城市供水管網(wǎng)漏損動態(tài)預測的Bootstrap-Lee-Carter模型*

王 威，叢 旭，武佳佳，馬東輝

(北京工業(yè)大學 城市建設學部，北京 100124)

0 引言

為減少管網(wǎng)失效事件發(fā)生，提高城市供水管網(wǎng)韌性，諸多學者在對城市供水管網(wǎng)爆管率，漏點率以及剩余壽命進行大量預測工作，對城市安全具有重大意義。

管道破損的影響因素較多，Barton等[1]將其歸納為3大類：管道本身性質；環(huán)境因素；運行因素。

王圃等[2]將方差—協(xié)方差優(yōu)選組合模型應用于對給水管網(wǎng)年漏損件數(shù)的預測并進行實例分析，結果表明組合模型具有較高的預測精度；邱云龍[3]針對給水管網(wǎng)漏損特點，用方差-協(xié)方差優(yōu)選組合模型將灰色GM(1,1)模型、二次指數(shù)平滑模型、自回歸移動平均模型應用于漏損頻率的預測，提高單個模型的預測精度；王麗娟等[4]在此基礎上結合漏點數(shù)的季節(jié)性周期特點，建立基于差分自回歸移動平均模型的管網(wǎng)漏損預測模型。

基于管道自身性質的漏損模型預測方面，Kang等[5]根據(jù)GRA的主要程序，對城市供水管網(wǎng)基本滲漏數(shù)據(jù)進行處理，結果反映與滲漏有較大關系的前3個因素為管徑、管道壓力以及深度；包涵等[6]同樣利用灰色模型對管道漏損率進行預測，得出使用等維灰色模型相比傳統(tǒng)灰色模型和無偏灰色模型進行供水管網(wǎng)漏損率預測效果更好；王志紅等[7]針對城市管網(wǎng)漏損率數(shù)據(jù)的非線性和隨機波動性特點，建立以馬爾可夫鏈修正灰色GM(1,1)的預測模型，比較分析灰色和灰色馬可夫鏈預測結果，指出經馬爾可夫鏈修正后的模型預測精度更高。

除了以上幾種預測方法，國內外學者還從神經網(wǎng)絡理論出發(fā)在管道漏損率的預測中進行應用分析。Dongwoo等[8]采用主成分分析(PCA)和人工神經網(wǎng)絡(ANN)用于估計配水管網(wǎng)中的漏水量，并通過Z評分法獲得標準化數(shù)據(jù)，設計并證明PCA-ANN方法比單個ANN模擬更準確地估計泄漏率；邵圓媛[9]在常規(guī)BP神經網(wǎng)絡模型基礎上，結合平行拓撲結構和最小均方誤差識別模式，構建單因素的嵌套GMS神經網(wǎng)絡模型用來進行管網(wǎng)的漏損預測；汪健[10]在人工神經網(wǎng)絡理論基礎上，通過對小波變化的研究，建立小波神經網(wǎng)絡模型對供水管網(wǎng)的壓力及管道進行預測研究。

綜上，國內外學者目前針對供水管網(wǎng)漏損方面均進行了卓有成效的研究，但是在相關討論過程中，目前關于管網(wǎng)漏損率的研究方法大多數(shù)停留在靜態(tài)分析階段，劉曉然等[11]應用動態(tài)分級方法對管網(wǎng)漏損分類分級控制，但并無預測由于時變因素對管網(wǎng)漏損率的影響，所以本文在Lee-Carter模型[12]的基礎上結合曾燕等[13]選用的Bootstrap方法，充分考慮Lee-Carter模型所有參數(shù)的變動性，對昆明市某供水管網(wǎng)的漏點率進行動態(tài)分析，以便彌補靜態(tài)分析模型的不足。

1 供水片區(qū)管網(wǎng)概況

基于前期調研資料[14]，截止到2016年，昆明市某片區(qū)供水管網(wǎng)約413 km，2016年平均日供水量約1.46×104m3，供水面積約106 km2，并供約36.2萬人口使用。不同管徑和管材管道占比統(tǒng)計如表1所示，不同管材管道占比統(tǒng)計如表2所示。

表1 不同管徑管道統(tǒng)計情況

表2 不同管材管道統(tǒng)計情況

2 Lee-Carter模型動態(tài)分析及其參數(shù)估計

2.1 模型簡介

以供水管網(wǎng)的管齡時間作為影響管道漏點率的主要影響因素，Lee-Carter模型如式(1)所示:

lnmx,t=ax+bxkt+εx,t

(1)

式中：mx,t為t年管徑/管材為x的管道漏點率；kt為依賴于時間t的參數(shù)；ax為依賴于管徑/管材的參數(shù)；bx為各管徑/管材漏點率對kt的敏感度；εx,t為誤差項。

(2)

式中：c為任意常數(shù)。

對模型參數(shù)進行歸一化處理，如式(3)所示：

(3)

式中：t為年份；T為年份總數(shù)；x為管徑或管材。

Lee-Carter模型預測供水管網(wǎng)漏損預測實現(xiàn)步驟：1)通過往年漏點率數(shù)據(jù)估計參數(shù)ax，bx，kt；2)通過ARIMA方法得到kt在未來的預測值；3)將kt及ax,bx代入模型，以獲得漏點率的預測值。

2.2 參數(shù)估計

1)最小二乘法(OLS)

基于Lee-Carter模型的假設，如式(4)所示：

(4)

將式(1)兩邊對管徑/管材x進行求和，如式(5)所示：

(5)

(6)

2)加權最小二乘法(WLS)

(7)

式中：dx,t為管道漏點數(shù)。

2.3 數(shù)據(jù)與擬合結果

采用OLS和WLS對該片區(qū)供水管網(wǎng)數(shù)據(jù)分析，可得不同管徑管道的Lee-Carter模型參數(shù)的估計值，如圖1所示。不同管材管道的Lee-Carter模型參數(shù)的估計值如圖2所示。kt值整體上變化幅度較??；ax代表管道的中心漏點率，隨著管徑增大漏點率減??；從bx的波動可以看出，小管徑管道對時間因子的敏感度較低，大管徑管道對時間更為敏感。

圖1 不同管徑管道經典模型的參數(shù)估計值

針對球墨鑄鐵管(DIP)、灰口鑄鐵管(GCIP)、鋼管(SP)、PE管(PEP)和水泥管(CP)進行模型參數(shù)估計，由圖2可知，2種估計方法得到的管材kt值整體上變化幅度比較?。籥x的參數(shù)值反映出，DIP的管道漏點率較低，其余5種管材類型的管道均具有較高的漏點率；DIP，PEP和CP受時間因子影響較小，而GCIP和SP受時間因子影響較大。

圖2 不同管材管道經典模型的參數(shù)估計值

在2種參數(shù)估計方法中，OLS假設殘差獨立同分布；WLS假設殘差獨立，但方差與管道漏點數(shù)有關。為檢驗2種方法的殘差是否滿足各自的殘差假設，可根據(jù)參數(shù)估計時做的分布假設對2種方法殘差進行修正。若殘差的分布假設成立，則修正后的殘差應具有明顯的獨立同分布性。因此修正后殘差的獨立同分布性質可用來判別這2種估計方法的優(yōu)劣。

根據(jù)式(1)可知，OLS估計的殘差假設為獨立同分布，因此不用對殘差進行修正，如式(8)所示：

(8)

WLS的殘差平方以管道漏點數(shù)作為權重，因此定義其修正后的殘差，如式(9)所示：

(9)

利用MATLAB編程，可得到不同管徑管道的殘差等高線圖如圖3所示，不同管材管道的殘差等高線圖如圖4所示。從圖3中管徑的殘差等高線圖中可以看出OLS和WLS均具有一定的聚集特性，而圖4中管材的殘差等高線圖都表現(xiàn)出了較好的隨機性。本文采用Levene方差齊性檢驗方法[15]對其進行分析，結果如表3所示。

圖3 不同管徑管道的2種參數(shù)估計方法的殘差等高線

圖4 不同管材管道的2種參數(shù)估計方法的殘差等高線

基于Levene檢驗的參數(shù)值如表3所示。可知，無論按照管徑類別或管材類別，還是按照年齡，F(xiàn)>P，即第1列都大于最后1列，說明接收H0，不接受H1，不同方差齊性，各個樣本方差不相同?？紤]時間因子，WLS的p值更大，結合殘差等高線圖，綜合考慮WLS作為參數(shù)的估計方法更優(yōu)。

表3 基于Levene檢驗參數(shù)值

3 經典Lee-Carter模型預測管道漏點率

圖5 2017年不同管徑管道漏點率預測值置信區(qū)間

圖6 2017年不同管材漏點率預測值置信區(qū)間

由圖5和圖6可知，供水管道漏點率預測值的置信區(qū)間并不太準確，原因在于傳統(tǒng)的Lee-Carter模型沒有考慮其他2個參數(shù)ax，bx的變動性。而Lee-Carter模型不能通過傳統(tǒng)的檢驗方法對參數(shù)進行檢驗，其參數(shù)的分布不能由已知的分布函數(shù)進行描述，因此可結合Bootstrap方法對模型參數(shù)進行估計，并計算參數(shù)及漏點率的置信區(qū)間。

4 結合Bootstrap方法預測漏點率

以傳統(tǒng)Lee-Carter模型作為漏點率預測模型，基于Bootstrap方法計算參數(shù)置信區(qū)間的穩(wěn)健性，同時在考慮所有參數(shù)變動性的基礎上預測未來漏點率的置信區(qū)間。具體實現(xiàn)步驟如下[13]：

(10)

圖7 2017年不同管徑管道Bootstrap漏點率預測值置信區(qū)間

圖8 2017年不同管材管道Bootstrap漏點率預測值置信區(qū)間

將2017年不同管徑以及不同管材的管道Bootstrap預測的漏點率預測與實際的漏點率進行對比，誤差統(tǒng)計如表4所示。

由表4可知，DN800的管道的預測值和實際值之間誤差較大，其余管徑類型誤差較小，這是由于大管徑管道實際漏點率較低，計算相對誤差時作為分母較小，導致誤差增大，但就漏點率本身而言，預測值與實際值接近。對于不同管材的管道，計算結果顯示其他管材類型的管道誤差稍高，主要考慮到種類較多，因而漏點數(shù)的累積值較大，但預測值與實際值接近。

表4 2017年的Bootstrap漏點率預測值誤差統(tǒng)計

綜上，結合Bootstrap方法的Lee-Carter模型預測管道漏點率在精度上有較大提高，擬合效果貼近實際情況。

5 結論

1)基于Lee-Carter模型對昆明市某供水片區(qū)的管道漏點率進行擬合與預測，分析得到加權最小二乘法的殘差具有較好的獨立同分布性質。結果表明，利用Bootstrap方法預測的管道漏點率置信區(qū)間能夠包含真實的漏點率，具有較高的精度。

2)從分析結果可以得到影響管道剩余壽命的2個危險因子——管齡和管徑：管道的年限越長，管徑越小，管道剩余壽命愈短，即管道的漏損率越高。在城市供水管網(wǎng)系統(tǒng)中，為避免爆管事故的頻繁發(fā)生，需要采取針對性措施降低管道的滲漏風險，延長管道經濟剩余壽命。