基于自回歸條件異方差(ARCH)族模型的收益率波動性分析

張 培， 王晶晶， 高顯彩

(宿州學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 安徽 宿州 234000)

自回歸條件異方差(ARCH)模型是一種用來處理時間序列的模型。金融市場的波動率與風險直接掛鉤，資產(chǎn)波動越大，風險則越大，獲得更高收益的可能性也會越大，在股市中可以利用ARCH模型預測股票的波動率，以達到控制風險的目的。ARCH族模型發(fā)展時間不長，但被廣泛應用于金融市場、理論命題檢驗、季節(jié)性分析等方面的波動性研究。Robert提出自回歸條件異方差(ARCH)模型，并發(fā)展了一系列波動性模型及統(tǒng)計分析方法[1]；Bollerslev在此基礎(chǔ)上提出的廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型可以很好地描述金融時間序列波動的動態(tài)變化特征，捕捉其波動集聚性和條件異方差性[2]。近年來，Elyasiani通過GARCH模型對銀行和保險公司收益風險的關(guān)聯(lián)性進行了研究[3]；唐俊波等通過GARCH建模對上證指數(shù)收益率波動進行分析，得出上證指數(shù)收益率序列具有顯著的異方差特征[4]；郭睿等對上證指數(shù)進行分析后認為上海證券市場股價的波動存在著顯著的GARCH效應[5]；楊繼平等利用非參數(shù)GARCH模型估計樣本區(qū)間的波動率，分析了股市結(jié)構(gòu)性波動產(chǎn)生的政策性影響因素[6]；張超利用GARCH族模型對上證指數(shù)波動性進行了比較研究，分析表明上證股票收益率具有顯著的條件異方差性[7]；成城通過對比分析發(fā)現(xiàn)EGARCH模型的表現(xiàn)普遍優(yōu)于GARCH模型[8]；鄧琳通過ARCH檢驗建立GARCH模型的方法研究條件方差，結(jié)果表明人民幣匯率市場多數(shù)時間段存在異方差效應[9]。

本文基于ARCH族模型，如廣義自回歸條件異方差模型 (GARCH)、EGARCH模型、TGARCH模型等，選取2010年1月至2018年12月上證指數(shù)的日漲幅數(shù)據(jù)對以上模型下的收益率波動效應進行逐個分析，通過比較發(fā)現(xiàn)EGARCH模型的擬合效果較好。

1 模型簡介

1.1 ARCH模型

ARCH模型是一個研究波動率很重要的模型，該模型通過刻畫因變量的方差方程來描述資產(chǎn)收益率的情況。兩個假定條件同時存在一個ARCH(m)模型中，這兩個條件如下：

其中：{εt}是一個獨立同分布的隨機變量序列，且滿足E(εt)=0;Var(εt)=1。

1.2 GARCH模型

rt=c+α1rt-1-β1at-1

1.3 EGARCH模型

rt=c+α1rt-1-β1at-1

1.4 TARCH模型

在GARCH(1,1)的基礎(chǔ)上引入了一個 “虛擬變量”Nt-1，相當于增加了一個條件，能更加直接地表現(xiàn)出價格變動對收益率波動來的沖擊，這就是 TARCH模型，一般使用的是TARCH(1,1)模型：

rt=c+α1rt-1-β1at-1

2 股市波動性的實證分析

2.1 描述性分析

利用Eviews10.0軟件對2010年1月至2018年12月連續(xù)9年上證指數(shù)的日漲幅數(shù)據(jù)進行處理，得到上證指數(shù)日對數(shù)收益率的時間序列數(shù)據(jù)走勢圖，如圖1所示。

圖1 上證指數(shù)日對數(shù)收益率序列圖

由圖1可知：上證指數(shù)的日對數(shù)收益率的數(shù)據(jù)波動有一個非常清晰的集聚表現(xiàn)，即每當出現(xiàn)一個非常大的波動時，在這個非常大的波動發(fā)生后會發(fā)生可能不止一個更大的波動；反之，當發(fā)生了一個小的波動時，在這以后也許會再顯現(xiàn)出一個甚至多個細微的波動。

利用統(tǒng)計檢驗中的直方圖統(tǒng)計可以求出上證指數(shù)對收益率序列的峰度、均值、標準差、中位數(shù)、偏度以及伴隨概率值，如表1所示。

表1 上證指數(shù)日對數(shù)收益率描述性分析

表1顯示：上證指數(shù)收益率均值大于0，為6.01×10-8，表明滬市大盤總體呈下行趨勢，發(fā)展勢頭減緩，出現(xiàn)這種情況的主要原因是近年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速放緩，側(cè)面反映了資本參與者對滬市收益率期望值下降；上證指數(shù)收益率的標準差0.013 974，上證指數(shù)的標準差相對較大，也體現(xiàn)滬市波動幅度相對較大，收益率起伏變化大；上證指數(shù)收益率偏度小于0，表示數(shù)據(jù)偏倚度不服從正態(tài)分布，為負偏態(tài)分布；上證指數(shù)收益率的峰度值大于3，表示上證指數(shù)收益率的分布具有集群性效應，即具有“尖峰、厚尾”的特點；上證指數(shù)收益率的JB統(tǒng)計量大，也證明了上證指數(shù)收益數(shù)據(jù)分布為非正態(tài)分布，此結(jié)論與偏度、峰度檢驗結(jié)果相一致。

2.2 GARCH模型的實證分析

結(jié)合上證指數(shù)數(shù)據(jù)利用Eviews10.0軟件對GARCH模型擬合，并采用ARCH-LM檢驗對此模型的殘差進行效應檢驗，結(jié)果如表2所示。

表2 上證指數(shù)GARCH的模型擬合結(jié)果

通過擬合得到GARCH模型表達式為：

rt=0.000 128-0.786 915rt-1-0.807 178at-1

從表2可以看出：各項系數(shù)均統(tǒng)計顯著，與ARCH模型相比，對數(shù)似然值變大，AIC值和SC值變小，GARCH模型的擬合程度更佳；ARCH-LM檢驗過后可以發(fā)現(xiàn)F統(tǒng)計量的P值大于0.05，檢驗通過，原假設(shè)成立，ARCH效應不存在于建模后的殘差序列中，所以GARCH(1,1)模型可以消除ARCH效應；由擬合的σ2方程可知上指收益率的波動持續(xù)系數(shù)小于1而且和1相接近，說明σ2方程滿足參數(shù)的約束條件，同時條件方差對外界干擾的影響具有持續(xù)性。

2.3 EGARCH模型的實證分析

結(jié)合上證指數(shù)數(shù)據(jù)建立EGARCH模型，考察收益率波動曲線的對稱性，并利用ARCH-LM檢驗殘差是否具有ARCH效應，結(jié)果如表3所示。

表3 上證指數(shù)EGARCH模型擬合結(jié)果

可以得到EGARCH模型的完全表達式為：

rt=0.000 329-0.121 245rt-1+5.14×10-8at-1-1.21×10-7

由表3可知：伴隨概率P都為0，表示顯著性是可以的，完全可以使用這個模型。在這里，模型的AIC、SC的值都為負數(shù)，而且相對而言已經(jīng)是比較小的了，這表示模型具有較好的擬合效果；在上表中α=0.121 953，γ=-0.017 713<0，顯著性檢驗不符合要求，說明上證指數(shù)收益率波動明顯存在非對稱性，且股市在同等條件下的負波動產(chǎn)生的影響大于正波動所產(chǎn)生的影響。

2.4 門限ARCH(TARCH)模型的實證分析

在GARCH(1,1)模型的基礎(chǔ)上建立TARCH模型,考察價格變動對收益率波動來的影響，并對模型的殘差進行ARCH-LM檢驗，結(jié)果如表4所示。

可以得到TARCH模型表達式為：

rt=0.000 139-0.785 832rt-1-0.806 188at-1

從表4看出：ARCH-LM檢驗后，F(xiàn)統(tǒng)計量的P=0.292 5>0.05，原假設(shè)成立，也就意味著 TARCH(1,1)模型可以較好地消除ARCH效應；由表4可知模型中γ=-0.003 495，它的絕對值是小于0.05的，所以收益率波動不存在對稱性，也就是具有反杠桿效應，即股市在一樣的條件下的負波動產(chǎn)生的影響大于正波動所產(chǎn)生的影響，這與國外股市普遍的杠桿效應相反。

表4 上證指數(shù)TARCH模型的擬合結(jié)果

3 結(jié) 語

通過自回歸條件異方差(ARCH)族模型，對2010年1月至2018年12月期間滬市上證指數(shù)日收益數(shù)據(jù)做波動性分析，通過ARCH-LM檢驗判定AIC值和SC值的大小得知擬合效果最好的是EGARCH模型。收益數(shù)據(jù)波動性的持續(xù)性系數(shù)一直小于并接近于1，表明上證指數(shù)收益數(shù)據(jù)的波動受外界的干擾反應有一段持續(xù)性表現(xiàn)。同時上證指數(shù)收益數(shù)據(jù)存在很明顯的不對稱性，說明該數(shù)據(jù)表現(xiàn)出反杠桿效應，即相同情況下負的波動對股市的影響比正的波動帶來的影響更大。