安徽 萬 勝
(作者單位:安徽省蕪湖市第一中學(xué))
每年的高考真題都是命題者的智慧結(jié)晶,而每年的解析幾何高考真題,一般都具有初等幾何或高等幾何背景.筆者對2020年高考全國卷Ⅰ理科中的解析幾何第20題的題源進(jìn)行分析與探究,分別從初等幾何和高等幾何的范疇思考本題,從具體實例中揭示研究圓錐曲線性質(zhì)的初等幾何與高等幾何的兩種思考方法,同時以此來觀察高等幾何與初等幾何的聯(lián)系,從該高考題背景中探尋規(guī)律,揭示試題題源,命制新題,以期對一般的解析幾何試題的命制規(guī)律具有一定的指導(dǎo)作用,供教師參考.
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)證明:直線CD過定點.
事實上,題目1中體現(xiàn)了關(guān)于阿波羅尼斯圓的命題,是其在伸壓變換下,由圓變?yōu)闄E圓所對應(yīng)的結(jié)論,其中有如下命題與結(jié)論:
命題1:如圖1,設(shè)AB是圓O的一條直徑,點P是與AB垂直且與圓O相離的定直線上的任意一點,設(shè)直線PA,PB與圓的另外兩個交點分別為C,D,則直線CD過直徑AB上的定點S.其逆命題也成立.
圖1
(注:為方便比較,引用上述命題與結(jié)論時,部分字母有所調(diào)整;同時為了符合人教版教材編寫內(nèi)容,本文中變換呈現(xiàn)方式也有所調(diào)整.)
顯然,追根溯源,2020年全國卷Ⅰ理科第20題(Ⅱ)是本結(jié)論的特殊情況.這種基于橢圓與圓的伸壓關(guān)系,回到圓這樣的初等幾何基本圖形,利用平面幾何中圓的性質(zhì)衍生出橢圓相關(guān)結(jié)論(事實上還可以類比橢圓的性質(zhì),進(jìn)一步類比產(chǎn)生雙曲線與拋物線的類似性質(zhì)),不失為一種較好的研究圓錐曲線性質(zhì)的方法.
欣賞著如此美妙的初等幾何性質(zhì)與本題的關(guān)系,筆者仍然感到美中不足,該題中的A,B兩點為橢圓長軸端點,能否推廣到一般情形呢?如圖2,即若AB為橢圓E的任意一條弦,PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D.直線CD過定點嗎?
圖2
能否從該橢圓伸壓變換前所對應(yīng)的圓出發(fā),若AB為該圓的任意一條弦,得到性質(zhì),進(jìn)而產(chǎn)生橢圓相關(guān)結(jié)論呢?
考慮到從圓的角度出發(fā),用初等幾何方法來推導(dǎo)的困難性,以及從橢圓出發(fā)運算的復(fù)雜性,況且該結(jié)論的正確性也具有未知性.
為此,筆者想到先用信息技術(shù)輔助驗證,因而不妨選擇橢圓用幾何畫板軟件進(jìn)行作圖驗證,如圖3,從直線族CD的包絡(luò)圖形可知,直線CD并不過某定點.
圖3
為了揭示本題所蘊含的內(nèi)在規(guī)律,給出如下橢圓中的一般性質(zhì):
圖4
由此易知,結(jié)論1為命題2的特殊情形.同時,易知AD,BC的交點Q也在該極線l上,從而可以僅僅利用直尺作出點S關(guān)于該橢圓的極線l(如圖5及圖6).
圖5
圖6
從高等幾何的范疇看,點列與線束之間的射影是對應(yīng)的.所以只需作出極線l上點列關(guān)于該橢圓所對應(yīng)的極線束的交點,也是該極線l所對應(yīng)的極點,即本題中的定點.當(dāng)然考慮極線l上P,Q兩點所對應(yīng)的極線p,q的交點即可.
如圖7,對于橢圓外一點P,仿照圖5和圖6作圖方法:過點P作橢圓E的兩條割線l1,l2交橢圓E于點A,B和C,D,設(shè)AC,BD的交點為T,AD,BC的交點為R,則點P關(guān)于橢圓E的極線p即直線RT.同理可以作出點Q的極線q,這樣兩直線p,q的交點即為所求極點.
圖7
更為奇妙的是,如圖8,對于該橢圓外一點P,其極線p與橢圓E交于兩點M,N.易知點M的極線必過點P,而由命題2可知橢圓上的點的極線即為該點處的切線,所以直線PM與橢圓E相切,同理:直線PN與橢圓E相切.這樣,既給出了橢圓外一點P關(guān)于該橢圓的極線作法(只需過點P作出橢圓的兩條切線,兩切點連線即為極線),同時該過程也給出了僅僅用直尺作出橢圓切線的方法.
圖8
這樣,我們可以用高等幾何知識為理論依據(jù).如圖9,用類似于圖9的方法僅僅用直尺由圓外一點P作出該圓的兩條切線PM,PN,進(jìn)而得出點P關(guān)于該圓的極線MN;如圖10,在直線l取異于點P的一點Q,作出其關(guān)于該圓的極線M1N1,則直線MN與直線M1N1交點S即為直線l關(guān)于該圓的極點.
圖9 圖10
基于以上論述,完善筆者的猜想,可將2020年全國卷Ⅰ理科第20題推廣,進(jìn)而可以編制新的試題.
對于題目1,我們試圖修改題中已知直線AB的位置,利用潛在的極點與極線的對應(yīng)關(guān)系,通過極線上動點P的運動產(chǎn)生動直線CD,進(jìn)而由動直線CD所過的定點得到該極線所對應(yīng)的極點.
這樣可以編制如下關(guān)于圓的試題.
圖11
圖12
當(dāng)然,本題可推廣至一般情形.
追根溯源,才能站得高,看得清晰.以上探究過程蘊含著2020年全國卷Ⅰ理科第20題的背景.同時,也揭示了高中平面解析幾何試題的一類編制方法:一方面可以從初等幾何圖形的性質(zhì)中衍生出圓錐曲線相關(guān)性質(zhì);另一方面可以用高等幾何的知識作為理論依據(jù),拓寬初等幾何研究的思路,在更高的范疇內(nèi)討論問題,理解問題,加深對于初等幾何的理解和概括,從而對于其中的問題理解更加清晰,再利用類比思想,恰當(dāng)變換從而命制解析幾何試題.