極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱求解一類矩陣方程

張 峰

（安徽交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院 航海系，安徽 合肥 230051）

0 引 言

在21世紀(jì)，數(shù)學(xué)不僅作為一門工具被其它科學(xué)領(lǐng)域所使用，數(shù)學(xué)引領(lǐng)著其它學(xué)科的發(fā)展.方程作為線性代數(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)核心問題，是通過在一定的函數(shù)約束條件下建立線性代數(shù)集合，利用所構(gòu)建的矩陣集合求得矩陣方程的解.依照不同的矩陣方程亦或是利用不同函數(shù)約束條件，以更好地求得不同矩陣方程的最優(yōu)解[1-3].在具有特定約束條件的矩陣集合中，矩陣方程解獲取是數(shù)值代數(shù)中的主要內(nèi)容，其在信號(hào)處理與數(shù)碼處理的過程中具有重要的作用.由于矩陣方程的求最優(yōu)解問題甚至是雙對(duì)稱解問題在有限元、參數(shù)識(shí)別以及線性最優(yōu)控制理論等領(lǐng)域中起著決定性的作用，其進(jìn)一步刺激了矩陣方程理論迅猛發(fā)展，故將能否求得矩陣方程最優(yōu)雙對(duì)稱解的問題提升至數(shù)學(xué)計(jì)算領(lǐng)域最熱門課題核心.因此，如何利用未知矩陣方程中所提供的特征值、特征向量與數(shù)據(jù)要求確定相應(yīng)的方程矩陣集合，并利用集合中有效解的等價(jià)條件以及幾何性質(zhì)、表達(dá)式等設(shè)計(jì)出可行性計(jì)算方法作為研究一類矩陣方程的雙對(duì)稱求解核心.

范數(shù)作為線性代數(shù)與泛函分析內(nèi)的所有矢量在其矢量空間中被賦予的不小于零的一個(gè)函數(shù).而Frobenius范數(shù)則針對(duì)于矩陣函數(shù)來說，是矩陣中每個(gè)元素的平方和的開平方運(yùn)算，更確切地說Frobenius范數(shù)就是衡量一類矩陣方程到其所對(duì)應(yīng)的零矩陣方程之間的距離，類似于在二維空間中，平面內(nèi)的某個(gè)固定點(diǎn)到其原點(diǎn)之間的直線距離即為固定點(diǎn)的Frobenius范數(shù)[4-5].Frobenius范數(shù)很好地衡量了該矩陣的大小.隨著線性代數(shù)的不斷發(fā)展，傳統(tǒng)的矩陣方程求解方法不能更好地解決線性代數(shù)矩陣方程的極小范數(shù)中雙對(duì)稱解問題.文章利用在一類矩陣方程中引入Frobenius范數(shù)，利用Frobenius范數(shù)的特點(diǎn)將原矩陣方程中出現(xiàn)的廣義逆問題成功轉(zhuǎn)化為無約束條件求解問題，并進(jìn)一步求出極小Frobenius范數(shù)的廣義雙對(duì)稱解.

1 極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解求解設(shè)計(jì)

對(duì)于一類矩陣方程，近年來對(duì)其的研究較為豐富.在此部分文獻(xiàn)中利用矩陣分解求出了此類矩陣方程的約束解、約束最小二乘解及其最佳逼近解.在以往的一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解求解方法使用過程中，多使用此種迭代計(jì)算方法，得到最佳逼近解.但此種方法在使用的過程中，具有一定的不足.因此，在此次研究中就針對(duì)其不足，優(yōu)化原有求解方法中的不足.為有效控制優(yōu)化過程，設(shè)定對(duì)應(yīng)的流程完成求解方法設(shè)計(jì)過程.

1.1 一類矩陣方程中心對(duì)稱約束條件設(shè)定

設(shè)定矩陣表示為A∈Rn*n，Rn*n表示n×n階實(shí)矩陣集合，在此矩陣運(yùn)算過程中具有一定的約束條件，在此次研究中將約束條件設(shè)定如下：

如矩陣滿足上述約束條件，則稱此矩陣為中心對(duì)稱矩陣[6-7].此矩陣中的n階中心對(duì)稱矩陣集合可寫作CSRn*n.假設(shè)此矩陣中各元素滿足約束條件，則稱此矩陣為中心反對(duì)稱矩陣.在此矩陣中的n階反中心對(duì)稱矩陣集合可寫作CASRn*n.在此環(huán)節(jié)中，將對(duì)下述兩個(gè)問題進(jìn)行求解，具體問題如下所示.

設(shè)定研究對(duì)象矩陣為B∈Rn*n，C∈Rn*n,求得A∈CSRn*n,則有：

Xi表示已知矩陣，Ei表示未知矩陣,f(Z)表示連續(xù)可微凸函數(shù).假設(shè)存在Z*=Rn*n，使得當(dāng)且僅當(dāng)Δf(Z*)=0.

如果（2）及約束條件成立，則說明，當(dāng)前的函數(shù)的一類矩陣方程解是振動(dòng)的，判定條件如下：

根據(jù)上述公式，設(shè)定ki表示n階單位矩陣yn的第i列，i=1,2,…,n.則Tn可稱為n階單位矩陣，有=Tn.

通過文獻(xiàn)研究可知，矩陣A∈CSRn*n成立的首要條件是Tn*Tn=A[8-9].其次，若A∈Rn*n，則有A+Tn*Tn∈CSRn*n.將上述約束條件整合處理，可得到下述公式：

對(duì)上述公式進(jìn)行分析可知，如果B,C∈CSRn*n,α1,α1∈ R,則α1B+α2C∈ CSRn*n.對(duì)此公式進(jìn)行分析可知，CSRn*n為Rn*n的子空間.則有：

通過上述公式，對(duì)一類中心對(duì)稱矩陣方程求解過程進(jìn)行約束，且此方程必有中心對(duì)稱解，此求解結(jié)果為一類矩陣方程的最小二乘解，即上述問題的解.將此結(jié)果作為下述計(jì)算過程的數(shù)據(jù)基礎(chǔ).由于矩陣問題常應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)、固體力學(xué)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)等領(lǐng)域中[10-12]，在上述求解過程中根據(jù)應(yīng)用環(huán)境設(shè)定取值方式，以此保證取值結(jié)果的可靠性.

1.2 矩陣方程迭代求解過程設(shè)定

使用上述設(shè)定的約束條件作為迭代求解過程的基礎(chǔ)，將矩陣方程轉(zhuǎn)化為方程組的形式，具體如下所示：

則矩陣函數(shù)的解可理解為方程組的解，由此可知，此方程組的最小二乘解[13-14]為矩陣方程解，將此方程組按列處理后，得到對(duì)應(yīng)的線性方程組.定義(E,F,Δ)表示Menger PN空間，Δ為連續(xù)，那么概率分布函數(shù)f為下半連續(xù)，即隨機(jī)t∈B，若n→∞存在qn→q、pn→p，那么：

通過上述公式可知，定義無限維Menger PN空間(E,F,Δ)中存在M開子集，隨機(jī)t∈[0,1]，t-范數(shù)Δ符合以下要求：Δ(t,t)≥t.T:M→E為連續(xù)緊算子符合兩點(diǎn)要求：

還原成公式（7）的形式，已知一類矩陣方程具有對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)解，則矩陣公式（7）也應(yīng)具有數(shù)據(jù)解，為證實(shí)其具有數(shù)據(jù)解，設(shè)定此數(shù)據(jù)解為J，則有：

對(duì)上述公式等式兩端進(jìn)行轉(zhuǎn)置處理，再進(jìn)行較差減法可以得到對(duì)應(yīng)的等式，也就是矩陣方程組（7）的數(shù)據(jù)解.根據(jù)公式（8）設(shè)定相應(yīng)的迭代算法，對(duì)公式（7）進(jìn)行求解.通過文獻(xiàn)研究可知，在以往的研究中，對(duì)此公式解法的設(shè)計(jì)較為豐富，在此次研究中，將主要對(duì)矩陣的處理部分展開優(yōu)化，以此提高數(shù)據(jù)運(yùn)算能力.對(duì)于給定的一類對(duì)稱矩陣，經(jīng)過多次迭代后可以得到矩陣函數(shù)對(duì)應(yīng)的解，由于矩陣方程有限維空間的限制，導(dǎo)致數(shù)據(jù)解序列進(jìn)行正交處理，得到相應(yīng)分量數(shù)列[15-17]，由于迭代處理中公式的等價(jià)性，使用此迭代方法得到的數(shù)據(jù)解可作為一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解的數(shù)據(jù)計(jì)算來源，在接下來的處理中，將設(shè)定相應(yīng)的計(jì)算過程得到極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解，完成方法優(yōu)化過程.

1.3 廣義雙對(duì)稱解逼近

根據(jù)上述設(shè)定的求解過程，考慮到方程組的廣義雙對(duì)稱解情境.在此次研究中構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)的求解過程.如果在1.2設(shè)定的迭代求解過程中可證實(shí)此矩陣方程組中具有廣義雙對(duì)稱解[18-19]，則在不考慮計(jì)算誤差的情況下，對(duì)于任意給定的初始一類矩陣方程，利用上文中設(shè)計(jì)的求解迭代算法，均可以在有限的迭代次數(shù)中得到對(duì)應(yīng)的方程解.由此方法的迭代得到的數(shù)據(jù)解可視作矩陣方程組的極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解，因此，在此環(huán)節(jié)中將極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解逼近問題作為其求解過程，設(shè)定相應(yīng)的方法完成基礎(chǔ)運(yùn)算，具體計(jì)算過程如下.

使用上述計(jì)算過程中得到的相容線性方程組[20]Ky=b的通解，定義條件設(shè)定t0≠0同時(shí)同α滿足條件相斥，所以t0∈(0 ,1).結(jié)合公式（7）（8）得到公式（9）：

在上式中，z表示此方程組中的任意向量.由此同時(shí)可得到相應(yīng)的范數(shù)解Q1、Q2，且此兩組數(shù)據(jù)具有正交性，因此可知，K+b為上述方程組Ky=b的極小范數(shù)解.假設(shè)，且S為n階中心對(duì)稱方程，設(shè)定CSRn*n，使用上述中設(shè)定的迭代求解法能得到唯一的范數(shù)解，則此范數(shù)解可表示為：

根據(jù)此公式，在接下來的計(jì)算過程中證實(shí)此數(shù)據(jù)解為極小Frobenius范數(shù)對(duì)稱解.通過公式（10）可知，上述公式具有中心對(duì)稱解，因此只要證實(shí)此數(shù)據(jù)為公式（10）的最小范數(shù)解即可.使用傳統(tǒng)的求解過程，得到矩陣方程的等價(jià)線性方程組，具體如下所示：

由上述公式可知，公式（12）是相容線性方程組的唯一極小范數(shù)解.對(duì)上述公式進(jìn)行拉直映射同構(gòu)處理可知，公式（12）為極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解.定義Menger PN空間(E,F,Δ)中存在開子集的緊性連續(xù)算子.當(dāng)T符合如下要求時(shí)：

那么一類矩陣方程Tx=Jx+u在中有解.

由上可知，矩陣方程公式(13)具有相應(yīng)的數(shù)據(jù)解，通過迭代算法可得到此公式的一個(gè)解.使用上述設(shè)定條件，可得到迭代問題中的唯一極小范數(shù)中心對(duì)稱解，至此，求解計(jì)算過程結(jié)束.

將上文中設(shè)計(jì)部分進(jìn)行整合，將其與原有的求解方法相結(jié)合.至此，一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解求解方法設(shè)計(jì)完成.

2 實(shí)驗(yàn)論證分析

2.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境設(shè)計(jì)

在上文中完成了一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解求解方法的設(shè)計(jì)過程，為驗(yàn)證此求解方法的計(jì)算效果，在此環(huán)節(jié)中對(duì)比文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)求解方法的使用效果，以此對(duì)文中設(shè)計(jì)方法展開全面的分析.為了提高實(shí)驗(yàn)效率，降低實(shí)驗(yàn)計(jì)算難度，使用計(jì)算機(jī)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，完成數(shù)據(jù)計(jì)算處理過程.在此次實(shí)驗(yàn)中，選取高計(jì)算性能PC機(jī)作為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，現(xiàn)將其參數(shù)設(shè)定如表1.

使用以上設(shè)定的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)參數(shù)，完成實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的組建過程.除上述設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)外，在此次實(shí)驗(yàn)中，涉及到大量的一類矩陣方程作為計(jì)算對(duì)象.在實(shí)驗(yàn)中共使用了1000個(gè)一類矩陣方程，將其每100個(gè)方程整合為一個(gè)方程實(shí)驗(yàn)組，使用文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法對(duì)其進(jìn)行求解，并對(duì)相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)進(jìn)行對(duì)比.

2.2 實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)

在此次實(shí)驗(yàn)過程中，使用上文中設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)作為計(jì)算過程中的硬件基礎(chǔ).根據(jù)文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法的使用需求，在實(shí)驗(yàn)過程中，主要對(duì)此兩種方法在計(jì)算過程中的迭代次數(shù)，方程式的逼近精準(zhǔn)度以及計(jì)算響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)作為實(shí)驗(yàn)的對(duì)照指標(biāo).通過文獻(xiàn)研究可知，大部分的一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)雙對(duì)稱解求解過程較為復(fù)雜且計(jì)算速度較為緩慢.因而，在此次實(shí)驗(yàn)過程中，對(duì)文中設(shè)計(jì)方法與原有方法的上述部分使用性能指標(biāo)進(jìn)行研究，通過上述指標(biāo)的測(cè)試結(jié)果，分析文中設(shè)計(jì)方法與傳統(tǒng)方法在使用中的差異.由于每個(gè)實(shí)驗(yàn)方程集合中具有多個(gè)方程，因此，將實(shí)驗(yàn)方程組的實(shí)驗(yàn)指標(biāo)量化結(jié)果平均值作為實(shí)驗(yàn)最終結(jié)果.

2.3 計(jì)算迭代次數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

由實(shí)驗(yàn)結(jié)果（圖2）可知，在多個(gè)方程計(jì)算過程中，文中設(shè)計(jì)方法在計(jì)算中的迭代次數(shù)波動(dòng)較小，且迭代次數(shù)基本控制在20次之內(nèi)，具有較高的計(jì)算性能.與此同時(shí)，對(duì)圖像進(jìn)行分析可以看出，傳統(tǒng)方法1 與傳統(tǒng)方法2在計(jì)算過程中的迭代次數(shù)波動(dòng)較大.使用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法對(duì)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析可知，到實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)，文中設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)迭代次數(shù)為15次，且上下波動(dòng)未超過5次，在實(shí)驗(yàn)的后期，此方法的迭代次數(shù)略有下降.傳統(tǒng)方法1 與傳統(tǒng)方法2的迭代次數(shù)均勻分布在25~30次之間，在部分方程組中具有小幅度波動(dòng)的情況，可見此方法在計(jì)算過程中穩(wěn)定性較差.通過文獻(xiàn)研究可知，在求解過程，求解方法計(jì)算迭代次數(shù)對(duì)于計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性具有直接的影響.因此，根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法的使用效果優(yōu)于其他兩種傳統(tǒng)方法.

圖2 計(jì)算迭代次數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

2.4 方程式解逼近精準(zhǔn)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像（圖3）進(jìn)行分析可知看出，文中設(shè)計(jì)方法在求解過程中的逼近計(jì)算精準(zhǔn)度較高，在使用的過程中可在較短的時(shí)間內(nèi)完成計(jì)算過程，并得到相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.相較于文中設(shè)計(jì)方法的使用效果，傳統(tǒng)方法1與傳統(tǒng)方法2在使用的過程中，對(duì)于方程式解的逼近精度較差，通過數(shù)據(jù)分析可以看出，在部分實(shí)驗(yàn)組中出現(xiàn)計(jì)算異常問題，由此可知此兩種方法的使用效果較差.將此部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算迭代次數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果綜合分析可知，文中設(shè)計(jì)方法的基礎(chǔ)性能優(yōu)于傳統(tǒng)方法，根據(jù)此實(shí)驗(yàn)結(jié)果可初步判斷文中設(shè)計(jì)方法的使用效果將優(yōu)于傳統(tǒng)方法.

圖3 方程式解逼近精準(zhǔn)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

2.5 方程式求解響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

根據(jù)上兩部分實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法具有較好的使用效果，為了保證此次研究的全面性，在此部分中對(duì)方程式求解響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)進(jìn)行研究，通過此指標(biāo)研究結(jié)果（圖4）可以看出，文中設(shè)計(jì)方法的求解計(jì)算實(shí)驗(yàn)較短，隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，文中設(shè)計(jì)方法的計(jì)算速度不斷提升.與文中設(shè)計(jì)方法相比，傳統(tǒng)方法1與傳統(tǒng)方法2求解速度較慢，且隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的不斷增加，此兩種方法的計(jì)算速度出現(xiàn)下降的情況，可見此兩種方法的計(jì)算能力較差，無法將其應(yīng)用于大量的數(shù)據(jù)運(yùn)算過程中.根據(jù)上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，文中設(shè)計(jì)方法的使用效果較為優(yōu)異.

圖4 方程式求解響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

將此次研究中得到的計(jì)算迭代次數(shù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果、方程式解逼近精準(zhǔn)度實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及方程式求解響應(yīng)時(shí)長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行整合分析可知，文中設(shè)計(jì)方法的使用效果優(yōu)于傳統(tǒng)方法.在日后的計(jì)算過程中，可使用文中設(shè)計(jì)方法作為主要方程式求解方法，提升一類矩陣方程極小Frobenius范數(shù)求雙對(duì)稱解求解速度與質(zhì)量.

3 結(jié)束語

一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解的問題就是在既定的矩陣集合中求得相容的該矩陣方程的雙對(duì)稱解或者可以說是不相容的方程中最小二乘解的過程.Frobenius范數(shù)定義了矩陣方程的長(zhǎng)度性質(zhì)，在滿足行和范數(shù)的條件下，求得線性矩陣方程雙對(duì)稱解向量絕對(duì)值之和的最大值.通過矩陣方程的相關(guān)度量性構(gòu)建方程實(shí)際結(jié)構(gòu)信息，并利用線性矩陣方程間各行的強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，將方程投影到更低維度的線性矩陣方程子空間，簡(jiǎn)化方程的線性表達(dá)向量，并通過低秩矩陣對(duì)冗余信息進(jìn)行數(shù)據(jù)修復(fù)，進(jìn)而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特征提取.通過對(duì)上文關(guān)于一類矩陣方程的極小Frobenius范數(shù)廣義雙對(duì)稱解問題的研究，雖然Frobenius范數(shù)能有效地將矩陣方程逼近問題進(jìn)行分析研究，但很難驗(yàn)證其與非凸函數(shù)甚至其他矩陣范數(shù)之間的雙對(duì)稱解問題，需要在今后的研究中針對(duì)這一問題進(jìn)行更深層次、更系統(tǒng)的理論研究.