關(guān)于Chebyshev多項式的首尾差r-循環(huán)矩陣的行列式

邱 濤， 雷 林， 何承源

（西華大學(xué) 理學(xué)院，四川 成都610039）

循環(huán)矩陣因其特殊的結(jié)構(gòu)特征，而被廣泛應(yīng)用于許多現(xiàn)代工程科學(xué)領(lǐng)域［1-5］，如編碼理論、數(shù)字圖像識別、密碼學(xué)、信號處理、石油勘測等.近年來，在矩陣?yán)碚撗芯款I(lǐng)域，對特殊循環(huán)矩陣的研究一直是一個熱門的方向，國內(nèi)外大量學(xué)者對經(jīng)典循環(huán)矩陣［6］不斷進行推廣和延伸.主要研究包含特殊數(shù)列及多項式的特殊循環(huán)矩陣的行列式、逆矩陣、譜范數(shù)、非奇異性、自反廣義逆、特征值、冪運算等性質(zhì).

循環(huán)矩陣的行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，在各方面有著重要的作用.文獻［7］通過矩陣分解理論，給出了包含F(xiàn)ibonacci與Lucas數(shù)列的循環(huán)矩陣行列式；文獻［8］采用同樣的分解原理，將數(shù)列推廣到Jacobsthal與Jacobsthal-Lucas數(shù)列，并給出了行列式的顯式表達式；文獻［9］研究了H-循環(huán)矩陣及H-左循環(huán)矩陣的行列式；文獻［10-11］給出了H-循環(huán)矩陣的判別及求解H-循環(huán)矩陣線性系統(tǒng)的快速算法；文獻［12］討論了廣義Fibonacci多項式的循環(huán)矩陣行列式；文獻［13］給出了包含三階序列的行斜首加尾右循環(huán)（RSFPLR）和行斜尾加首左循環(huán)（RSLPFL）矩陣的行列式；文獻［14-16］將矩陣推廣到行首加r尾r右循環(huán)（RFPrLrR）和行尾加r首r左循環(huán)（RFPrLrL）矩陣，分別給出了包含不同線性遞推數(shù)列和多項式的行列式.

基于以上研究，本文主要將對H-循環(huán)矩陣和行斜首加尾右循環(huán)矩陣的研究推廣到對首尾差r-循環(huán)矩陣的研究，同時把H-左循環(huán)矩陣和行斜尾加首左循環(huán)矩陣推廣到首尾差r-左循環(huán)矩陣，這2類矩陣具有更廣義的形式.本文利用多項式因式分解逆變換的方法，給出了包含第一、二類Chebyshev多項式的矩陣的行列式，最后通過數(shù)值實例對定理進行了驗證.

1 預(yù)備知識

定義1［17］第一、二類Chebyshev多項式是權(quán)函數(shù)為且由序列｛1，x，…，x n，…｝在區(qū)間［－1，1］上正交化得到的正交多項式，具體表達式為：

其二階線性遞推公式為：

｛Tn（x）｝與｛Un（x）｝的通項公式為：

其中

定義2［18］記Mn×n（C）為復(fù)數(shù)域上n階矩陣的集合，若矩陣A∈Mn×n（C）有如下形式

則稱矩陣A為首尾差r-循環(huán)（FLDcircr）矩陣，簡記為A＝FLDcircr（a1，a2，…，a n）.

第一行元素a0，a1，…，a n－1決定了矩陣A的構(gòu)成：對第i行的行尾元素先乘r，第i行的行首元素再減去第i行的行尾元素，所有元素向右移一位就得到第i＋1行元素.FLDcircr矩陣是一類特殊的循環(huán)矩陣，不同于首尾和（FLS）r-循環(huán)矩陣［19-20］和行首加r尾r右循環(huán)矩陣（RFPrLrR）［14-16］，也不是這2類的特殊情況.當(dāng)r＝1，則FLDcircr矩陣就是H-循環(huán)矩陣［911］；當(dāng)r＝ －1，則FLDcircr矩陣就是行斜首加尾循環(huán)矩陣（RSFPLR）［12-13］.

定義π為n階基本FLDcircr矩陣，則π的具體表達形式為

π的特征多項式為

且有

規(guī)定π0＝In，這里In是n階單位矩陣.FLDcircr矩陣可由基本FLDcircr矩陣π來表示，有

定義3若矩陣B∈Mn×n（C）有如下形式：

則稱B為首尾差r-左循環(huán)（FLDLcircr）矩陣，簡記為B＝FLDLcircr（a1，a2，…，a n）.

FLDLcircr矩陣的構(gòu)成規(guī)則：對第i行的行首元素先乘r，第i行行尾元素再減去第i行的行首元素，所有元素向左移一位就得到第i＋1行.

引理1［18］設(shè)矩陣

那么A的特征值為

這里 ωi（i＝1，2，…，n）是基本FLDcircr矩陣π的特征值，即ωi是方程

的根.

引理2

其中

ωi（i＝1，2，…，n）是方程（2）的根，s、t是方程

的根，a≠0，c，b，a∈R.

證明

其中s、t是方程的根，根據(jù)韋達定理有

由于ωi是方程（2）的根，則有

其中，Δn－1＝sn－1＋t n－1，Δn＝sn＋t n（下同）.

引理3設(shè)

是一個FLDLcircr矩陣，

是一個FLDcircr矩陣，則有

證明容易驗證：

其中

進一步可以得到

2 主要結(jié)論及其證明

首先，研究關(guān)于第一類Chebyshev多項式Tn的首尾差r-循環(huán)矩陣及首尾差r-左循環(huán)矩陣的行列式，得到的結(jié)果和證明如下.

定理1設(shè)矩陣C＝FLDcircr（T1，T2，…，Tn），那么

其中

證明矩陣C＝FLDcircr（T1，T2，…，Tn）表示為

由引理1，可得矩陣C的行列式為

根據(jù)引理2，可得

的2個根.

推論1設(shè)矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

類似定理1的證明，可以得到推論1的結(jié)果.

定理2設(shè)矩陣

那么

其中

證明由定義3，矩陣

可以表示為

所以，根據(jù)引理3有

且由推論1知

故有

其中

其次，考慮包含第二類Chebyshev多項式Un的首尾差r-循環(huán)矩陣及首尾差r-左循環(huán)矩陣的行列式，得到的結(jié)果和證明如下.

定理3設(shè)矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

由引理1，可得矩陣F的行列式為

根據(jù)引理2，可得

其中

s3、t3是關(guān)于 ωi的方程

的2個根.

推論2設(shè)矩陣

那么

其中

證明矩陣

表示為

類似定理3的證明，可以得到推論2的結(jié)果.

定理4設(shè)矩陣

那么

其中

證明由定義3，矩陣

可以表示為

所以，根據(jù)引理3有detH＝detGdet，且由推論2知

故有

其中

3 數(shù)值舉例

設(shè)3階矩陣

求矩陣A的行列式.

解由定義1和定義2可知，矩陣A是包含第一類Chebyshev多項式的首尾差r-循環(huán)矩陣，其中r＝2，那么A可以簡記為A＝FLDcirc2（T1，T2，T3）.根據(jù)定理1可以得到

其中

取x＝ －1，則

由定理1可得

當(dāng)x＝ －1，矩陣根據(jù)行列式理論有

4 結(jié)論

通過數(shù)值舉例，對本文提出的方法進行了驗證.利用類似的證明方法，參數(shù)r取不同的值，可以將對FLDcircr矩陣和FLDLcircr矩陣的研究推廣到其他特殊的循環(huán)矩陣，如：當(dāng)r＝1，可以得到H-循環(huán)矩陣和H-左循環(huán)矩陣的行列式，見文獻［9］；當(dāng)r＝－1，可以得到行斜首加尾循環(huán)矩陣和行斜尾加首左循環(huán)矩陣的行列式，見文獻［12-13］.利用本文的這些理論也可將矩陣元素推廣到二階線性遞推數(shù)列、三階線性序列和多項式，進而研究包含這些特殊數(shù)列的特殊循環(huán)矩陣行列式及其他性質(zhì).