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    多元表征 整體建構(gòu)

    2021-07-16 04:16李國良
    關(guān)鍵詞:減法表征

    李國良

    【摘? ?要】事物往往處在復(fù)雜的統(tǒng)一整體里,在整體的關(guān)系網(wǎng)絡(luò)中理解才會更加清晰透徹。通過對一年級學(xué)生減法意義的概念理解情況進行調(diào)查,根據(jù)學(xué)生對減法意義的建構(gòu)、對減法模型的理解程度等,提出在減法意義的教學(xué)中,要整體構(gòu)建減法的三種模型,通過多元表征促進學(xué)生對減法意義的理解。

    【關(guān)鍵詞】減法;表征;整體構(gòu)建

    在“減法的認識”教學(xué)過程中,教師一般把重點放在計算或解決具體問題上,較少關(guān)注學(xué)生對減法意義的理解和減法模型的建構(gòu)水平。為了解這兩方面的真實情況,筆者通過分析教材、前測等方式對學(xué)生進行了調(diào)查研究。

    一、調(diào)查前的思考

    (一)“減法模型”有哪些類型

    依據(jù)問題中的關(guān)系可以把減法模型分成三類,分別是“部分—部分—全體”型問題、“改變型”問題、“比較型”問題(如圖1)。

    1.“部分—部分—全體型”問題

    這類問題指的是將一個整體分為若干個部分,已知全體和其中的某部分,求其他部分的問題。如:數(shù)學(xué)興趣小組有5名學(xué)生,其中有3名男生,有幾名女生?

    2.“改變型”問題

    這類問題指的是起始數(shù)量(起始量)增加或減少了一部分(改變量),得到了一個結(jié)果(結(jié)果量)的問題。在減法中,根據(jù)未知量的不同可以分為三種形式——求減少后的量、求增加前的量以及求改變量。如,求減少后的量:小紅有5只蘋果,吃了3只,還剩幾只?求增加前的量:小紅有一些錢,媽媽給她3元后,小紅有5元了,小紅原來有幾元錢?求改變量:小紅有3元,媽媽給她一些錢后,小紅有5元了,媽媽給她多少元?

    3.“比較型”問題

    這類問題指的是對兩個量進行比較產(chǎn)生的問題。比較時會有較小、較大和差異三個不同量,在這三個量的關(guān)系中,有兩種類型的問題要用減法解決:一種是求相差量,另一種是求較小量。如,求相差量:小明有5元錢,小紅有3元錢,小明比小紅多幾元?求較小量:小明有5元,小紅比小明少3元,小紅有幾元?或小明有5元,比小紅多3元,小紅有幾元?這兩種求較小量的問題,對學(xué)生來說,體現(xiàn)出的思維層次不同,前一種題目,學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和題目呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)一致,可稱作“求較小量的順向問題”;而后一種題目,學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)和題目呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)不一致,可稱作“求較小量的逆向問題”。逆向問題對學(xué)生的思維水平要求更高。

    (二)教材中如何呈現(xiàn)

    根據(jù)減法意義的三種模型,對現(xiàn)行人教版教材一至六年級中有關(guān)減法的例題進行了梳理與分類。

    1.減法意義以板塊式分布

    小學(xué)教材中與減法直接相關(guān)的知識點主要涉及整數(shù)減法、小數(shù)減法和分數(shù)減法。與減法意義相關(guān)的內(nèi)容集中安排在一、二年級的整數(shù)加減法中,也就是學(xué)生會在一、二年級初步理解減法的意義,而到四年級“四則運算”單元中才學(xué)習(xí)減法的概念。

    2.減法模型以穿插式構(gòu)建

    教材以穿插的方式呈現(xiàn)減法的三種類型。第一次出現(xiàn)減法是在一年級上冊“1~5的認識和加減法”中,情境是:4個氣球飛走1個,還剩幾個,即教材中關(guān)于減法意義的內(nèi)容是從“改變型”問題(拿走)開始呈現(xiàn)的;隨后在本單元練習(xí)中出現(xiàn)了借助于數(shù)數(shù)及一一對應(yīng)來學(xué)習(xí)的“比較型”問題,情境是:上面一排5只小雞,下面一排3只小蟲,問題是小雞比小蟲多___;第5單元開始出現(xiàn)“部分—部分—全體型”問題,情境是通過圖文呈現(xiàn),一共有6只企鵝,可以看到右邊有4只,左邊被東西遮擋住了,問左邊有幾只。綜上可見,一上年級已經(jīng)呈現(xiàn)了減法的三種模型。值得注意的是“比較型”問題在一年級中只呈現(xiàn)求相差數(shù)的問題,到了二上年級,在“100以內(nèi)加減法(二)”中出現(xiàn)了“比較型”問題中求較小量的順向問題,到五上年級“簡易方程”單元中才出現(xiàn)“比較型”問題中求較小量的逆向問題。

    另外,三種減法模型(除“比較型”問題中求較小量以外)都出現(xiàn)在“數(shù)的認識”知識點后,教材呈現(xiàn)時都借助了情境圖,以幫助學(xué)生更好地理解減法意義。因此,教學(xué)時要關(guān)注數(shù)數(shù)、數(shù)的組成等內(nèi)容,并借助這些內(nèi)容幫助學(xué)生理解每一種減法模型的意義。

    二、學(xué)情調(diào)查與分析

    選取同一區(qū)域內(nèi)134名學(xué)生,從兩個層面、四個維度對他們理解減法意義的情況進行調(diào)查。第一層面是考查學(xué)生用圖示或情境來表征減法意義的情況;第二層面是考查學(xué)生將圖例或文字描述抽象成算式的水平。

    (一)用圖示表征減法意義的水平分析

    測試中,要求學(xué)生用兩個不同的圖示表征“5-3”的意思,以考查學(xué)生用圖示表征減法意義的情況,統(tǒng)計結(jié)果如表1所示。

    從表1中可以發(fā)現(xiàn):能用兩種不同方法表征減法意義的學(xué)生只占學(xué)生總?cè)藬?shù)的29.9%,而40.3 %的學(xué)生畫了兩個圖示,但表征的內(nèi)容屬于同一類型,說明多數(shù)學(xué)生還沒有建立對減法的“類”的感知。同時,在226份表征圖中,有186份采用“改變型”問題的方式(用畫去、圈走等方法)來解釋減法的意義,僅有40份采用了“部分—部分—全體型”問題的方式來解釋5-3的意思,而沒有學(xué)生采用“比較型”問題的方式來解釋減法。這說明在用圖式表示減法意義的三種模型時,學(xué)生最熟悉的是“改變型”,而“比較型”和學(xué)生的心理距離最遠。同時,用“改變型”解釋減法意義的圖示,多數(shù)(178份)都是用圓圈等具體的圖形來表示數(shù),極少數(shù)(8份)采用小棒圖或計數(shù)器來表示(如圖2、圖3),或許在其中可以看到教學(xué)對這部分學(xué)生產(chǎn)生的影響。

    (二)用情境描述減法意義的水平分析

    測試內(nèi)容為:要求學(xué)生根據(jù)算式“5-3”編寫兩個不同的情境來闡述算式的意義。以考查學(xué)生用情境描述減法意義的情況,統(tǒng)計結(jié)果如表2所示。

    從表2的數(shù)據(jù)中可以看出,97%的學(xué)生都能用一種或兩種情境描述減法的意義。但與用圖式表征不同的是,用情境描述減法意義時,學(xué)生的表征類型集中在“改變型”問題和“比較型”問題上,卻沒有學(xué)生采用“部分—部分—全體型”。其中,編寫出的218道題目中,有101道是“……飛走了(吃掉了)……還剩幾個?”這種求還剩多少的類型,占總題數(shù)的46.3%,有95道是直接用文字表達“5比3多幾個?”或“3比5少幾個?”占總題數(shù)的43.6%。

    在上述兩個維度的書面調(diào)查后,教師有針對性地選取了每班5位(共20位)學(xué)生進行訪談。訪談的內(nèi)容為“你覺得什么是減法?”訪談中發(fā)現(xiàn),78%的學(xué)生能模糊地說出“從一堆東西里拿掉一部分”,也就是學(xué)生對減法意義的理解更多建立在“拿走、飛走、吃了”等生活中的動態(tài)思維中,這是減法產(chǎn)生的原基礎(chǔ)。

    (三)將圖例表征抽象成算式的水平分析

    為考查學(xué)生根據(jù)圖例,寫出相應(yīng)的減法算式的能力,對學(xué)生進行了“看圖寫算式并計算”的調(diào)查。調(diào)查試卷中共有10道題目,其中7道需要用減法解決。統(tǒng)計結(jié)果如表3所示。

    從表3中發(fā)現(xiàn):學(xué)生解決“部分—部分—全體型”問題(第3小題)與“改變型”問題(第1、2、4小題)時,正確率都比較高。尤其是第1小題,正確率為100%,這與前文中,請學(xué)生用圖式表征減法意義,學(xué)生更喜歡用畫去圓形的方法表征減法意義相一致。這幾道題目中,相對來講,求改變量的第4小題有9%的學(xué)生出現(xiàn)錯誤,錯誤率較高。仔細分析發(fā)現(xiàn),其中6.0%的學(xué)生把求結(jié)果量與求改變量相混淆,寫成了“10-4=6”,也就是說他們對起始量、改變量與結(jié)果量三者之間的關(guān)系是清晰的,只是表征關(guān)系的算式與“習(xí)慣”不符,只有3.0%的學(xué)生把算式寫成了“10+6=16”,這3%的學(xué)生才是對三種量之間的關(guān)系理解不到位。

    第5、6、7小題屬于“比較型”問題模型,分別是求差異量、求較小量的順向問題和求較小量的逆向問題。其中,第7小題是所有題目中錯誤率最高的題目,有70.1%的學(xué)生將算式列成“5+3=8”,訪談中發(fā)現(xiàn),題目中的“多”字對學(xué)生的影響很大,也就是說,這部分學(xué)生對誰與誰比、誰比誰少中,哪一個“誰”才是比較的標準還不夠清晰。

    (四)將文字描述抽象成算式的水平分析

    為考查學(xué)生將純文字表征的題目抽象成算式的能力,進一步了解學(xué)生對減法意義的理解,對學(xué)生進行了“先用圖式表示題目內(nèi)容,再列式計算”的測試,與“將圖例表征抽象成算式”的測試一樣,共測試10小題。統(tǒng)計結(jié)果如表4所示。

    測試結(jié)果同樣顯示學(xué)生解決“部分—部分—全體型”問題(第3小題)與“改變型”問題(第1、2、4小題)時,正確率較高,而解決“比較型”問題尤其是“求較小量的逆向問題”(第7小題)出錯的人數(shù)最多,正確率只有77.6%。同時發(fā)現(xiàn),學(xué)生用算式解答的正確率高于用圖式表征題目意思的正確率,尤其是第7小題,沒有學(xué)生能用圖式正確表征出題目的意思,這當(dāng)然可能與教材的安排有關(guān),但同時也說明比較型問題涉及兩個量之間的關(guān)系,一上年級學(xué)生要理解兩個量(兩個數(shù))之間存在的關(guān)系確實有困難。

    三、調(diào)查后的啟示

    (一)要整體構(gòu)建減法意義三種模型

    所謂整體思維,就是要把各個部分按照一定的秩序組織起來,以整體和全面的視角把握對象。本次調(diào)查與分析,雖然是根據(jù)減法意義的三種模型,從不同角度展開,但事實上,減法意義的分類與模型的建構(gòu),并不是讓減法意義的理解從類型的角度割裂開來,而更需要教師用整體的視角有深度地去把握,去架構(gòu)不同模型,使學(xué)生能從一種模型聯(lián)想到另一種模型,達到模型間的互相連通,真正把減法的意義理解透徹。

    教學(xué)時,可以從減法的生活原型(拿走的)入手,把“改變型”問題與“部分—部分—全體型”問題建立起一個整體框架(如圖4)。

    “改變型”問題中的起始量相當(dāng)于“部分—部分—全體型”問題中的總量,當(dāng)把拿走的部分看作是一種改變時,另一部分就是剩余量;如果把一部分看作是結(jié)果量,那么另一部分就是改變量。

    “比較型”問題的三種形式也可以與“部分—部分—全體型”問題構(gòu)建起一個框架(如圖5)。

    這樣學(xué)生會對減法有一個整體性的感知,對減法的認知過程會成為一個系統(tǒng)化的過程,能凸顯減法知識內(nèi)外縱橫的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián),突出減法認知過程和思維方式深入的融通,結(jié)構(gòu)化地理解減法意義。

    (二)要重視引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多元表征過程

    在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中,數(shù)學(xué)表征起到了極其重要的作用,數(shù)學(xué)表征能力發(fā)展在很大程度上影響著學(xué)生的認知水平。模型、文字、符號等是基本的表征形式,每一種表征都能用來表達任意一種運算的關(guān)系,幫助學(xué)生發(fā)展運算意識。如算式“5-3”,圖形表征方式可以是5個圖形整體圈去3個,實物表征可以是5個學(xué)具中拿去3個,當(dāng)然也可以用文字等形式來表征。學(xué)生能否用多種方式表征,與學(xué)生的理解程度存在正相關(guān)。在教學(xué)時,特別是在解決問題的過程中,運用不同的表征才能真正加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解,更好地提升數(shù)學(xué)思維能力。教師可以在教學(xué)中有意識地設(shè)計一些信息較多且相互之間關(guān)系較為復(fù)雜的問題,讓學(xué)生經(jīng)歷并體會到運用數(shù)學(xué)多元表征的豐富性和必要性,在這個過程中逐步梳理數(shù)學(xué)信息、對象之間的關(guān)系,促進學(xué)生對意義的內(nèi)化、理解。

    《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》指出:“教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ),面向全體學(xué)生,注重啟發(fā)式和因材施教?!睂σ荒昙墝W(xué)生進行減法概念理解的調(diào)查正是基于這樣的思考,讓學(xué)生在減法意義、模型建構(gòu)中借助豐富的現(xiàn)實情境,經(jīng)歷從具體情境到抽象算式的歸納過程,并能從算式中聯(lián)想到具體情境,深刻感知減法不同形式的表達;最后,讓學(xué)生通過語言表述、符號表征和算式表達等方式進行融會貫通,便于整體性、立體化理解減法的本質(zhì)意義。

    (浙江省杭州市蕭山區(qū)夾灶小學(xué)? ?311247)

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