角坐標(biāo)系和第二距離

周仲旺

【摘要】 眾所周知，平面上點(diǎn)的表示法有直角坐標(biāo)系法和極坐標(biāo)系法兩種，點(diǎn)的位置可通過直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)（x，y）的橫縱坐標(biāo)長(zhǎng)度或極坐標(biāo)系中極坐標(biāo)（ρ，θ）的極徑長(zhǎng)度與極角角度表示.建立一種新的坐標(biāo)系———角坐標(biāo)系，使平面上點(diǎn)的位置由兩個(gè)角α，β，即角坐標(biāo)（α，β）表示.用這種方法表示點(diǎn)，具有較高的實(shí)用價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】 角坐標(biāo)系;角坐標(biāo);第二距離

一、引言

自從1637年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何以后，平面上的點(diǎn)可以用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）來表示，平面上的圖形可以用方程來表示，研究幾何圖形的性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為研究一個(gè)相應(yīng)的代數(shù)方程的問題.解析幾何的產(chǎn)生可以說是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一次飛躍.它的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題.為了把代數(shù)的方法引入到幾何中來，這就必須把幾何結(jié)構(gòu)代數(shù)化.本文通過研究?jī)上嘟痪€段及其垂直平分線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)，平面上一個(gè)點(diǎn)可以用兩個(gè)角表示，建立平面上一個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)角之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此引入角坐標(biāo)系，開辟了研究幾何圖形的一個(gè)新途徑.注意：極坐標(biāo)是用長(zhǎng)度和角表示點(diǎn)，這種坐標(biāo)顯然不對(duì)稱，而角坐標(biāo)對(duì)稱，因此角坐標(biāo)應(yīng)該同直角坐標(biāo)相媲美而比極坐標(biāo)好.

二、角坐標(biāo)系和角坐標(biāo)

定義1 如圖1所示，在平面直線l上取一條線段O′O，對(duì)平面內(nèi)不屬于直線l的任意一點(diǎn)A，分別作線段O′O，OA的垂直平分線，其交點(diǎn)為O 1，這樣就確定了唯一的兩個(gè)角α=∠O 1OO′，β=∠O 1OA.反之，對(duì)任意給定的兩個(gè)角α，β，作∠O 1OO′=α，使線段OO 1與線段OO′的垂直平分線交于O 1點(diǎn)，再作∠AOO 1=β，使線段OA的垂直平分線過O 1點(diǎn)，這樣就確定了唯一一點(diǎn)A.其中，-π2<α<π2，-π2<β<π2.于是除直線l上的點(diǎn)外，平面上任意一點(diǎn)A和有序數(shù)組（α，β）之間建立了一個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這個(gè)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為平面上的角坐標(biāo)系，（α，β）稱為點(diǎn)A的角坐標(biāo).

以O(shè)′O為正方向、以O(shè)′O的長(zhǎng)度為一個(gè)單位、以O(shè)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ，θ）和角坐標(biāo)（α，β）滿足如下的坐標(biāo)變換公式.

圖1 線段O′O和OA的垂直平分線交于O 1

定理1 設(shè)-π2<α<π2，-π2<β<π2，0≤θ≤2π，點(diǎn)A的極坐標(biāo)（ρ，θ）和角坐標(biāo)（α，β）間的坐標(biāo)變換公式為

ρ=cos βcos α，

θ=π-α-β.

從OO 1旋轉(zhuǎn)到OO′，逆時(shí)針時(shí)α為正，順時(shí)針時(shí)α為負(fù).從OA旋轉(zhuǎn)到OO 1，逆時(shí)針時(shí)β為正，順時(shí)針時(shí)β為負(fù).

證 點(diǎn)A的極坐標(biāo)（ρ，θ）和角坐標(biāo)（α，β）的表示如圖2和圖3所示.

圖2 x軸是極軸0≤α<π[]2

圖3 x軸是極軸-π2<α≤0

顯然θ=π-α-β，OO 1cos α=12，OO 1cos β=12ρ，所以ρ=cos βcos α，定理證畢.

這里需要針對(duì)直線l上的點(diǎn)的角坐標(biāo)做一下特別說明：O′的角坐標(biāo)是（0，0），O的角坐標(biāo)是α，±π2，其中α可取滿足-π2≤α≤π2的任意值，其他點(diǎn)的角坐標(biāo)都是 ±π2，±π2.

O可視為直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系和角坐標(biāo)系三坐標(biāo)系的共同的坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l是x軸或極軸，過O點(diǎn)垂直于l的直線是y軸，這樣平面上任意一點(diǎn)可分別通過直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)和角坐標(biāo)表示.

根據(jù)定理1中的坐標(biāo)變換公式，平面曲線的直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程可以化成角坐標(biāo)方程，反之，角坐標(biāo)方程也可以化成直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程.在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系下有些方程很復(fù)雜、作圖也很難的曲線，在角坐標(biāo)系下反而方程很簡(jiǎn)單、作圖也很簡(jiǎn)單.

例如，考慮在角坐標(biāo)系中，由非常簡(jiǎn)單的角坐標(biāo)方程α=7β表示的曲線，根據(jù)ρ=cos? βcos α，θ=π-α-β，x=ρcos θ，y=ρsin θ，我們有ρcos α=cos β，ρcos（π-β-θ）=cos β，-ρcos（β+θ）=cos β，ρsin βsin θ-ρcos βcos θ=cos β，

ρsin θtan β-ρcos θ=1，tan β=1+ρcos θρsin θ=1+xy，tan θ=yx，θ+8β=π，tan （θ+8β）=0，再根據(jù)三角函數(shù)公式和matlab，最后得到該曲線的直角坐標(biāo)方程為：

-7x8-48x7+28x6y2-140x6+112x5y2-224x5+14x4y4+140x4y2-210x4+112x3y4-112x3-20x2y6+252x2y4-140x2y2-28x2-48xy6+224xy4-112xy2+y8-28y6+70y4-28y2+1=0，顯然這個(gè)方程很復(fù)雜.

使用坐標(biāo)變換公式x=ρcos θ，y=ρsin θ，可把上面的方程轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)方程，其極坐標(biāo)方程也很復(fù)雜.此曲線在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系中，用直尺、圓規(guī)、量角器作出圖像非常困難，但在角坐標(biāo)系中，用直尺、圓規(guī)、量角器作出圖像非常容易，它就像條頂點(diǎn)在O′、開口向右的拋物線.計(jì)算得知，它與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)的直角坐標(biāo)的近似值是（0，±5.027），角坐標(biāo)的精確值是716π，116π和-716π，-116π，頂點(diǎn)O′的直角坐標(biāo)是（-1，0），角坐標(biāo)是（0，0），這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱.

再如，角坐標(biāo)方程α=15β，α2+β2=π29，α2=β等表示的曲線，在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系中，用直尺、圓規(guī)、量角器作出圖像不大可能，但在角坐標(biāo)系中，用直尺、圓規(guī)、量角器作出圖像并不難.α=2β，α=3β等方程表示的曲線，在直角坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系中作出圖像比較麻煩，在角坐標(biāo)系中作出圖像就很容易.這些例子充分說明角坐標(biāo)系具有重要意義.下面討論直線和圓.

2.1 直線的角坐標(biāo)方程

設(shè)直線的直角坐標(biāo)方程為Ax+By+C=0（B≠0，B=0時(shí)可同樣討論），將x=ρcos θ=cos βcos αcos（π-α-β），y=ρsin θ=cos βcos αsin（π-α-β）

代入直線的直角坐標(biāo)方程，整理得

A2+B2-AA2+B2cos（α+2β）+BA2+B2sin（α+2β）+（2C-A）2+B22C-A（2C-A）2+B2cosα+B（2C-A）2+B2sinα=0， （1）

令sinα 0=-AA2+B2，

cosα 0=BA2+B2，

sinβ 0=2C-A（2C-A）2+B2，

cosβ 0=B（2C-A）2+B2，

則A2+B2（2C-A）2+B2=cos β 0cos α 0.

把上式代入（1）式，整理得

cosα 0sin（α+β 0）+cosβ 0sin（α+2β+α 0）=0，其中，cosα 0cosβ 0>0. （2）

（2）式就是直線的角坐標(biāo)方程，把β看成α的函數(shù)，該方程就比較簡(jiǎn)單，不難證明可以設(shè)-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.下面討論兩種特殊情況：

（a） 當(dāng)C=0時(shí)，sinα 0=sinβ 0，cosα 0=cosβ 0.（2）式化為

α 0=β 0，sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，

于是，β=±π2或者α+β=k，k是常數(shù).

即過原點(diǎn)O的直線的角坐標(biāo)方程是α+β=k，而β=±π2就是原點(diǎn)O.

（b）當(dāng)C≠0，cosα 0=cosβ 0時(shí)，

（2）式化為sinα+β+α 0+β 02cosβ+α 0-β 02=0，因?yàn)镃≠0，根據(jù)情形（a），

cosβ+α 0-β 02=0.

所以β=γ 0=常數(shù)，把它化為直角坐標(biāo)方程是

y=cot γ 0x+cot γ 0，這是過O′的直線.反過來，過O′的直線的直角坐標(biāo)方程是y=bx+b，它化為角坐標(biāo)方程是β=常數(shù).所以β=常數(shù)是過O′的直線的角坐標(biāo)方程，它比這類直線的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程都簡(jiǎn)單.

2.2 圓的角坐標(biāo)方程

圓的直角坐標(biāo)方程為（x-a）2+（y-b）2=r2（b≠0，b=0時(shí)可同樣討論），

記c=a2+b2-r2，同2.1節(jié)一樣，化簡(jiǎn)得：

a+c+1+a2+b2sin（2α+2β+α 0）+（a+1）2+b2sin（2β+β 0）+（a+c）2+b2sin（2α+γ 0）=0，

其中

sin α 0=aa2+b2，

cos α 0=-ba2+b2，

sin β 0=a+1（a+1）2+b2，

cos β 0=-b（a+1）2+b2

sin γ 0=a+c（a+c）2+b2，

cos γ 0=-b（a+c）2+b2.

令t=a2+b2，則a=tsin α 0.

a+c=tcos α 0tan γ 0，a+1=tcos α 0tan β 0，（a+1）2+b2=tcos α 0cos β 0，（a+c）2+b2=tcos α 0cos γ 0代入上式整理得：

cos α 0cos β 0sin（2α+γ 0）+cos α 0cos γ 0sin（2β+β 0）+cos β 0cos γ 0sin（2α+2β+α 0）-sin α 0cos β 0cos γ 0+sin β 0cos α 0cos γ 0+sin γ 0cos α 0cos β 0=0， （3）

這就是圓的角坐標(biāo)方程.當(dāng)圓過原點(diǎn)O時(shí)，c=0，sin α 0=sin γ 0，cos α 0=cos γ 0，化簡(jiǎn)方程（3），得到過原點(diǎn)O的圓的角坐標(biāo)方程為

cos α 0sin（β+β 0）+cos β 0sin（2α+β+α 0）=0， （4）

其中cos α 0cos β 0>0，把α看成β的函數(shù)，該方程就比較簡(jiǎn)單，不難證明可以設(shè)-π2≤α 0≤π2，-π2≤β 0≤π2.

若圓（4）再過O′，則α 0=β 0，可推出α=常數(shù)，即過O，O′的圓的角坐標(biāo)方程是α=常數(shù)，它比這類圓的直角坐標(biāo)方程和極坐標(biāo)方程都簡(jiǎn)單.

把過原點(diǎn)的圓的角坐標(biāo)方程（4）中的角坐標(biāo)α，β交換一下即得直線的角坐標(biāo)方程（2），把原點(diǎn)的角坐標(biāo)α，±π2中的α，±π2交換一下即得無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的角坐標(biāo)，這就證明了直線是過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的圓，該結(jié)論在直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系中很難證明.一個(gè)圓由圓周和圓心兩部分組成，所以平面上兩個(gè)圓的相關(guān)位置有四種：相離（沒有交點(diǎn)）、平行（只有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)圓相切現(xiàn)在稱其平行，兩個(gè)同心圓也稱為平行，因?yàn)樗鼈冎挥幸粋€(gè)交點(diǎn)即圓心）、相交（有兩個(gè)交點(diǎn)）和重合（三個(gè)交點(diǎn)）.一個(gè)圓和一條直線的相關(guān)位置有三種：相離（沒有交點(diǎn)），平行（一個(gè)交點(diǎn)，圓和直線相切現(xiàn)在稱其平行），相交（兩個(gè)交點(diǎn)）.兩條直線平行可以看成兩個(gè)圓平行（同心圓），兩條直線相交也可以看成兩個(gè)圓平行（一個(gè)交點(diǎn)），兩條直線重合可以看成兩個(gè)圓重合，這樣兩條直線的相關(guān)位置有兩種.

定理2 如果平面上兩個(gè)圓C 1，C 2的圓心分別為O 1，O 2，半徑分別為r 1，r 2且r 1≤r 2，O 1，O 2兩點(diǎn)間的距離為d，則這兩個(gè)圓：

（1）相離的充要條件是d>r 1+r 2或0

（2）平行的充要條件是d=0或d=r 1+r 2或d=r 2-r 1.

（3）相交的充要條件是r 2-r 1

（4）重合的充要條件是d=0且r 1=r 2.

圓和直線的相關(guān)位置通過比較圓心到直線的距離和這個(gè)圓的半徑之間的大小不難得出.

當(dāng)兩個(gè)圓相切或相交時(shí)，它們?cè)诠颤c(diǎn)處的兩條切線成的角稱為這兩個(gè)圓的夾角，這顯然是兩條直線夾角定義的自然推廣.當(dāng)兩個(gè)圓的夾角是直角時(shí)，稱這兩個(gè)圓互相垂直.

23 平面上兩點(diǎn)間的第二距離

在角坐標(biāo)系下，直線和過原點(diǎn)的圓，坐標(biāo)原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，從代數(shù)上看是一樣的，從幾何上看是相應(yīng)的兩極，因此我們可以把平面上任意兩點(diǎn)間的距離進(jìn)行推廣，即平面上任意兩點(diǎn)間有兩個(gè)距離，一是這兩點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)決定的圓上的弧長(zhǎng)即這兩點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)，二是這兩點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)決定的圓上的這兩點(diǎn)間不經(jīng)過原點(diǎn)的那段弧的長(zhǎng)，兩點(diǎn)間的距離應(yīng)該用圓的弧長(zhǎng)定義，而不應(yīng)該用線段的長(zhǎng)定義，因?yàn)榫€段的長(zhǎng)是圓的弧長(zhǎng)的特殊情況，兩點(diǎn)決定一條直線，應(yīng)該改為兩點(diǎn)決定兩個(gè)圓，一個(gè)圓是這兩點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)決定的圓，另一個(gè)圓是這兩點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)決定的圓，應(yīng)把這兩個(gè)圓放在一起研究，而不應(yīng)像歐氏幾何那樣，把它們割裂開來.研究平面上任意兩點(diǎn)間的第二距離即過原點(diǎn)的圓上的一段弧長(zhǎng)有其一定意義，例如，研究平面上到一定點(diǎn)的第二距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，這將是一條新曲線.研究第一距離即通常的歐氏距離，比較簡(jiǎn)單，但研究第二距離非常復(fù)雜.

【參考文獻(xiàn)】

[1]呂林根，許子道.解析幾何[M].第4版.北京：高等教育出版社，2006.

[2]呂林根，張紫霞.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，1987.