基于撓度分析的等截面連續(xù)梁合理邊中跨跨徑比

楊 毅

（中鐵二十三局集團(tuán)第三工程有限公司 四川成都 611130）

1 引言

在房屋建筑和橋梁工程中，常遇到多跨連續(xù)梁的情況。與簡支梁相比，連續(xù)梁在中間支座處承受負(fù)彎矩，跨中正彎矩和撓度顯著減小，因此，相同跨徑下，采用連續(xù)梁可減小跨中梁截面尺寸[1- 2]。連續(xù)梁的跨徑布置有等跨和不等跨兩種形式[3]。雖然等跨連續(xù)梁施工較為方便，但由于其邊跨缺少轉(zhuǎn)動約束，邊跨支座的負(fù)彎矩（指邊跨內(nèi)支座處）大于中間跨支座[4]。以滿跨均布荷載作用下的四跨等截面連續(xù)梁為例，邊跨支座的負(fù)彎矩約為中間跨支座的1.5倍，邊跨的最大正彎矩為中間跨的2.1倍，邊跨的向下?lián)隙葮O值為中間跨的3.4倍[5]。

采用不等跨布置時(shí)，邊中跨跨徑比一般為0.6～0.8[6-7]，主要是為減小第1跨跨中彎矩和支座負(fù)彎矩。近年來，對連續(xù)梁橋的研究主要偏向于受力方面，而對撓度的研究較少，一般認(rèn)為在滿足受力前提下，跨中最大撓度滿足相關(guān)規(guī)范要求的撓度限值即可。通過設(shè)置預(yù)拱度的方法可以抵消恒載的短期撓度，但考慮長期作用，恒載的長期撓度還會繼續(xù)增大，公路相關(guān)規(guī)范規(guī)定長期撓度為短期撓度的1.35～2.0倍[8]，而大跨徑預(yù)應(yīng)力混凝土梁橋的病害之一為主梁跨中的長期撓度過大[9-11]。若能在設(shè)計(jì)之初，最大限度地減小主梁跨中最大撓度值，則長期撓度也會相應(yīng)減小。從行車平順性考慮，連續(xù)梁的撓曲線越小越平緩，車輛行駛則更為舒適。

由文獻(xiàn)[12]可知，當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.8時(shí)，各支座負(fù)彎矩、各跨中最大正彎矩和各支反力值整體最小。本文以等截面連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲變形值為研究對象，用奇異函數(shù)法推導(dǎo)出連續(xù)梁在均布荷載和集中荷載作用下的撓曲線方程，得出在不同總跨數(shù)和邊中跨跨徑比條件下，連續(xù)梁的撓曲變形隨跨數(shù)和邊中跨跨徑比的變化關(guān)系；以結(jié)構(gòu)在均布荷載和集中荷載作用下各跨向上撓度極值和向下?lián)隙葮O值整體最小為目標(biāo)，綜合得出不等跨連續(xù)梁的合理邊中跨跨徑比，為連續(xù)梁的變形設(shè)計(jì)提供參考。

2 連續(xù)梁撓度求解

連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲變形可采用初參數(shù)法、拉普拉斯變換、奇異函數(shù)法等方法求解。其中初參數(shù)法適用于一般情況，但對于有突變荷載情況，撓度計(jì)算公式在荷載突變處要分段表達(dá)而顯得較為繁瑣。奇異函數(shù)法可以得出任意荷載作用下?lián)锨€的統(tǒng)一表達(dá)式。將拉普拉斯變換與奇異函數(shù)相結(jié)合，使復(fù)雜加載條件下連續(xù)梁的變形求解更為簡單，本文采用奇異函數(shù)法求解連續(xù)梁的變形。

連續(xù)梁上作用有一段均布荷載和集中荷載（見圖1），其中q為均布荷載，Pj為作用在第j跨內(nèi)的集中荷載，連續(xù)梁第i跨跨徑為li，坐標(biāo)系統(tǒng)以梁的受力方向向上為正，以梁的變形（y）向上為正，用奇異函數(shù)表達(dá)距第1支座為x的點(diǎn)的連續(xù)梁跨內(nèi)荷載分布 q（x）表達(dá)式：

圖1 連續(xù)梁計(jì)算模型

式中：a0和a1分別為均布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)至第1支座的距離；di為第i＋1支座至第1支座的距離；Ri為第i支座的支反力；bj為第j跨內(nèi)集中荷載至第1支座的距離。對（1）式進(jìn)行兩次積分，可得到連續(xù)梁的彎矩表達(dá)式：

小變形情況下，梁的撓曲線近似微分方程為：

式中：EI為連續(xù)梁截面的抗彎剛度。對式（3）進(jìn)行兩次積分，可得連續(xù)梁撓曲線方程：

本文研究滿跨均布荷載和單個集中荷載作用下連續(xù)梁的受力情況，有a0＝0，a1＝dn，在第j跨上作用有集中荷載Pj，則式（4）變?yōu)椋?/p>

令連續(xù)梁的兩邊跨跨徑相等，則l1＝ln，其余中間跨的跨徑相等，其值為l，則邊中跨跨徑比為：α＝l1／l。根據(jù)其余n－1個支承處豎向位移等于0的條件，可得出如下n－1個方程：

式中：k＝2，3，…，n－1，n－1＋α；s＝α＋k－1；βj＝bj／lj。

再補(bǔ)充力的平衡條件和力矩的平衡條件，可得矩陣方程：

求解矩陣方程可得各支座支反力，代入式（5）就可得到連續(xù)梁在荷載作用下的撓曲線方程表達(dá)式，從而求出每跨連續(xù)梁的向上撓度極值（各跨最大值）和向下?lián)隙葮O值（各跨最小值）。

3 均布荷載下不同邊中跨跨徑比連續(xù)梁撓度

3．1 均布荷載下連續(xù)梁撓度特征

選取4～5跨連續(xù)梁在均布荷載作用時(shí)不同邊中跨跨徑比情況下的變形特征為對象，梁的撓曲變形采用無量綱化處理，表示為yEI／ql4，如圖2所示。當(dāng)邊中跨跨徑比小于1時(shí)，為方便比較圖中邊跨按跨長為1繪制。

圖2 連續(xù)梁撓度特征曲線

由圖2可知，邊中跨跨徑比對第1～3跨撓度有明顯影響，當(dāng)邊中跨跨徑小于0．8時(shí)，邊跨會出現(xiàn)向上的撓度，當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0．8時(shí)，第2跨靠近支座處出現(xiàn)向上撓度，究其原因由于連續(xù)梁在支座處左右兩側(cè)剪力值不等所造成。較為合理的邊中跨跨徑比可使梁在均布荷載作用下各跨向下?lián)隙葮O值趨于一致。對3～7跨連續(xù)梁在均布荷載作用下的分析表明，第3跨以后的撓度基本不隨邊中跨跨徑比的變化而變化。

3．2 邊中跨跨徑比對撓度極值的影響

選取4～5跨連續(xù)梁在均布荷載作用下各跨向上撓度極值和向下?lián)隙葮O值為例，說明隨邊中跨跨徑比的變化情況，如圖3、圖4所示。

圖3中，當(dāng)α小于等于0．81時(shí)，第1跨向上撓度極值隨α的增加呈先增加后減小趨勢，在α值為0．4時(shí)向上撓度極值最大。第2跨的向上撓度極值在α小于0．83時(shí)為零；當(dāng)α大于0．83時(shí)，隨α的增加而增加。第3跨的向上撓度極值變化趨勢與第1跨相似，只是向上撓度極值遠(yuǎn)小于第1跨，其余跨向上撓度極值基本趨于零。綜合各跨撓度情況，當(dāng)α值在0．81～0．83時(shí)，連續(xù)梁向上撓度極值接近于零。

圖3 向上撓度極值隨邊中跨跨徑比變化曲線

圖4中，當(dāng)α小于等于0．5時(shí)，第1跨向下?lián)隙葮O值為零，當(dāng)α大于0．5時(shí)，向下?lián)隙葮O值隨著α的增加而增加。第2跨的向下?lián)隙葮O值隨α的變化趨勢呈先增加后減小趨勢，在α值為0．4時(shí)，向下?lián)隙葮O值最大。第3跨的向下?lián)隙葮O值隨α的變化趨勢呈先減小后增加趨勢，在α值為0．4時(shí)，向下?lián)隙葮O值最小。要各跨向下?lián)隙葮O值均取較小值，應(yīng)取圖4曲線交點(diǎn)處位置，此時(shí)α值為0．82。

圖4 向下?lián)隙葮O值隨邊中跨跨徑比變化曲線

3．3 跨數(shù)對連續(xù)梁撓度的影響

選取3～7跨連續(xù)梁向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾翟诓煌呏锌缈鐝奖认碌挠?jì)算結(jié)果，如圖5所示。

圖5 撓度隨跨數(shù)變化曲線

連續(xù)梁向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾惦S跨數(shù)的增加呈波動變化關(guān)系，跨數(shù)越小波動幅度越大。當(dāng)跨數(shù)大于5跨時(shí)，向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾祷沮呌诜€(wěn)定值，只有邊中跨跨徑比α接近0．82時(shí)，向上撓度最大值和向下?lián)隙茸畲笾挡▌臃茸钚?，基本不隨跨數(shù)的增加而變化。

4 集中荷載下不同邊中跨跨徑比連續(xù)梁撓度

當(dāng)有移動集中荷載（P＝1）作用在連續(xù)梁上時(shí)，位移也采用無量綱化表示，則集中荷載作用下的位移表示為yEI／Pl3，可用位移影響線表示移動荷載作用下連續(xù)梁某位置的變形[19]，將所有位置繪制的位移影響線曲線疊加，得到一個填充區(qū)域，這個區(qū)域的上、下邊界線就是結(jié)構(gòu)的位移影響線包絡(luò)圖。位移影響線包絡(luò)圖反映了移動荷載在連續(xù)梁上作用時(shí)，所產(chǎn)生的最大和最小撓度。

4．1 集中荷載下連續(xù)梁撓度影響線包絡(luò)圖特征

以4～5跨連續(xù)梁為例，在集中荷載作用下不同邊中跨跨徑比的位移影響線包絡(luò)圖特征如圖6所示。當(dāng)邊中跨跨徑比小于1時(shí)，為方便比較圖中邊跨按跨長為1繪制。邊中跨跨徑比的變化對第1跨和第2跨的撓度包絡(luò)圖極值影響最為明顯，第3跨及以后的影響可忽略不計(jì)。對3～7跨連續(xù)梁在集中荷載作用的分析結(jié)果表明，第3跨以后的撓度包絡(luò)圖極值基本不隨邊中跨跨徑比的變化而變化。

圖6 連續(xù)梁撓度影響線包絡(luò)圖

4．2 邊中跨跨徑比對撓度影響線極值的影響

分別將4～5跨連續(xù)梁前3跨的撓度影響線包絡(luò)圖極值在不同邊中跨跨徑比下的變化情況用圖7表示?？梢姛o論向上撓度極值還是向下?lián)隙葮O值都隨著邊中跨跨徑比的增加而增加，第1跨隨邊中跨跨徑比的增加變化幅度最為明顯，其他跨增幅逐漸趨于平緩。

圖7 連續(xù)梁各跨撓度影響線包絡(luò)圖極值特征曲線

將3～7跨連續(xù)梁在集中荷載作用下位移影響線包絡(luò)圖的向上和向下最大值隨邊中跨跨徑比的變化情況用圖8表示。可見向上撓度影響線包絡(luò)圖和向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值隨α的增加而增加，向上撓度影響線包絡(luò)圖的最大值當(dāng)α大于0．88后增幅更為明顯，而向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值當(dāng)α大于0．9后增幅明顯?？紤]到在集中荷載下連續(xù)梁撓度增幅不要過大，則應(yīng)使邊中跨跨徑比小于等于0．88。

圖8 撓度影響線包絡(luò)圖最大值

4．3 跨數(shù)對連續(xù)梁撓度影響線極值的影響

選取3～7跨連續(xù)梁向上撓度影響線包絡(luò)圖最大值和向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖最大值在不同邊中跨跨徑比下的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析。

連續(xù)梁向上位移影響線包絡(luò)圖最大值和向下位移影響線包絡(luò)圖最大值隨跨數(shù)的增加基本呈逐漸增加的趨勢，當(dāng)跨數(shù)大于7時(shí)位移影響線包絡(luò)圖最大值基本趨于恒定。當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0.88時(shí)，向上位移影響線包絡(luò)圖最大值不隨跨數(shù)的增加而變化；當(dāng)邊中跨跨徑比大于等于0.90時(shí)，向下位移影響線包絡(luò)圖最大值也不隨跨數(shù)的增加而變化。

5 結(jié)論

通過對不同跨數(shù)和不同邊中跨跨徑比情況下等截面連續(xù)梁的撓度分析，得出以下結(jié)論：

（1）均布荷載作用下，當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.82時(shí)，各跨向下?lián)隙葮O值取較小值，各跨向上撓度值為零。

（2）均布荷載作用下，當(dāng)邊中跨跨徑比接近0.82時(shí)，各跨撓度最大值基本不隨連續(xù)梁跨數(shù)的增加而變化。

（3）集中荷載作用下，當(dāng)邊中跨跨徑比小于等于0.88時(shí)，各跨向上、向下?lián)隙扔绊懢€包絡(luò)圖的最大值取值較為合理。

（4）綜合考慮均布荷載和集中荷載兩種作用情況，當(dāng)邊中跨跨徑比為0.82時(shí)，連續(xù)梁撓度整體較小，撓度最大值基本不隨連續(xù)梁跨數(shù)的增加而變化。

雖然確定等截面連續(xù)梁橋的跨徑布置受地形地貌、跨越障礙等因素的限制，但對多跨布置的連續(xù)梁橋，當(dāng)橋下凈空無要求時(shí)可采用邊跨和中跨不等跨布置。此時(shí)，為了使連續(xù)梁在荷載作用下?lián)锨冃慰傮w最小，邊中跨跨徑比建議取值為0.82。