一致載荷的假設(shè)。然而，由于結(jié)構(gòu)加工的差異，板條與結(jié)構(gòu)表面之間的接觸是不均勻的，載荷可能僅施加在幾個接觸位置。此外，放置中心的板條位置可能會發(fā)生偏斜，這些因素對彈性模量計算準確性的影響程度直接關(guān)系到工程中的應(yīng)用與設(shè)計。

1 模型建立

圖1 載荷類型

本文以長為a、寬為b、厚為h的功能梯度板為研究對象，如圖2、圖3所示。其等效材料參數(shù)P(z)以體積分數(shù)冪率的方式在厚度方向梯度分布：

圖2 功能梯度板示意圖

圖3 功能梯度材料截面

P(z)=P1+(P2-P1)V2(z)

(1)

(2)

式中：θ為體積分數(shù)指數(shù)；P1和P2分別為Al和ZrO2-1的材料參數(shù)，比如彈性模量、密度等。為了計算方便，沿厚度方向?qū)宸譃镹層，每層的材料參數(shù)均根據(jù)式(1)、(2)計算。

令(u1,u2,u3)為板任意一點處在x、y、z方向上的位移，根據(jù)經(jīng)典板理論位移場為

(3)

式中u(x,y)、v(x,y)、w(x,y)為板的中心層在x、y、z方向上的位移。

小應(yīng)變假設(shè)下板的經(jīng)典應(yīng)變—位移關(guān)系為

(4)

式中“,”表示對下標求導(dǎo)。

假設(shè)ε和q有如下的向量形式：

εT=(εxx,εyy,εzz,γxy,γxz,γyz)

(5)

qT=(u,x,u,y,v,x,v,y,w,xx,w,xy,w,yy)

(6)

則應(yīng)變ε的矩陣形式為

ε=ZHq

(7)

其中：

(8)

(9)

第k層的應(yīng)力σ(k)與應(yīng)變ε之間的本構(gòu)關(guān)系為

σ(k)=Q(k)ε

(10)

其中：

(11)

內(nèi)部虛功為

?AδqTHTDHqdxdy

(12)

外部虛功為

δPext=?AδqTpdxdy

(13)

式中p為作用于板上表面的外力。

運用虛功原理可得

?AδqT(HTDHq-p) dxdy=0

(14)

2 數(shù)值模擬

以功能梯度材料板為例，進行數(shù)值模擬，各種材料參數(shù)、載荷參數(shù)如下：

a=b=1 m;h=0.2 m;N=10；

Rc=0.1 m;Δx=0.05 m;k=10。

A1和ZrO2-1的彈性模量E1、E2和泊松比v1、v2如表1所示。

θeT={ui,x,ui,y,vi,x,vi,y,wi,x,wi,y,wi,xx,wi,xy,

wi,yy}e

(15)

代入(14)，可得單元上的離散矩陣為

δθeT?AGT(HTDHGθe-p) dxdy=0

(16)

合成得到整體剛度矩陣和載荷向量，便可以求得板的撓度。

邊界條件為簡支邊界：

v=w=w,y=0y=0,a

u=w=w,x=0x=0,a

2.1 結(jié)果驗證對比

為了驗證本文理論的正確性，在不同的體積分數(shù)θ下，采用有限元方法計算的結(jié)果和文獻[7]中Al和 ZrO2-1功能梯度板的結(jié)果一致，如表2所示。表明了基于有限元方法的模型和數(shù)值計算過程的正確性和有效性。

表2 在一致載荷下無量綱中心撓度的對比

2.2 載荷類型對彈性模量估計的影響

根據(jù)文獻[8]，彈性模量可以用式(17)表示:

(17)

圖4 體積指數(shù)、載荷類型對彈性模量估算的影響

固定體積分數(shù)指數(shù)為θ=0.5，圖5給出了厚長比對誤差的影響。彈性模量的估算誤差隨著板的厚長比提升而升高，因為經(jīng)典板理論適用于薄板，因此越厚的板，誤差也會越大，但載荷類型對誤差的影響更大。

圖5 厚長比、不同載荷對彈性模量估算的影響

表3給出了純鋁板基于不同載荷下彈性模量的估算的相對誤差，并與功能梯度材料的計算結(jié)果進行對比，結(jié)果表明材料類型對誤差的影響不大。

表3 不同載荷下純鋁與功能梯度材料的彈性模量相對誤差 %

3 結(jié)束語

本文通過建立數(shù)學模型以及有限元計算，對施加在板上表面的線載荷發(fā)生不同偏差時對彈性模量的計算進行理論誤差分析。數(shù)值結(jié)果表明，在材料相同的情況下，載荷類型對彈性模量的估算影響最大，尤其是梯形載荷和中心斜率為10的斜線載荷。同一載荷類型下，相對誤差隨著長厚比的增加而增加，材料對相對誤差的影響不大。本文的結(jié)果為彈性模量測量過程給予了有益的借鑒。