非線性薛定諤方程的精確解析解

趙 歡

(南昌理工學(xué)院， 江西 南昌 330044)

自從理論上首次提出孤子并在實(shí)驗(yàn)中得到證明以來[1]，孤子的研究已成為一個(gè)有吸引力的研究領(lǐng)域。孤子作為一種超短脈沖的特殊形式，能夠保持其速度和形狀不變。 在長距離傳輸中，由于其在組速度色散(GVD)和非線性(例如自相位調(diào)制，SPM)效應(yīng)之間的平衡而引起的[2]。 實(shí)際上，已經(jīng)在一些領(lǐng)域研究了孤子，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)，理論物理學(xué)，玻色-愛因斯坦凝聚和非線性光學(xué)，以及由于其優(yōu)越的性能而在超快光學(xué)中的某些物理應(yīng)用[3]。

在本文中，我們將介紹一個(gè)描述具有非線性和分布色散的非均勻光纖中孤子傳輸?shù)膭?dòng)力學(xué)的廣義非線性薛定諤方程[4]

iut+id(t)u+b(t)uxx+l(t)u|u|2=0

(1)

其中u=u(x,t)。對(duì)于方程(1)，文獻(xiàn)[5]通過特殊函數(shù)的選擇研究了孤子的相互作用。文獻(xiàn)[6]通過Hirota方法獲得了單孤子和雙孤子解。文獻(xiàn)[7]構(gòu)造了圓柱非線性薛定諤方程并給出了四個(gè)特殊變換。文獻(xiàn)[8]通過Darboux變換和Lax對(duì)得到了孤子解。文獻(xiàn)[4]討論了方程(1)類Dromion孤子相互作用。在空間/實(shí)驗(yàn)室等離子體、流體力學(xué)和光纖中，方程(1)有很多重要的特例，比如圓柱和球面幾何修正的塵埃聲波包絡(luò)孤立波非線性薛定諤模型、變/分布系數(shù)廣義非線性薛定諤模型以及某些非均勻光纖非線性薛定諤模型等等[7]。

假設(shè)

u(x,t)=eiφ(x,t)Δ[ω(x,t)]

(2)

其中ω(x,t)=τ3(t)+xτ4(t)。此時(shí)，方程(1)變?yōu)?/p>

(3)

且

(4)

其中σ1和σ2是積分常數(shù)，τ1(t)和τ2(t)是積分函數(shù)。

1 亮暗孤子解

非線性薛定諤方程的亮孤子和暗孤子解是近年來研究的熱點(diǎn)[9]。亮孤子描述了在調(diào)制不穩(wěn)定性下，恒定振幅波產(chǎn)生的脈沖。暗孤子代表調(diào)制穩(wěn)定的恒幅波的脈沖。為了獲得這兩種解，我們有

Δ[ω(x,t)]=δ1Sech[ω(x,t)]+

δ2Tanh[ω(x,t)]

(5)

將 (5)代入(3)可得如下兩種解

(Ⅰ)、

(6)

其中σ3和σ4都是積分常數(shù)。此時(shí)可得方程(1)的亮孤子解

u(x,t)=

xτ4(t)]δ1

(7)

在方程(7)中令

σ1=σ2=σ3=σ4=1,δ1=2

亮孤子解(7)的物理結(jié)構(gòu)見圖1。

圖1 (a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

(Ⅱ)、

(8)

此時(shí)可得方程(1)的暗孤子解

(9)

在方程(9)中令

σ1=σ2=σ3=σ4=1,δ2=2

暗孤子解(9)的物理結(jié)構(gòu)見圖2。

圖2 (a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

2 雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解

為了獲得方程(1)的雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解[10-11]，我們假設(shè)

(5)

其中

G″[ω]=-JG′[ω]-KG[ω]

(6)

G′[ω]/G[ω]滿足：

(7)

(8)

(9)

其中?=J2-4K。將方程(5)-(9)代入(3)中可得方程(1)的雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解如下：

(Ⅰ)、

(10)

(11)

(12)

其中

(Ⅱ)、

(13)

(14)

(15)

其中

(Ⅲ)、

(16)

(17)

(18)

其中

8Kτ4(t)2]/[4τ4(t)2]

為了了解雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解的特點(diǎn)，我們選擇解(16)和(17)作為例子，假設(shè)

σ1=σ2=σ3=σ4=C1=1,C2=-2,η1(t)=2

此時(shí)他們的物理結(jié)構(gòu)被展示在圖3和圖4中。

圖3 K=-1,(a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

圖4 K=1,(a) b(t)=-1;(b) b(t)=-t;(c) b(t)=cost

3 結(jié)論

本文獲得了變系數(shù)非線性薛定諤方程大量的精確解，其中包含了亮孤子解、暗孤子解、雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解以及一部分有理函數(shù)解。這些解的物理結(jié)構(gòu)被展示在圖1～圖4。所有的解都通過Mathematica軟件驗(yàn)證是正確的。