一類帶奇異項(xiàng)的非局部問(wèn)題正解的唯一性

林榮瑞，佘連兵*，吳蓮發(fā)

(1.六盤(pán)水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，貴州 六盤(pán)水 553004；2.上饒師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 南昌 334001)

考慮如下帶非局部項(xiàng)的奇異橢圓問(wèn)題

其中Ω?N(N≥3)是一個(gè)有界開(kāi)區(qū)域且具有光滑邊界?Ω,a,b≥0且a+b>0,m>0，λ≥0,1

當(dāng)m=1時(shí)，文獻(xiàn)[1]率先研究了問(wèn)題(1):

利用變分方法和一些分析技巧，獲得了上述奇異非局部問(wèn)題正解的存在唯一性。文獻(xiàn)[2]研究如下非局部問(wèn)題,

在文獻(xiàn)[1]和[2]的啟發(fā)下，本文利用變分方法和臨界點(diǎn)理論，證得了問(wèn)題(1)正解的存在唯一性，推廣了文獻(xiàn)[1]和[2]中的結(jié)果。

(2)

記S為

(3)

最佳Sobolev常數(shù)。

證明首先，證明m*有定義。由H?lder不等式和(3)式，可得

(4)

(5)

從而，根據(jù)(4)式和(5)式，可得

(6)

令ωn=un-u*，只需證明當(dāng)n→∞時(shí)‖ωn‖→0。根據(jù)Vitali定理，可以斷言

(7)

根據(jù)(4)式，我們有

進(jìn)一步，由(6)式和Brezis-Lieb引理，可得

(8)

一方面，1

這就意味著I(u*)=m*。另一方面，p=2*時(shí)，依據(jù)(6)-(8)式以及范數(shù)的弱下半連續(xù)性，可得

這就得到I(u*)=m*。引理1證畢。

下面，給出本文的主要結(jié)果及證明。

(9)

根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，可得

(10)

對(duì)任意的x∈Ω,記

h′(t)=f(x)

這就意味著:h(t)對(duì)一切的t>0是非增的。進(jìn)一步，對(duì)任意的x∈Ω，有

其中當(dāng)u*(x)=0且φ(x)>0時(shí)，上式值可能是+∞。從而，根據(jù)單調(diào)收斂定理(Beppo-Levi定理)，可得

這里可能取到+∞。在(9)式中讓t→0+，由(10)式可得

(11)

這就意味著u*(x)>0在Ω中幾乎處處成立。

(12)

(u*+εφ)+=max{u*+εφ,0}

顯然，Ψ≥0。在(11)式中取φ=Ψ，記Ω1={x∈Ω:u*+εφ≤0}，結(jié)合(12)式，可得

當(dāng)ε→0+,有measΩ1→0,上式兩邊同時(shí)除以ε并令ε→0+,可得

因此，這個(gè)不等式對(duì)于-φ也成立。故,u*是問(wèn)題(1)的一個(gè)正解且I(u*)<0。

最后，問(wèn)題(1)解的唯一性。假設(shè)ν*為問(wèn)題(1)的另一個(gè)解。由(2)式，可得

(13)

(14)

根據(jù)(13)式和(14)式，可得

(15)

其中

由H?lder不等式，可得

由0<γ<1,p>1，易得到如下兩個(gè)不等式

(r-γ-s-γ)(r-s)≤0,(rp-1-sp-1)(r-s)≥0,?r、s>0

因此

一方面，若a>0，由(15)式，推得a‖u*-ν*‖2≤0。這就意味著:‖u*-ν*‖2=0,即u*=ν*。另一方面，若a=0，由(15)，推得‖u*‖=‖ν*‖且W(u*,ν*)=0。從而，有

即u*=ν*。因此u*是問(wèn)題(1)的唯一解。定理1證畢。