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    雙向糾纏提純協(xié)議及其應(yīng)用*

    2021-07-16 09:29:48劉欣瑞賈煒光
    關(guān)鍵詞:碼率誤碼率雙向

    劉 冰 劉欣瑞 賈煒光

    北京電子科技學(xué)院,北京市 100070

    前言

    保密通信的安全性是每一個(gè)國(guó)家、政府、部門及個(gè)人都高度重視的問(wèn)題。 經(jīng)典密碼體制的安全性在量子計(jì)算機(jī)和量子算法的提出之后面臨著巨大的挑戰(zhàn)。 量子密鑰分發(fā)(Quantum Key Distribution, QKD)是一種密鑰的安全傳輸方式,在密碼領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景。 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)潘建偉團(tuán)隊(duì)是中國(guó)首先開展衛(wèi)星量子通信實(shí)驗(yàn)研究的團(tuán)隊(duì),早在2016 年量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星“墨子號(hào)”的成功發(fā)射,就已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了制備-測(cè)量技術(shù)在衛(wèi)星密鑰分發(fā)上的應(yīng)用[1]。 在2020年,該團(tuán)隊(duì)又使用處于糾纏狀態(tài)的光子實(shí)現(xiàn)了密鑰生成[2]。 盡管量子密鑰分發(fā)可以實(shí)現(xiàn)經(jīng)典信息的無(wú)條件安全傳輸,但是安全成碼率和遠(yuǎn)距離傳輸成為制約其高速性能的瓶頸,擴(kuò)展通信距離和保持足夠的碼率是當(dāng)前亟待解決的問(wèn)題。 而后處理技術(shù)是量子密鑰分發(fā)中不可或缺的關(guān)鍵技術(shù),對(duì)量子密鑰分發(fā)的安全性和效率具有重要的影響。 其中具有雙向糾纏提純的后處理能夠進(jìn)一步提高量子密鑰分發(fā)的效率,所以更具有優(yōu)勢(shì)。

    本文第一部分簡(jiǎn)要介紹了糾纏提純協(xié)議及其相關(guān)概念,第二部分介紹了單向糾纏提純協(xié)議,第三部分介紹了雙向糾纏提純協(xié)議,第四部分介紹了代表QKD 協(xié)議,第五部分通過(guò)數(shù)值模擬展示了雙向糾纏提純協(xié)議對(duì)提高通信距離的作用,最后一部分總結(jié)包括了雙向糾纏提純的優(yōu)勢(shì)、缺點(diǎn)及展望。

    1 背景介紹

    1.1 量子糾纏

    量子糾纏理論涉及到定域性、實(shí)在性以及測(cè)量理論等量子力學(xué)中的基本問(wèn)題,并在量子通信和量子計(jì)算中起到極其重要的基礎(chǔ)性作用。 早在1935 年,Eintein、Podolsky 和Rosen 三人就共同提出一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)來(lái)質(zhì)疑量子力學(xué)的完備性,該實(shí)驗(yàn)被人們廣泛稱為“EPR 佯謬”[3]。 同年,Schrdinger 在其關(guān)于“貓態(tài)”的論文中第一次提出“糾纏態(tài)”的概念,并且推導(dǎo)出了跟人們?nèi)粘I罱?jīng)驗(yàn)相悖的量子疊加態(tài)。 1964 年,Bell 提出了著名的“Bell 不等式”[4],對(duì)量子系統(tǒng)的非定域性給出了嚴(yán)格的定量描述。 1982 年,法國(guó)學(xué)者Aspect 通過(guò)實(shí)驗(yàn)精確地觀察到Bell 不等式的違背,這使得量子糾纏的非局域性得到了實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證[5]。

    量子糾纏,又被翻譯為量子纏結(jié),是量子力學(xué)中的特有現(xiàn)象,是在系統(tǒng)內(nèi)部子系統(tǒng)之間的一種關(guān)聯(lián)屬性。 對(duì)一個(gè)子系統(tǒng)的測(cè)量結(jié)果會(huì)影響到另一個(gè)子系統(tǒng)的狀態(tài)。 舉例來(lái)說(shuō),如果有兩粒處于糾纏態(tài)的粒子,一粒放在地球,另一粒被送至月球,盡管地球和月球的距離很遙遠(yuǎn),但是兩個(gè)粒子之間保持有特殊的關(guān)聯(lián)性。 當(dāng)其中的一個(gè)粒子由于測(cè)量而發(fā)生狀態(tài)的改變時(shí),另一粒子的狀態(tài)也會(huì)隨之發(fā)生相應(yīng)的變化。

    這些非局域相關(guān)性只在整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)糾纏時(shí)出現(xiàn),系統(tǒng)不能表示為各部分狀態(tài)的張量積。 假設(shè)在方案中Alice 創(chuàng)建了N 對(duì)EPR 對(duì),將每個(gè)EPR 對(duì)中另一半傳遞給Bob,然后Alice 與Bob 在經(jīng)典通信上公布所測(cè)量的基。 如果在傳遞的過(guò)程中EPR 對(duì)始終保持“純凈”,則Alice與Bob 就可以生產(chǎn)一個(gè)共享的隨機(jī)密鑰。 但事實(shí)是,EPR 對(duì)在傳遞的過(guò)程中由于噪聲的影響,會(huì)變的不純凈,出現(xiàn)相位或比特錯(cuò)誤,需要糾纏提純技術(shù)來(lái)做進(jìn)一步操作。

    1.2 糾纏提純協(xié)議

    糾纏提純協(xié)議(Entanglement Purification Protocol,EPP)是一種可以提高量子態(tài)糾纏度的協(xié)議[6]。 它提供了一種在有噪聲的量子通道里模擬無(wú)噪聲通信的方法。 更具體的講,假設(shè)Alice 和Bob 是通過(guò)一個(gè)嘈雜的量子通道相連,Alice 創(chuàng)建了EPR 對(duì)并將每對(duì)中的一半發(fā)送給Bob,他們將共享到N 對(duì)不完善的EPR 對(duì)。Alice 與Bob 可以嘗試使用本地操作(包括準(zhǔn)備輔助量子位,本地酉變換和測(cè)量)和經(jīng)典通信(Local Operation and Classical Communication,LOCC),將不完善的EPR 對(duì)提純?yōu)閿?shù)量較少的高保真EPR 對(duì)。 此過(guò)程最早由Bennett,Divincenzo,Smolin 和Wooters(BDSW)研究。

    根據(jù)其所需的常規(guī)通信類型,可以將EPP分為兩類,一類是只能從Alice 到Bob 的單向經(jīng)典通信(1-EPP),另一類可以在Alice 和Bob 之間實(shí)現(xiàn)雙向經(jīng)典通信(2-EPP)。

    1.3 糾纏提純的應(yīng)用

    最先將糾纏提純思想應(yīng)用于QKD 協(xié)議安全性證明的是1996 年David 等人[7]。 由于制備測(cè)量協(xié)議與糾纏提純協(xié)議的安全性證明等價(jià),因此也可歸結(jié)到糾纏提純協(xié)議的安全性證明上[8]。

    如果只考慮二維的態(tài)空間,Alice 和Bob 所共享的量子態(tài)ρAB是純態(tài),Eve 擁有的量子態(tài)是ρE,那么Eve 是無(wú)法通過(guò)測(cè)量ρE來(lái)獲得有效的信息。 所以如果ρAB越接近最大糾纏態(tài),則系統(tǒng)所泄露的信息就越少,最終密鑰也就越安全。 但事實(shí)上,對(duì)于一個(gè)實(shí)際的QKD 系統(tǒng)來(lái)說(shuō),信道存在噪聲和損耗,ρAB經(jīng)過(guò)信道傳輸后相位和比特會(huì)發(fā)生變化,無(wú)法滿足最大糾纏態(tài),所以就需要糾纏提純協(xié)議提高其糾纏度,使ρAB重新達(dá)到最大糾纏態(tài)。 能夠提純的最大糾纏數(shù)量即對(duì)應(yīng)QKD 的安全成碼率。 這是糾纏提純協(xié)議在QKD安全證明中的作用[9]。

    2 單向糾纏提純協(xié)議

    單向糾纏提純協(xié)議(1-EPP)的流程是:Alice首先測(cè)量一系列的可交換算子(commuting operators),然后將測(cè)量結(jié)果發(fā)送給Bob。 Bob 用相同的運(yùn)算符測(cè)量該算子。 如果通道中沒(méi)有噪聲,則Bob 將獲得與Alice 相同的測(cè)量結(jié)果。 當(dāng)存在噪聲時(shí),某些測(cè)量結(jié)果跟Alice 相比會(huì)有所不同。 根據(jù)測(cè)量的運(yùn)算符列表規(guī)則,Bob 可以推斷出EPR 對(duì)錯(cuò)誤的位置并將其糾正。 不過(guò),測(cè)量的過(guò)程會(huì)消耗EPR 對(duì)中的一部分,因此最終保留的EPR 對(duì)少于Alice 發(fā)送的EPR 對(duì)。

    圖1 1-EPP 示意圖

    圖1 中,1-EPP 只有一個(gè)過(guò)程,經(jīng)過(guò)酉變換和測(cè)量后,Alice 將她的測(cè)量結(jié)果通過(guò)經(jīng)典信道發(fā)送給Bob,Bob 再結(jié)合自己的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行酉變換。

    如果Alice 和Bob 的系統(tǒng)共享幾乎完美的EPR 對(duì),則竊聽者無(wú)法獲得該系統(tǒng)的任何信息,Alice 和Bob 可以在相同的基上測(cè)量EPR 對(duì)以獲取密鑰。 在漸近極限下1-EPP 的EPR 對(duì)的提純碼率為

    其中Qz為響應(yīng)率,Ez為比特誤碼率,Ex為相位誤碼率,f為誤碼糾正率,h是香農(nóng)熵[10]。

    3 雙向糾纏提純協(xié)議

    與1-EPP 相比,Gottesman 和Lo 提出的雙向糾纏提純協(xié)議(2-EPP)在容忍噪聲方面顯示出優(yōu)勢(shì)[11]。

    圖2 中,與1-EPP 相比,2-EPP 經(jīng)過(guò)多輪過(guò)程,在Bob 結(jié)合自己的測(cè)量結(jié)果進(jìn)行酉變換后,再將測(cè)量結(jié)果傳遞給Alice。 經(jīng)過(guò)若干輪過(guò)程,就可以產(chǎn)生較純凈的接近最大糾纏態(tài)的EPR 對(duì)。

    在Gottesman-Lo 安全證明中舉了兩種2-EPP 的例子,即B 步驟和P 步驟,分別用于降低比特和相位誤碼率。 這就是Gottesman-Lo 的2-EPP 能夠承受更多噪聲的原因。

    P 步驟的過(guò)程:Alice 和Bob 隨機(jī)排列所有EPR 對(duì),并將它們分為三組,一個(gè)目標(biāo)EPR 對(duì)和兩個(gè)控制EPR 對(duì)。 然后對(duì)三個(gè)EPR 對(duì)分別執(zhí)行兩個(gè)雙邊XOR 運(yùn)算。 通過(guò)在X 基中測(cè)量?jī)蓚€(gè)控制對(duì)并比較測(cè)量結(jié)果,可以找到誤差。 但是相位誤差在準(zhǔn)備測(cè)量協(xié)議中無(wú)法檢測(cè)和校正。如果首先進(jìn)行Z 基測(cè)量再執(zhí)行P 步驟,則可以在三個(gè)量子位之間進(jìn)行經(jīng)典的XOR 操作,最終在準(zhǔn)備測(cè)量協(xié)議中生成一位量子位。

    圖2 2-EPP 示意圖

    4 代表QKD 協(xié)議

    4.1 BB84 協(xié)議

    第一個(gè)QKD 協(xié)議是美國(guó)IBM 公司的研究員Charles 和加拿大蒙特利爾大學(xué)的教授Gilles共同提出來(lái)的,正式發(fā)表于1984 年的一個(gè)會(huì)議上,故簡(jiǎn)稱為BB84 協(xié)議[12]。

    BB84 協(xié)議是在經(jīng)典信道和量子信道兩個(gè)信道來(lái)實(shí)現(xiàn)信息的傳輸,而信息的載體可以用光子的四個(gè)偏振態(tài)來(lái)表示,分別為光子的水平偏振態(tài)|H〉 (記作→),垂直偏振態(tài)| V〉 (記作↑),π/4 偏振方向的偏振態(tài)|P〉 (記作↗),3π/4 偏振方向的偏振態(tài)|N〉 (記作↘)。 ↑、→、↗、↘這四個(gè)偏振態(tài)可以分為互相非正交的兩組,每組中的兩個(gè)狀態(tài)是正交的,同時(shí)這兩組又互相共軛。 其中前兩個(gè)態(tài)為一組測(cè)量基,后兩個(gè)態(tài)為一組測(cè)量基。

    在量子信道中,Alice 從四個(gè)態(tài)中隨機(jī)選擇發(fā)送給Bob。 Bob 接收到消息后,從兩組測(cè)量基中隨機(jī)選擇一個(gè)對(duì)消息進(jìn)行測(cè)量。 隨后在經(jīng)典信道中,Bob 給Alice 發(fā)送消息告知自己在哪些比特位上用了哪些測(cè)量基,Alice 接收到Bob 發(fā)送的信息后與自己選擇的測(cè)量基進(jìn)行比對(duì)并通知Bob 哪些位置上選擇的測(cè)量基是正確的。 雙方丟棄測(cè)量基不一致的量子位。 之后,Alice 和Bob 從保留的比特中選取相同的部分在信道中傳輸。 如果沒(méi)有竊聽,則Alice 和Bob 的數(shù)據(jù)一致,這時(shí)雙方將保留剩余的量子位為最終密鑰。

    4.2 TF-QKD 協(xié)議

    雙場(chǎng)量子密鑰分發(fā)(Twin-Field QKD,TFQKD)[13]是一種新的相位編碼QKD 協(xié)議,它展現(xiàn)了克服密鑰碼率限制并對(duì)相位編碼MDIQKD 進(jìn)行二次改進(jìn)的可能性。 該協(xié)議在保證密鑰安全的條件下突破了以前QKD 協(xié)議的碼率-距離極限。 TF-QKD 先在兩個(gè)遙遠(yuǎn)的位置產(chǎn)生成對(duì)的相位隨機(jī)光場(chǎng),然后在中心站進(jìn)行測(cè)量。具有相同隨機(jī)相位的場(chǎng)稱為“雙場(chǎng)”,可以用來(lái)提取密鑰。 TF-QKD 的密鑰碼率跟其他協(xié)議與信道透射率成比例不同,而是與信道透射率的平方根成比例,打破了傳統(tǒng)的PLOB 線性傳輸界限。 并且與涉及量子中繼器的方案相比,TFQKD 在技術(shù)上更為可行,可以在550 公里的標(biāo)準(zhǔn)光纖和可控的噪聲水平上完成信息的傳輸。

    5 雙向糾纏提純?cè)赒KD 中的應(yīng)用

    5.1 公式介紹

    BB84 協(xié)議的密鑰率由Gottesman,Lo,Lutkenhaus 和Preskill(GLLP)證明結(jié)合誘騙態(tài)方法給出[14]。 由于在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中沒(méi)有理想的單光子源存在,都是含有多光子的激光光源,于是竊聽者可以用光子數(shù)分離攻擊威脅密碼的安全性。 由此Hwang 等人提出了用誘騙態(tài)的方法進(jìn)行量子密鑰分發(fā),只要能夠知道單光子占總數(shù)的比例,就可以提煉出絕對(duì)安全的密鑰。

    BB84 密鑰安全成碼率公式為

    TF-QKD 密鑰率公式在[13]里面給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程。 與BB84 協(xié)議相比,TF-QKD 發(fā)送兩個(gè)光場(chǎng),利用兩路信道光子的有無(wú)糾纏來(lái)實(shí)現(xiàn),所以可以成倍的擴(kuò)展通信距離。

    TF-QKD 密鑰安全成碼率公式為

    大多數(shù)成功的國(guó)際工程承包商的實(shí)踐表明,其核心競(jìng)爭(zhēng)力往往并非來(lái)自某個(gè)領(lǐng)域相對(duì)壟斷的核心技術(shù),而是源于多年的國(guó)際工程承包經(jīng)驗(yàn)形成的在業(yè)務(wù)整合、兼并擴(kuò)張和跨國(guó)經(jīng)營(yíng)方面的能力。目前施工企業(yè)傳統(tǒng)的“傳幫帶”的人才培養(yǎng)模式效率較低、不能適應(yīng)公司業(yè)務(wù)發(fā)展和人才成長(zhǎng)的需要。

    其中d 為占空比,M 為相位切片數(shù),Q1為單光子增益,ˉe1為單光子相位誤碼率的下界,Qu為整體增益,Eu為比特誤碼率。

    定義~ep為經(jīng)過(guò)了一輪2-EPP 變化后的相位誤碼率,ep為原始的相位誤碼率,eb,~eb則為相應(yīng)比特誤碼率。 經(jīng)過(guò)了一輪B 步驟后,原始的相位誤碼與現(xiàn)在的關(guān)系對(duì)應(yīng)為

    比特誤碼對(duì)應(yīng)為

    類似B 步驟,經(jīng)過(guò)一輪P 步驟后的表達(dá)式為

    多輪B 步驟、P 步驟則可以類推。

    表1 數(shù)值模擬參數(shù)

    表1 是在接下來(lái)進(jìn)行模擬過(guò)程中一些參數(shù)及對(duì)應(yīng)的數(shù)值。 其參數(shù)數(shù)值是當(dāng)前實(shí)驗(yàn)中有代表性的取值[15]。

    5.2 應(yīng)用1 輪步驟

    5.2.1 應(yīng)用在BB84 協(xié)議中

    BB84 協(xié)議是最經(jīng)典的QKD 協(xié)議,把2-EPP應(yīng)用到BB84 協(xié)議中,由圖可以看出,其通信距離擴(kuò)展了40 公里。

    圖3 中實(shí)線是原始的BB84 密鑰碼率圖,虛線是將1 輪B 步驟應(yīng)用到BB84 公式后的碼率圖。 從圖中可以看出,應(yīng)用1 輪B 步驟后,碼率有所下降,但因?yàn)锽 步驟降低了比特誤碼率,所以在應(yīng)用完B 步驟后距離很明顯有被拓展。 也可嘗試在短距離時(shí)不采用2-EPP,當(dāng)在碼率急劇下降處,例如圖3 中的250 公里處時(shí)開始應(yīng)用2-EPP,這樣既可以拓展通信距離又能保證較高的碼率。

    圖3 應(yīng)用1 輪B 步驟時(shí)BB84 碼率圖

    5.2.2 應(yīng)用在TF-QKD 協(xié)議中

    將2-EPP 應(yīng)用于TF-QKD 協(xié)議中,效果如下圖。

    圖4 應(yīng)用1 輪B 步驟時(shí)TF-QKD 碼率圖

    5.3 應(yīng)用多輪步驟的討論

    5.3.1 應(yīng)用在BB84 協(xié)議中

    從圖5(a)中可以明顯看出,隨著B 步驟應(yīng)用輪數(shù)的增加,盡管通信距離會(huì)不斷加大,但是成碼率在慢慢降低。 超過(guò)3 輪B 步驟后,碼率過(guò)低,意義不大。 從圖5(b)中可以看出,隨著P步驟應(yīng)用輪數(shù)增加,碼率會(huì)隨之減小,每經(jīng)過(guò)一輪P 步驟,碼率會(huì)下降到原來(lái)的三分之一左右,同時(shí)通信距離并沒(méi)有提高。

    圖5 多輪步驟應(yīng)用到BB84 協(xié)議的示意圖。 其中(a)是將多輪B 步驟應(yīng)用到BB84 協(xié)議上的示意圖;(b)是在一輪B 步驟的基礎(chǔ)上將多輪P 步驟應(yīng)用到BB84 協(xié)議上的示意圖

    圖6 多輪步驟應(yīng)用到TF-QKD 協(xié)議中的示意圖。 其中(a)是進(jìn)行多輪B 步驟示意圖;(b)是將多輪B 步驟P 步驟分別應(yīng)用于TF-QKD 的碼率圖。 n 為應(yīng)用n 輪P 步驟。 m 為應(yīng)用m 輪B 步驟

    5.3.2 應(yīng)用在TF-QKD 協(xié)議中

    如果單獨(dú)將多輪B 步驟或P 步驟應(yīng)用到TF-QKD 中,則可以從圖中看出,當(dāng)B 步驟從1輪增加到3 輪的時(shí)候,通信距離在漸漸增大,但碼率在不斷降低。 當(dāng)固定1 輪B 步驟,增加P步驟的輪數(shù)時(shí),通信距離變化微乎其微,但是極大的降低了安全成碼率。 從圖6(a)和圖6(b)可以得出,B 步驟相比較于P 步驟對(duì)性能有更深的影響。 因?yàn)锽 步驟和P 步驟在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中應(yīng)用了雙向異或的關(guān)系,相位誤碼率跟比特誤碼率有一定的聯(lián)系,B 步驟在降低比特誤碼率的同時(shí)會(huì)提高相位誤碼率,P 步驟則相反,但是比特誤碼率的影響因素更強(qiáng)。

    基于相干態(tài)的TF-QKD[10]中曾將1 輪B 步驟運(yùn)用到基于相干態(tài)的TF-QKD 和基于貓態(tài)的TF-QKD 中。 本文不僅進(jìn)行了多輪的B 步驟和P 步驟實(shí)驗(yàn),比較了B 步驟和P 步驟對(duì)于通信距離和成碼率的影響,而且還進(jìn)行了B、P 步驟的順序?qū)嶒?yàn)。 實(shí)驗(yàn)表明,無(wú)論是先進(jìn)行P 步驟再進(jìn)行B 步驟,或者先進(jìn)行B 步驟再進(jìn)行P 步驟,還是交叉進(jìn)行一輪B 步驟一輪P 步驟,增加P 步驟效果不大。 所以只進(jìn)行B 步驟是更好的方法。 而成碼率和通信距離是一種權(quán)衡關(guān)系,在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)具體分析,以確定其最優(yōu)輪次。

    6 結(jié)語(yǔ)

    糾纏提純技術(shù)就是提取最大糾纏態(tài)并生成密鑰的過(guò)程,將雙向糾纏提純技術(shù)應(yīng)用于BB84和TF-QKD 協(xié)議,可以擴(kuò)展其通信距離。 在實(shí)驗(yàn)分析的過(guò)程中發(fā)現(xiàn),B 步驟會(huì)擴(kuò)展通信距離,而應(yīng)用P 步驟的話,降低相位誤碼率的同時(shí)會(huì)提高比特誤碼率,同時(shí)應(yīng)用多輪P 步驟對(duì)通信距離并無(wú)太大影響,因此可以只應(yīng)用B 步驟來(lái)擴(kuò)展通信距離而不考慮使用P 步驟。 目前對(duì)雙向糾纏提純協(xié)議只討論了B 步驟和P 步驟,是否有更好的方法還有待研究。 雙向操作如何在后處理過(guò)程中高效實(shí)現(xiàn)也是未來(lái)要研究的方向。

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