一類二階非線性常微分方程組邊值問題解的存在唯一性

王 丹, 李永祥

(西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引 言

本文討論二階非線性常微分方程組邊值問題

(1)

解的存在唯一性, 其中非線性函數(shù)f,g:[0,1]×R×R→R連續(xù).作為生物種群的常用數(shù)學(xué)模型,該問題在生物數(shù)學(xué)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用,不少作者對該問題正解的存在性進(jìn)行過研究[1-10].常用研究方法主要有文獻(xiàn)[1,5,7-10]中的錐上的不動點指數(shù)理論, 文獻(xiàn)[2-3]中的錐上不動點定理, 以及文獻(xiàn)[4,6]中的單調(diào)迭代求解方法，等.

1993年，F(xiàn)ink和Gatica[1]運用錐上的不動點指數(shù)理論, 在f與g嚴(yán)格單調(diào)條件下獲得了邊值問題

非負(fù)解的存在性. 后來, Ma[2]將上述條件弱化為單調(diào)條件, 通過舉例得到了問題(2)新的非負(fù)解的存在性結(jié)論. 文獻(xiàn)[3]研究了邊值問題

(3)

(該問題的非線性項都是非負(fù)的)，在超線性或次線性的條件下獲得了正解的存在性. 在上述文獻(xiàn)中, 系統(tǒng)正解的存在性均被轉(zhuǎn)化為乘積空間中單錐上相應(yīng)全連續(xù)映射的不動點的存在性.此外，Cheng等[7-10]建立了乘積錐上不動點指數(shù)的乘積公式 (見文獻(xiàn)[7]中定理2.1), 運用不動點指數(shù)的乘積公式在一些超(次)線性假設(shè)下獲得了幾類不同形式的邊值問題正解的存在性, 推廣了以上結(jié)論.

鑒于以上文獻(xiàn)都在非線性項f與g各自獨立的條件下討論方程組非負(fù)解或正解的存在性，本文則不假設(shè)f與g非負(fù), 在f(t,x,y)與g(t,x,y)相關(guān)聯(lián)的不等式條件下運用Leray-Schauder不動點定理獲得問題(1)解的存在唯一性. 本文的主要結(jié)果如下：

定理1.1設(shè)f,g:[0,1]×R×R→R連續(xù).若f,g滿足下列條件：

(H1) 存在常數(shù)a,b≥0使得a+b<π2及c>0, 使得

f(t,x,y)x+g(t,x,y)y≤

ax2+by2+c,(t,x,y)∈[0,1]×R×R

(4)

則問題(1)至少存在一個解.

加強定理1.1的條件(H1)后, 則有如下存在唯一性結(jié)果：

定理1.2設(shè)f,g:[0,1]×R×R→R連續(xù).若f,g滿足下列條件：

(H2) 存在常數(shù)a,b≥0使得a+b<π2,

(f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1))(x2-x1)+

(g(t,x2,y2)-g(t,x1,y1))(y2-y1)≤

a(x2-x1)2+b(y2-y1)2

(5)

其中(t,xi,yi)∈[0,1]×R×R,i=1,2, 則問題(1)的存在唯一解.

2 主要結(jié)果的證明

記H1(I)={u∈C(I)|u在I上絕對連續(xù), 且u′∈L2(I)}.

設(shè)X,Y分別為范數(shù)是‖·‖X,‖·‖Y的Banach空間. 以X×Y表示X與Y的乘積空間按范數(shù)‖(x,y)‖=max{‖x‖X,‖y‖Y}構(gòu)成的Banach空間.

證明 因正弦函數(shù)系{sinkπt|k=1,2…}為L2(I)中的完備直交系, 故u可展為正弦級數(shù)

其中

且有Parseval等式

另一方面, 余弦函數(shù)系{coskπt|k=1,2…}也為L2(I)中的完備直交系, 故u′可展為余弦級數(shù)

其中

且有Parseval等式

因而引理2.1成立.

定理1.1的證明 熟知, ?h∈C(I), 線性二階邊值問題

(6)

存在唯一解

其中

為相應(yīng)的Green函數(shù). 作積分算子A:C(I)×C(I)→C(I)×C(I)為

則A:C(I)×C(I)→C(I)×C(I)為全連續(xù)算子, 且問題(1)的解(u,v)等價于算子A的不動點. 我們對A應(yīng)用Leray-Schauder不動點定理,以證明A有不動點. 為此，考查方程簇

(u,v)=λA(u,v),0<λ<1

(7)

設(shè)(u,v)∈C(I)×C(I)為方程簇(7)中某個λ∈(0,1)對應(yīng)的方程的解.則

(8)

按線性方程解的Green函數(shù)表示, (u,v)∈C2(I)×C2(I)滿足方程

(9)

將方程(9)的第一式和第二式的兩邊分別同乘以u(t)和v(t), 兩式相加, 由條件(H1)可得

-u″(t)u(t)-v″(t)v(t)=λf(t,u(t),

v(t))u(t)+λg(t,u(t),v(t))v(t)≤

λ(au2(t)+bv2(t)+c)≤

au2(t)+bv2(t)+c,t∈I.

上式在I上積分, 左邊利用分部積分和方程(9)的邊界條件得

由引理2.1,

從而有

所以

因此, ?t∈I, 有

所以

故

即方程簇(7)的解集在C(I)×C(I)中有界. 由Leray-Schauder不動點定理,A在C(I)×C(I)中有不動點, 該不動點為問題(1)的解.

f(t,x,y)x+g(t,x,y)y=(f(t,x,y)-

f(t,0,0))x+(g(t,x,y)-g(t,0,0))y+

f(t,0,0)x+g(t,0,0)y≤ax2+by2+

|f(t,0,0)x|+|g(t,0,0)y|≤ax2+by2+

C0|x|+C0|y|=ax2+by2+

f(t,x,y)x+g(t,x,y)y≤

a1x2+b1y2+c1,(t,x,y)∈I×R×R.

再證解的唯一性. 設(shè)(u1,v1),(u2,v2)∈C2(I)×C2(I)為問題(1)的兩個解.則有方程

(10)

及

(11)

將方程(11)第一式與方程(10)第一式相減, 方程(11)第二式與方程(10)第二式相減, 得

-(u″2(t)-u″1(t))=f(t,u2(t),v2(t))-

f(t,u1(t),v1(t)),t∈I

(12)

-(v″2(t)-v″1(t))=g(t,u2(t),v2(t))-

g(t,u1(t),v1(t)),t∈I

(13)

將方程(12)兩邊同乘u2(t)-u1(t), 方程(13)兩邊同乘v2(t)-v1(t), 兩式相加, 由條件(H2)得

-(u″2(t)-u″1(t))(u2(t)-u1(t))-

(v″2(t)-v″1(t))(v2(t)-v1(t))=

(f(t,u2(t),v2(t))-f(t,u1(t),

v1(t)))(u2(t)-u1(t))+(g(t,u2(t),

v2(t))-g(t,u1(t),v1(t)))(v2(t)-

v1(t))≤a(u2(t)-u1(t))2+

b(v2(t)-v1(t))2,t∈I.

上式在I上積分, 左邊利用分部積分和方程(10)(11)的邊界條件得

即

3 例

例3.1考慮如下二階微分方程組

方程(14)相應(yīng)的非線性項為

f(t,x,y)=3x-x3y2+sinπt,g(t,x,y)=

-x2y+6y-2y3+2sinπt

(15)

因為f與g不是非負(fù)的, 文獻(xiàn)[1-10]的結(jié)果對問題(14)不適用.

f(t,x,y)x+g(t,x,y)y=3x2-x4y2+

xsinπt-x2y2+6y2-2y4+2ysinπt≤

3x2+6y2+xsinπt+2ysinπt≤3x2+

6y2+|x|+2|y|=3x2+6y2+

ax2+by2+c.

因而f(t,x,y)與g(t,x,y)滿足條件(H1). 由定理1.1知方程(14)有解.

例3.2考慮如下二階微分方程組

方程(16)相應(yīng)的非線性項為

f(t,x,y)=5x-x3-y+1,g(t,x,y)=

x+4y-y5+t

(17)

下面驗證f(t,x,y)與g(t,x,y)滿足條件(H2).?(t,xi,yi)∈[0,1]×R×R,i=1,2. 由(17)式可得

(f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1))(x2-x1)+

(g(t,x2,y2)-g(t,x1,y1))(y2-y1)=

(x2-x1)+((x2-x1)+4(y2-y1)-

對函數(shù)-x3在x1與x2之間應(yīng)用微分中值定理得

對函數(shù)-y5在y1與y2之間也應(yīng)用微分中值定理得

結(jié)合以上諸式有

(f(t,x2,y2)-f(t,x1,y1))(x2-x1)+

(g(t,x2,y2)-g(t,x1,y1))(y2-y1)=

5(x2-x1)2-3ξ2(x2-x1)2+

4(y2-y1)2-5η4(y2-y1)2≤

5(x2-x1)2+4(y2-y1)2.

因而f(t,x,y)與g(t,x,y)滿足條件(H2). 由定理1.2知方程(16)有唯一解.