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    培養(yǎng)中學(xué)生良好數(shù)感的實(shí)踐策略研究

    2021-07-14 14:31:49袁國(guó)虎
    基礎(chǔ)教育論壇·上旬 2021年6期
    關(guān)鍵詞:變式訓(xùn)練解題技巧

    袁國(guó)虎

    摘? 要:隨著中學(xué)數(shù)學(xué)綜合性和復(fù)雜性的不斷增加,學(xué)生需要養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)觀察習(xí)慣,重視常見公式之間的基本結(jié)構(gòu)特征,尋找?guī)缀螆D形中隱藏的內(nèi)在特殊規(guī)律,嘗試各種假設(shè)、變式訓(xùn)練,洞察解題規(guī)律和本質(zhì),找到巧解、妙解、化繁為簡(jiǎn)的解題途徑。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)觀察;基本結(jié)構(gòu);特殊規(guī)律;解題技巧;變式訓(xùn)練

    中學(xué)階段,數(shù)學(xué)概念不斷擴(kuò)充,數(shù)學(xué)題的綜合性和復(fù)雜性增加,有些學(xué)生開始采用題海戰(zhàn)術(shù),但是實(shí)踐證明,在考試中往往原創(chuàng)題居多,學(xué)生仍然一籌莫展?!皽p負(fù)”應(yīng)該減去哪些不利于學(xué)生健康成長(zhǎng)的高消耗、低產(chǎn)出的過(guò)重負(fù)擔(dān)?在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)該如何培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)這些原創(chuàng)題?針對(duì)如何培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)感,具體結(jié)合初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探究如下。

    一、在觀察中讓學(xué)生找到解題突破口

    觀察要從問(wèn)題入手,問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。數(shù)學(xué)觀察包括觀察數(shù)式內(nèi)在的關(guān)系和圖形中隱含的規(guī)律。幾何問(wèn)題尤為重要,其中一些看似平淡無(wú)奇的信息,通過(guò)有效觀察找到關(guān)鍵信息,挖掘出其中隱含的有價(jià)值的信息,解題思路會(huì)豁然開朗,清晰明了,避繁就簡(jiǎn)。

    例1? 在等腰直角三角形ABC中,∠C = 90°,AC = 1,過(guò)點(diǎn)C作直線l∥AB,F(xiàn)是l上的一點(diǎn),且AB = AF,求點(diǎn)F到直線BC的距離。

    思路1:如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C右側(cè)時(shí),得四邊

    形CDFE是正方形,得[DF=3-12。] 如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)C左側(cè)時(shí),得四邊形EFDC是正方形,得[DF=3+12。]

    思路2:從條件AB = AF出發(fā),如圖1,發(fā)現(xiàn)∠FAB = 30°,設(shè)EF = CE = x,則BD = [3x。] 根據(jù)BD+ CD = BC,得[3x+x=1,] 解得[x=][3-12,] 即[DF=3-12。]同理,如圖2,可求得[DF=][3+12。]

    二、引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和式的結(jié)構(gòu)中提升數(shù)感敏銳性

    數(shù)和式之間的基本結(jié)構(gòu)通常是指基本的公式、方程、不等式和函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征。先熟悉公式am·an·ap = am + n + p,[amnp=amnp, abn=anbn,am÷an÷ap=]am - n - p,其中m,n,p都是正整數(shù),a ≠ 0;常見代數(shù)式乘法公式,如[a+ba-b=a2-b2, a±b2=a2±2ab+b2,x2+][px+q=x+ax+b;ax2+bx+c=ax-x1x-x2。] 另外,還要熟悉[ax2+bx+c=0 a≠0]中的[x1+x2=-ba,x1x2=ca,]以及常見的變形公式[x1-x2=x1+x22-4x1x2]等。

    例2? 解二元二次方程組[xy=6 ①,x+y=5 ②。]

    解析:設(shè)x,y是方程z2 - 5z + 6 = 0 ③的兩個(gè)根,由方程③解得z1 = 2,z2 = 3,所以原方程組的解為[x1=2,y1=3,] [x2=3,y2=2。]

    三、從圖形結(jié)構(gòu)中誘發(fā)猜想,提高思維廣度

    基本圖形結(jié)構(gòu)通常指幾何中的基本圖形。抓住基本圖形的隱含條件,養(yǎng)成有意識(shí)地由特殊情形誘發(fā)猜想的習(xí)慣,能提高學(xué)生思維的廣度。

    例3? 如圖3,分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE。已知AC = 4,AB = 5,求GE的長(zhǎng)。

    解析:由題可知,對(duì)角線相互垂直的四邊形CGEB尤為關(guān)鍵。通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)“對(duì)角線相互垂直的四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等”這一規(guī)律是解題的突破口。

    四、在變式中洞察數(shù)學(xué)規(guī)律,提高數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

    變式訓(xùn)練如何變,就是將母題進(jìn)行變化,嘗試從概念、背景、條件與結(jié)論、題目的形式、難易程度復(fù)雜性、涉及知識(shí)點(diǎn)的綜合性等方面和角度加以變化,如利用完全平方公式[a±b2=a2±2ab+b2]衍生的??碱}型“整體代入法求代數(shù)式的值”。

    例4? 已知[x+][1x=6,] 求[x-1x]的值。

    變式1:已知[x-1x=6,] 求[x+1x]的值。

    變式2:已知[x+1x=2,] 求[x2+1x2+14]的值。

    變式3:已知[x+1x=3,] 求[xx2+1]的值。

    變式4:已知x2 - x - 1 = 0,求[x-1x]的值。

    變式4解析:因?yàn)閇x≠0,] 將分式[x-1x=1]兩邊同時(shí)乘以x,得一元二次方程x2 - x - 1 = 0,找到巧解一元二次方程與分式的關(guān)系。

    總之,學(xué)生有了良好的數(shù)感之后,讓學(xué)生自己去探索、解析、綜合,以提高學(xué)生解數(shù)學(xué)題的速度,最終達(dá)到數(shù)學(xué)建模的目的。無(wú)論將原創(chuàng)題怎么變化,學(xué)生都會(huì)快速發(fā)現(xiàn)解題的突破口,即使找不到解題入口,也會(huì)套用數(shù)學(xué)建模思路去解析探究,直至解決。

    參考文獻(xiàn):

    [1]李果民. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)建模[M]. 南寧:廣西教育出版社,2003.

    [3]張仁貴,嚴(yán)虹焰. 教師如何進(jìn)行學(xué)法指導(dǎo)[M].天津:天津教育出版社,2009.

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