巧妙轉(zhuǎn)化，化繁為簡

王麗娜

【摘要】轉(zhuǎn)化思想是當問題難以解決的時候，可采用的一種解題思路.本文通過具體實例介紹如何應用補形思想合理轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形，如何應用換元思想有效解決方程問題，如何應用簡化思想處理復雜分式題干，如何應用數(shù)形結合思想分析難題，如何應用問題變更思想靈活變換解題思路，論述了轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學解題教學中的應用，為學生提供一條化繁為簡、巧妙解題的新路徑.

【關鍵詞】轉(zhuǎn)化;數(shù)學;解題;化繁為簡;應用

轉(zhuǎn)化思想就是指從不同的角度思考，另辟蹊徑地將新知識與舊知識聯(lián)系到一起.在初中數(shù)學學習中，轉(zhuǎn)化思想是學生解決數(shù)學習題的有效途徑.學生靈活應用轉(zhuǎn)化思想，解決某些難以入手的證明題、計算題，能提高學習信心.

一、應用補形思想，合理轉(zhuǎn)化不規(guī)則圖形

利用轉(zhuǎn)化思想解決的數(shù)學題型中，幾何題無疑是典型題型.一些幾何例題的圖形不規(guī)則，學生無法用學到的理論知識解析題目，這就需要教師引導學生對圖形進行適當補形，將不規(guī)則的幾何圖形轉(zhuǎn)化成熟悉的規(guī)則圖形.數(shù)學教師可以利用多媒體課件引入不規(guī)則圖形習題，展示補形的解題策略，從而展示補形轉(zhuǎn)化的優(yōu)勢.

以蘇科版八年級下冊第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”中第4節(jié)“矩形、菱形、正方形”的習題教學為例，教師可以講解以下習題：有三個正方形，邊長分別為9、6、x，并且按照圖一所示的方式排列在一起，如果有一條直線將A、B兩點連在一起，所分成的兩個部分面積相等，試求x的數(shù)值.學生看到這道題時往往會感到無從下手，因為這條直線分成的兩個圖形形狀不規(guī)則，無法用已知的幾何知識點解決.此時，數(shù)學教師可以引導學生進行聯(lián)想：“看到直線AB將圖形的面積對分，可以與哪個幾何知識點聯(lián)系到一起？”學生通過思考，很容易發(fā)現(xiàn)這與“矩形的對角線平分矩形的面積”類似.學生可以將圖形補成矩形ADBC（如圖1），根據(jù)矩形對角線的特點，得知△ACB的面積必然與△ADB的面積相等.根據(jù)題干，兩個不規(guī)則圖形的面積是相等的，那么從兩個三角形中減去不規(guī)則圖形，就能得出小矩形1與小矩形2的面積相等.學生可以列出方程（9-x）x=（9-6）×6，經(jīng)過整理得到x2-9x+18=0，最后得出x 1=3、x 2=6.通過本題的講解分析，學生對轉(zhuǎn)化思想中的補形轉(zhuǎn)化有所感悟，再遇到這類習題時，就能結合題干內(nèi)容進行知識聯(lián)想，合理、有效地應用自己掌握的數(shù)學理論知識.

二、應用換元思想，有效解決方程問題

方程是學生數(shù)學學習的重點，有時涉及多個變量.因此，學生要應用換元思想，將多個變量轉(zhuǎn)化成一個變量，這樣就能根據(jù)已學的知識點進行分析，化繁為簡.要應用換元轉(zhuǎn)化思想，學生就要具備敏銳的觀察力，發(fā)現(xiàn)換元的切入點.在解析方程時，忌過于直來直往，要懂得變通.

以蘇科版初中數(shù)學九年級下冊第5章“二次函數(shù)”的教學為例，教師講解以下這道習題：如果存在方程x2-2xy-3y2=0，試求xy的數(shù)值.這道題屬于二元二次方程，許多學生在解題時會產(chǎn)生疑惑，認為超出初中數(shù)學的學習范圍.但如果經(jīng)過細致分析，就可以看出這道題并非讓學生求出x和y的具體數(shù)值，而是求x和y的比值.這就說明可以將這個比值看成一個整體，將原方程進行適當換元轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化成學生熟悉的方程形式.

根據(jù)題干信息進行分析，如果xy這個數(shù)值可求，那么就證明y≠0.在此基礎上，假設m=xy，原方程左右兩邊可以同時除以y2，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，就變成（xy）2-2xy-3=0，將m代入，原方程就變成m2-2m-3=0，求解方程，可以得出m 1=3、m 2=-1，因此本題所求xy的值為3或-1.學生在面對這類習題時，要明白出題人不會無緣無故地出超綱題，凡涉及多元、多次的題目，所求的數(shù)值又以比值、平方或代數(shù)式的方式為主，可以嘗試應用換元轉(zhuǎn)化思想，將多元多次題目形式轉(zhuǎn)化成一元一次或一元二次題目，再解答問題.

三、應用簡化思想，處理復雜分式題干

越復雜的習題內(nèi)容，越需要進行簡化，化繁為簡是學習數(shù)學的重要方法之一.在分式方程的學習中，這一轉(zhuǎn)化思想應用廣泛.前文所講的換元轉(zhuǎn)化在本質(zhì)上屬于化繁為簡的數(shù)學方法.在實際應用時，學生要具有良好的觀察能力，迅速找到換元的切入點.但簡化思想在分式方程中應用廣泛，考驗學生的基礎能力，如約分、通分是轉(zhuǎn)化思想中化繁為簡的常用方式.

以蘇科版初中數(shù)學八年級下冊第10章“分式”一章的教學為例，教師給出以下例題：（1）當x=（ ）時，分式3x+9x+4有意義;（2）當x=（ ）時，3x+9x+4無意義;（3）當x=（ ）時，3x+9x+4的值為零.這道題考查的是學生對分式基礎概念的理解，要想使這個分式有意義，就要保證分母不為零.相反，若分式無意義，則分母必然為零.若要使分式數(shù)值為零，則要同時保證分子為零、分母不為零.因此，經(jīng)過解答可以得知，（1）題答案為x≠-4，（2）題答案為x=-4，（3）題答案為x=-3.如果解題過程嚴謹，那么（3）題要有驗證過程，將x=-3代入分母中，得出答案不為零，滿足題干要求.

再如以下例題：計算（x-y）x2y+xy2÷x2-y2xy。應先將分式轉(zhuǎn)化成乘法的形式，再將原式進行適當轉(zhuǎn)化，變?yōu)椋▁-y）xy（x+1）2×xy（x+y）（x-y）;最后約分，得出答案為x-y（x+1）（x+y）.

四、應用數(shù)形結合思想，通過圖像分析難題

在初中數(shù)學方程題中，方程的解就是其函數(shù)圖像與x軸的交點坐標.數(shù)學教師在解題時應當結合題干內(nèi)容，理解題意，引導學生將解題思路與函數(shù)圖像結合到一起，利用方程與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系解題.如果要準確計算一些方程題的結果，那么計算步驟將十分復雜.這類方程題往往不屬于計算題，如選擇題.面對這類習題時，學生要換一個角度思考，從數(shù)形結合的角度尋求突破口.

以蘇科版初中數(shù)學八年級下冊第11章“反比例函數(shù)”的教學為例，教師可以引入以下例題：如果存在某實數(shù)n，滿足方程n2+2+4n=0，下列哪個選項對n的估值正確？A.12 D.0

摻雜了一元二次函數(shù)與反比例函數(shù)，

比較特殊，如果直接求解，計算過程將十分煩瑣.如果應用數(shù)形結合的思想，將方程轉(zhuǎn)化成n2+2=-4n，然后令m 1=n2+2，m 2=-4n，就將題目轉(zhuǎn)化成了兩個不同的函數(shù)圖像.根據(jù)兩個圖像的性質(zhì)，m 1的函數(shù)圖像必然在一、二象限，m 2的函數(shù)圖像應在二、四象限.因此，兩個函數(shù)圖像只能在第二象限中有重合點，可知n不可能大于0.由此，選項B為正確答案.當面對多種函數(shù)類型摻雜的題目時，學生需要細心判斷，將復雜的方程以直觀的函數(shù)圖像形式展示出來，在解非證明、非計算的題型時變換解題思維，才能更好地節(jié)約做題時間，提高自身的解題效率.

五、應用問題變更思想，靈活變換解題思路

在解題的過程中，如果一條思路行不通，學生就要將問題進行變更，尋找更加有效的解析思路.想要達成思維訓練的目的，數(shù)學教師應當著重培養(yǎng)學生的數(shù)學基礎，讓學生牢記各種概念、定理.除此之外，教師要注重解題后的復習與鞏固，讓學生經(jīng)?；仡欁鲥e的習題，糾正自己容易犯錯的細節(jié).這樣才能幫助學生掌握轉(zhuǎn)化思想的應用規(guī)律，避免在解題過程中出現(xiàn)錯誤.

以蘇科版初中數(shù)學九年級上冊第2章“對稱圖形——圓”的教學為例，引入以下例題：如圖2所示，如果在矩形ABCD中，滿足AD=8，而點O在直線AD上不斷運動，如果△OBC為等腰三角形，并且滿足這個條件的點O只有三個，試求AB的長度.許多學生在面對這類習題時會習慣性地按照等腰三角形的基本概念進行思考，即OB=OC，OB=BC，OC=BC.但在解析時，學生不知怎樣滿足“點O只有三個”這個條件.對此，可以適當變更問題.首先，在矩形ABCD中，根據(jù)矩形的性質(zhì)，當點O為AD中點時，OB=OC必然滿足題干條件.而關于OB=BC，OC=BC的解析，可以從圓的半徑入手解答.如以B、C分別作為圓心，令BC為半徑進行畫圓.如果BC的長度小于AB，那么兩個圓與直線AD不會形成交點，不滿足題意.若BC等于AB，那么點O剛好能與點A、點D重合，在加上AD的中點，正好滿足“點O只有三個”這個條件，此時BC=8.若BC長度大于AB，那么兩個圓會在AD直線上分別形成兩個交點，加上AD中點，共有五個交點，不滿足題意.但當兩個圓都剛好經(jīng)過AD中點時，交點就變成了三個.此時，根據(jù)勾股定理，AB2=OB2-AO2=BC2-AO2=82-42，可以得出AB=43.

結 語

數(shù)學解題思想從接觸到應用，再到熟練掌握，需要進行長期的實踐練習、鞏固內(nèi)化.教師要為學生引入例題分析，加強學生的聯(lián)想思考，讓學生在面對難題時能迅速找到解題的切入點，采用補形轉(zhuǎn)化、換元轉(zhuǎn)化、化繁為簡、數(shù)形結合、問題變更等方法，完成習題的解析與論證.

【參考文獻】

[1]吳建忠.初中數(shù)學解題中轉(zhuǎn)化思想的有效應用[J].數(shù)學大世界（中旬），2020（9）：81.

[2]林霞.轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學解題教學中的運用[J].數(shù)理化解題研究，2020（20）：13-14.