馬氏漏斗黏度計(jì)測定鉆井流體流變參數(shù)新方法的建立

李照川，鄭力會，吳通，黃維安

（1.中國石油大學(xué)（北京）石油工程學(xué)院，北京 102249；2.中國石油大學(xué)（華東）石油工程學(xué)院，山東青島 266580）

0 引言

漏斗黏度作為一個(gè)時(shí)間參數(shù)，它反映的是鉆井流體流動性，而非鉆井流體流變性；漏斗黏度是條件黏度的一種，需要結(jié)合鉆井流體密度等參數(shù)才能與動力黏度相比較[1-4]。因此，僅參考漏斗黏度無法滿足鉆井流體流變學(xué)的設(shè)計(jì)需求。表觀黏度、塑性黏度及動切力是鉆井流體重要的流變參數(shù)，是衡量鉆井流體性能的重要指標(biāo)，通過旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)測得。雖然旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)數(shù)據(jù)讀取精確，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜、攜帶不便且需要電源，限制其在現(xiàn)場中的應(yīng)用[5-7]。馬氏漏斗黏度計(jì)構(gòu)造簡單、操作方便、數(shù)據(jù)易讀，其能夠準(zhǔn)確、簡便地測得鉆井流體的流變參數(shù)，對保障鉆井安全施工、快速鉆進(jìn)具有重要意義。

Pitt 是馬氏漏斗黏度計(jì)流變學(xué)研究的先驅(qū)，借助Fortran 語言、Skelland 方程研究了冪律流體以層流形式通過馬氏漏斗時(shí)的流變特性，得到了表觀黏度與漏斗黏度、流體密度之間的數(shù)學(xué)模型，并通過室內(nèi)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證[8]。Pitt 的工作雖然存在不足之處，例如引用牛頓流體的剪切速率來計(jì)算冪律流體的表觀黏度，但為后續(xù)研究者指明了研究思路，即結(jié)合理論分析、實(shí)驗(yàn)測量與數(shù)值模擬來揭示馬氏漏斗內(nèi)鉆井流體流變性的變化情況，借助馬氏漏斗自身參數(shù)與鉆井流體已知參數(shù)建立與鉆井流體流變參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)。劉孝良從流體靜力學(xué)方程出發(fā)，研究了非恒定靜壓作用下冪律流體、塑性流體垂直下落的流動規(guī)律，得到了表觀黏度與流體自由下落時(shí)間、摩阻消耗時(shí)間、管嘴處流速之間的數(shù)學(xué)模型；該模型較Pitt 模型適用范圍更廣，但其準(zhǔn)確度不高且需要借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行迭代處理，這限制其在現(xiàn)場的應(yīng)用[9-10]。針對馬氏漏斗黏度計(jì)是否可作為流變儀來使用，Roussel 與Le Roy 進(jìn)行了系統(tǒng)研究[11-12]。首先，他們指出馬氏漏斗黏度計(jì)在應(yīng)用上存在兩處弊端，一是如果待測流體黏度過小則漏斗黏度與表觀黏度之間不呈現(xiàn)相關(guān)性，二是如果流體具有較大的動切力則可能不發(fā)生流動；其次，通過Buckingham–Reiner 方程，得到了賓漢流體漏斗黏度與塑性黏度、動切力、液面高度之間的數(shù)學(xué)模型，但該模型計(jì)算過程繁瑣，不適用于現(xiàn)場；最后，針對馬氏漏斗單點(diǎn)測試的局限性，提出可配合不同直徑的導(dǎo)流管來完成多點(diǎn)測試。Nguyen 對赫巴流體流經(jīng)馬氏漏斗黏度計(jì)進(jìn)行了研究，首先借助流體靜力學(xué)分析了赫巴流體在導(dǎo)流管出口處的流動特性，然后針對出口處Poiseuille 流無法求解的問題，使用Fluent 6.1 軟件進(jìn)行了流體動力學(xué)數(shù)值模擬，進(jìn)而得到了漏斗黏度與赫巴流體流變參數(shù)之間的數(shù)學(xué)模型，后續(xù)Sadrizadeh 的研究工作與之類似[13-14]；經(jīng)驗(yàn)證Nguyen 模型的計(jì)算誤差小于15%，但是需要滿足的計(jì)算條件苛刻，不適用于現(xiàn)場。Balhoff和Guria 研究了應(yīng)用馬氏漏斗黏度計(jì)來測定鉆井流體的流變參數(shù)，一方面通過流出體積與出口流速推算了壁面剪切應(yīng)力與壁面剪切速率，進(jìn)而得到了漏斗黏度與表觀黏度、塑性黏度之間的數(shù)學(xué)模型，另一方面通過鉆井流體在漏斗中的滯留液面高度推算了動切力[2-3]。該研究對使用馬氏漏斗黏度計(jì)來測定鉆井流體流變參數(shù)進(jìn)行了深層次探討，較之前僅參考漏斗黏度而言考慮了流出體積、出口流速以及滯留液面高度與鉆井流體流變參數(shù)之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，Sedaghat 引入Bernouli 方程進(jìn)一步優(yōu)化了壁面剪切速率與壁面剪切應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型，提高了計(jì)算準(zhǔn)確度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，馬氏漏斗黏度計(jì)的測定值與旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測算值相比誤差小于15%，但計(jì)算過程繁瑣[4]。盡管學(xué)者們針對使用馬氏漏斗黏度計(jì)來測定鉆井流體的流變參數(shù)進(jìn)行過很多研究，但所提出的數(shù)學(xué)模型均無法滿足現(xiàn)場需要。一方面雖然某些數(shù)學(xué)模型計(jì)算過程簡單，但是準(zhǔn)確度低，另一方面計(jì)算準(zhǔn)確度高的數(shù)學(xué)模型，求解過程繁瑣。為滿足施工現(xiàn)場鉆井流體流變學(xué)的設(shè)計(jì)需求，筆者分析了鉆井流體流經(jīng)馬氏漏斗時(shí)的受力情況，研究了導(dǎo)流管出口處壁面剪切應(yīng)力與壁面剪切速率之間的相互關(guān)系，針對表觀黏度、塑性黏度以及動切力提出了準(zhǔn)確、簡便的數(shù)學(xué)模型，建立了使用馬氏漏斗黏度計(jì)測定鉆井流體流變參數(shù)的新方法。

1 數(shù)學(xué)模型建立

圖1 為標(biāo)準(zhǔn)馬氏漏斗的結(jié)構(gòu)示意圖[15]。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)馬氏漏斗的結(jié)構(gòu)示意圖

圖1 中濾網(wǎng)半徑尺寸RC為6.985 cm，濾網(wǎng)至導(dǎo)流管高度HC為27.94 cm，導(dǎo)流管半徑RT為0.238 cm，導(dǎo)流管高度HT為5.08 cm；某一時(shí)刻，馬氏漏斗內(nèi)鉆井流體的液面高度為h，液面半徑為r。

1.1 馬氏漏斗流速系數(shù)

鉆井流體流經(jīng)馬氏漏斗時(shí)屬于黏性流動，出口流速的數(shù)學(xué)關(guān)系見式（1）[4]。

式中，v為出口流速，m/s；g 為重力加速度，m/s2；f為流速系數(shù)，是一個(gè)無因次量，該值與鉆井流體性質(zhì)以及漏斗尺寸有關(guān)。

在dt流動時(shí)間內(nèi)，從馬氏漏斗中流出dQ體積鉆井流體，鉆井流體液面下降dh，根據(jù)守恒定律得到關(guān)系見式（2）[16]。分離變量、化簡方程后可以得到式（3）。

由馬氏漏斗的幾何關(guān)系可以得到液面半徑r與液面高度h的關(guān)系見式（4）。

為方便書寫，用a1和a2分別代替0.2422 和0.00 992 632。在此重點(diǎn)研究面高度在導(dǎo)流管之上（HT+HC≥h≥HT）的情況。將式（4）代入式（3）得到式（5）。

根據(jù)邊界條件，方程兩邊分別進(jìn)行定積分求解：

從式（7）可知，只要測得馬氏漏斗中全部鉆井流體流出的總時(shí)間TF，便可直接求得流速系數(shù)f。

1.2 壁面剪切速率與壁面剪切應(yīng)力

剪切速率與剪切應(yīng)力是鉆井流體流變學(xué)研究的重要內(nèi)容，本節(jié)推導(dǎo)了牛頓型鉆井流體、非牛頓型未加重鉆井流體以及非牛頓型加重鉆井流體的壁面剪切速率與壁面剪切應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型，該內(nèi)容是下一節(jié)表觀黏度、塑性黏度與動切力所對應(yīng)數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)的基礎(chǔ)。針對出口處的壁面剪切應(yīng)力，Sedaghat 推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型為式（8）[4]：

式中：τw為壁面剪切應(yīng)力，Pa。

Treloar 根據(jù)圓管內(nèi)充分發(fā)展的穩(wěn)定流推得壁面剪切速率的數(shù)學(xué)模型見式（9）[17]：

針對牛頓型鉆井流體，Sedaghat 根據(jù)馬氏漏斗尺寸關(guān)系提出了幾何修正因子，優(yōu)化后壁面剪切速率與流量的數(shù)學(xué)模型見公式（10）[4]。

式中，AT為導(dǎo)流管橫截面積，m2。將式（8）、（11）帶入式（10）可得牛頓型鉆井流體壁面剪切速率的數(shù)學(xué)模型見式（12）。

由式（8）、（12）可得牛頓型鉆井流體的流變曲線見式（13）。

從式（13）可知，牛頓型鉆井流體流變曲線的斜率即牛頓流體黏度是一個(gè)定值，僅與鉆井流體密度、流速系數(shù)有關(guān)。

針對非牛頓型未加重鉆井流體，根據(jù)Sedaghat推薦的幾何修正因子，優(yōu)化后壁面剪切速率的數(shù)學(xué)模型見式（14）[4]：

將式（8）、（11）代入式（14）可得式（15）。

由式（8）、（15）可得非牛頓型未加重鉆井流體的流變曲線見式（16）。

非牛頓型加重鉆井流體，筆者推薦的幾何修正因子，優(yōu)化后的壁面剪切速率數(shù)學(xué)模型見式（17）[18]。

將式（8）、（11）代入式（17）可得。

由式（8）、（18）可得非牛頓型加重鉆井流體的流變曲線見式（19）。

從式（16）、（19）可知，非牛頓型鉆井流體流變曲線的斜率不僅與鉆井流體密度、流速系數(shù)有關(guān)，還與液面高度息息相關(guān)。

1.3 鉆井流體流變參數(shù)

在評價(jià)鉆井流體的性能時(shí)，采用旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)600 r/min 下剪切應(yīng)力與剪切速率的比值作為表觀黏度（μa）[19]：

當(dāng)出口處非牛頓型未加重鉆井流體的剪切速率為1020 s-1時(shí)，由式（15）推導(dǎo)可得式（21）。

將式（22）代入式（8）得式（23）。

將式（23）代入式（20）可得非牛頓型未加重鉆井流體表觀黏度的數(shù)學(xué)模型見式（24）。

塑性黏度（μp）是塑性流體流變曲線中直線段的斜率，約定旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)600 r/min 和300 r/min 所對應(yīng)的剪切應(yīng)力在直線段上，因此得式（25）。

當(dāng)非牛頓型未加重鉆井流體的壁面剪切速率為510 s-1時(shí)壁面剪切應(yīng)力見式（26）：

將式（23）、（27）代入式（25）可得非牛頓型未加重鉆井流體的塑性黏度數(shù)學(xué)模型。

根據(jù)賓漢模式，動切力的表達(dá)式為式（29）。

將式（24）、（28）代入式（29）可得非牛頓型未加重鉆井流體的動切力數(shù)學(xué)模型為：

同理，可得非牛頓型加重鉆井流體的表觀黏度、塑性黏度以及動切力的數(shù)學(xué)模型如下。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.1 牛頓型鉆井流體分析

選擇礦物油、合成油及燃料油進(jìn)行研究。由上節(jié)內(nèi)容可知，借助馬氏漏斗黏度計(jì)并結(jié)合本文模型式（13）可求得牛頓型鉆井流體的流變曲線，在此與HAAKE MARS Ⅲ流變儀測得的流變曲線進(jìn)行對比分析（見圖2）?？芍?，模型下礦物油的表達(dá)式為y=0.2004x，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下礦物油測量數(shù)據(jù)的擬合方程為y=0.2027x，兩條曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)（PCO）為1，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高，且均屬于牛頓型流體；模型下合成油的表達(dá)式為y=0.6003x，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下礦物油測量數(shù)據(jù)的擬合方程為y=0.6120x，兩條曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為1，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高，且均屬于牛頓型流體；本文模型下燃料油的表達(dá)式為y=0.0495x，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下礦物油測量數(shù)據(jù)的擬合方程為y=0.0482x，兩條曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為1，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高，且均屬于牛頓型流體。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用馬氏漏斗黏度計(jì)可以準(zhǔn)確表征牛頓型鉆井流體的流變曲線。

圖2 牛頓型鉆井流體在本文模型與HAAKE MARS Ⅲ流變儀下的流變曲線

借助馬氏漏斗黏度計(jì)并結(jié)合本文模型式（13）可求得牛頓型鉆井流體的黏度（牛頓黏度），在此比較本文模型、Guria 模型和Sedaghat 模型以及ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下的礦物油、合成油以及燃料油的測量黏度（見圖3），并對不同模型之間的誤差進(jìn)行分析（見表1）。

圖3 不同模型下牛頓流體的黏度測量值

表1 牛頓流體黏度測量值的誤差分析

本文模型下礦物油、合成油與燃料油的黏度值分別為200.4、60.0 與48.0 mPa·s，ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值分別為203.5、61.0 與48.5 mPa·s，以ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的黏度測量值為基準(zhǔn)，3 種流體在本文模型與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下的測量誤差分別為1.52%、1.64%與1.03%，平均值為1.40%。因此，本文模型的測量準(zhǔn)確度與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)相符。同樣結(jié)果，Sedaghat 模型的測量準(zhǔn)確度也與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)相符。與之相反的是，礦物油、合成油與燃料油在Guria 模型下的測量值與ZNN-6旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值之間的誤差較大，3 種流體的測量誤差分別為23.69%、29.18%與34.64%，平均值為29.17%，因此Guria 模型對牛頓流體黏度的測量準(zhǔn)確度較低。

2.2 非牛頓型鉆井流體分析

多數(shù)鉆井液、水泥漿、前置液等鉆井流體屬于非牛頓型，本文擇選絨囊沖洗液及其加重體系、甲酸鹽鉆井液及其加重體系進(jìn)行研究。由上節(jié)內(nèi)容可知，借助馬氏漏斗黏度計(jì)并配合式（8）、（15）可求得非牛頓型未加重鉆井流體的流變曲線、配合式（8）、（18）可求得非牛頓型加重鉆井流體的流變曲線，同樣與HAAKE MARS Ⅲ流變儀測得的流變曲線進(jìn)行對比分析（見圖4）。

圖4 非牛頓型鉆井流體在本文模型與HAAKE MARS Ⅲ流變儀下的流變曲線

可知，本文模型下未加重絨囊沖洗液流變曲線的擬合方程為y=0.3762x0.7283，HAAKE MARSⅢ流變儀下流變曲線的擬合方程為y=8.0172+0.3623x0.7154，擬合曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.99，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高；本文模型下已加重絨囊沖洗液流變曲線的擬合方程為y=1.6672x0.5964，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下流變曲線的擬合方程為y=11.8852+1.5625x0.5861，擬合曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.98，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高；本文模型下未加重甲酸鹽鉆井液流變曲線的擬合方程為y=1.4118x0.6012，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下流變曲線的擬合方程為y=9.2736+1.3419x0.5617，擬合曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.97，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高；本文模型下已加重甲酸鹽鉆井液流變曲線的擬合方程為y=1.7062x0.6065，HAAKE MARS Ⅲ流變儀下流變曲線的擬合方程為y=11.8527+1.6891x0.5883，擬合曲線之間的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.96，這說明兩曲線之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)性，曲線間相似度很高。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，使用馬氏漏斗黏度計(jì)可以表征非牛頓型鉆井流體的流變曲線，但是單憑該流變曲線無法求得非牛頓型鉆井流體的動切力。

從上節(jié)內(nèi)容可知，非牛頓型未加重鉆井流體的表觀黏度、塑性黏度以及動切力可由式（24）、式（25）和式（29）求得，非牛頓型加重鉆井流體的表觀黏度、塑性黏度以及動切力可由式（31）、式（32）和式（33）求得。在此比較絨囊沖洗液及其加重體系、甲酸鹽鉆井液及其加重體系在本文模型、Guria 模型、Sedaghat 模型以及ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下流變參數(shù)的測量值（見圖5），并對不同模型之間的誤差進(jìn)行分析（見表2）。

圖5 不同模型下非牛頓型鉆井流體的流變參數(shù)測量值

表2 非牛頓型鉆井流體流變參數(shù)的誤差分析

本文模型下未加重絨囊沖洗液、已加重絨囊沖洗液、未加重甲酸鹽鉆井液以及已加重甲酸鹽鉆井液的表觀黏度分別為38.48、74.49、47.34 與84.42 mPa·s，ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值分別為40.00、78.00、50.00 與87.50 mPa·s，以ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的黏度測量值為基準(zhǔn)，4 種鉆井流體在本文模型與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下的測量值誤差分別為3.80%、4.50%、5.32%與3.52%，平均值為4.29%；本文模型下4 種鉆井流體的塑性黏度分別為31.57、55.13、39.16 與65.48 mPa·s，ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值分別為32.00、58.00、40.50 與66.50 mPa·s，4 種鉆井流體在本文模型與ZNN-6旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下的測量值誤差分別為1.34%、4.95%、3.31%與1.53%，平均值為2.78%；本文模型下4 種鉆井流體的動切力分別為6.91、19.36、8.18與18.94 Pa，ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值分別為8.00、20.00、9.50 與21.00 Pa，4 種鉆井流體在本文模型與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下的測量值誤差分別為13.62%、3.20%、13.89%與9.81%。由此可知，本文模型下非牛頓型鉆井流體流變參數(shù)的測量值與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)的測量值很接近，其中表觀黏度黏度、塑性黏度的誤差平均值小于5.00%，動切力的誤差平均值在10.00%左右，這說明本文建立的數(shù)學(xué)模型可以準(zhǔn)確測定非牛頓型鉆井流體的流變參數(shù)。

Sedaghat 模型對非牛頓型未加重鉆井流體流變參數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確度較高，這與本文模型相類似，但對非牛頓型加重鉆井流體流變參數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確度較低，其中已加重絨囊沖洗液的表觀黏度、塑性黏度及動切力的誤差分別為52.24%、49.26%與60.90%，已加重甲酸鹽鉆井液的表觀黏度、塑性黏度及動切力的誤差分別為51.76%、53.20%與47.19%，誤差均在50%左右。Guria 模型對非牛頓型鉆井流體流變參數(shù)的計(jì)算準(zhǔn)確度非常差，常常無法求得動切力。

3 結(jié)論

筆者對使用馬氏漏斗黏度計(jì)來測定鉆井流體的流變參數(shù)進(jìn)行了深入研究，通過理論分析與實(shí)驗(yàn)測量筆者論證了馬氏漏斗黏度計(jì)可以作為流變儀來使用，建立了測定鉆井流體流變參數(shù)的新方法。

1.針對牛頓型鉆井流體與非牛頓型鉆井流體，筆者提出了優(yōu)化了流速系數(shù)、壁面剪切速率、壁面剪切應(yīng)力及其流變關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，得到了測定牛頓黏度、表觀黏度、塑性黏度以及動切力的新數(shù)學(xué)模型。

2.本文模型下礦物油、合成油、燃料油、絨囊沖洗液以及甲酸鹽鉆井液的流變曲線與HAAKE MARS Ⅲ流變儀所測得的流變曲線之間存在很強(qiáng)的正相關(guān)性、相似度很高，這表明使用馬氏漏斗黏度計(jì)可以準(zhǔn)確表征鉆井流體的流變曲線；本文模型下礦物油、合成油、燃料油、絨囊沖洗液以及甲酸鹽鉆井液的牛頓黏度、表觀黏度以及塑性黏度的測量值與ZNN-6 旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)下測量值之間的誤差分別為1.40%、4.29%與2.78%，動切力的誤差為10.13%，這表明本文模型的計(jì)算準(zhǔn)確度與ZNN-6旋轉(zhuǎn)黏度計(jì)相符。

3.在鉆井作業(yè)現(xiàn)場，只需要測得鉆井流體的密度以及流速系數(shù)，便可準(zhǔn)確、簡便地求得牛頓黏度、表觀黏度、塑性黏度以及動切力等重要流變參數(shù)，這對保障安全、快速鉆進(jìn)具有重要意義。