“理法相融”中的分?jǐn)?shù)概念深度學(xué)習(xí)

林志輝 陳柯柯

【摘 要】學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的“部分與整體”意義理解不是一蹴而就的，分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單計(jì)算雖是一節(jié)同分母計(jì)算課，卻承擔(dān)著豐富分?jǐn)?shù)概念的教學(xué)價(jià)值。本節(jié)課在“分吃一塊巧克力”的大情境中，在大活動(dòng)的推進(jìn)里，在大問(wèn)題的引領(lǐng)下，圍繞算法的探究、遷移和融通，從算理的明晰走向算理的深化和內(nèi)化，進(jìn)一步豐富了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“部分與整體關(guān)系”的意義理解，實(shí)現(xiàn)從程序性的知識(shí)學(xué)習(xí)走向理解性的深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)? 同分母? 簡(jiǎn)單計(jì)算

教學(xué)內(nèi)容：人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊(cè)P96、P97。

分?jǐn)?shù)的意義理解及運(yùn)算是小學(xué)課程的重要內(nèi)容，第一學(xué)段對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解主要集中在“部分與整體關(guān)系”的意義理解。本課作為“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的后續(xù)課例，同樣也承載著促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的“部分與整體”意義理解的要求。那么，如何在一堂計(jì)算課中豐富分?jǐn)?shù)概念呢？

學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的加減都有了怎樣的認(rèn)知起點(diǎn)呢？為此，筆者抽樣屬地農(nóng)村及城市三年級(jí)165名學(xué)生進(jìn)行分母為10以內(nèi)的同分母分?jǐn)?shù)相加減的前測(cè)（如圖1）。

從前測(cè)反饋中（如表1）可以很明顯地看到學(xué)生基本都已掌握同分母分?jǐn)?shù)加減法的算法，這樣的課堂里我們教什么？課堂的增量在哪里？深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，如何帶領(lǐng)學(xué)生從已知的程序性知識(shí)走向理解性學(xué)習(xí)是筆者在思考的。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求“能結(jié)合具體情境初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，會(huì)分母小于10的同分母分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算”，這里的“結(jié)合具體情境”明確了應(yīng)在結(jié)合情境表征的情況下學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)。對(duì)比多個(gè)版本教材，都編排了大量的圖形、情境、文字與符號(hào)等不同表征及多種表征相互轉(zhuǎn)換的內(nèi)容。學(xué)生會(huì)算，就表示他們真的明白為什么這樣算嗎？它們的表征情況又如何呢？于是，筆者展開(kāi)了進(jìn)一步的前測(cè)（如圖2）。

筆者通過(guò)提供具體情境，讓學(xué)生嘗試通過(guò)畫(huà)一畫(huà)直觀表征算理，寫一寫符號(hào)表征算式（如圖2），發(fā)現(xiàn)學(xué)生算理表征的正確率并不高，即學(xué)生知其然卻不知其所以然。由此，我們確定了以多元表征為載體，以理法相融為路徑，豐富分?jǐn)?shù)的概念意義的教學(xué)方式。

一、情境導(dǎo)入，激活概念

師：假如這是一塊巧克力，把它平均分成2份，再把剩下的部分又平均分成2份。你能看到哪個(gè)分?jǐn)?shù)？你是怎么想的？（如圖3）有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)？

學(xué)生提出看到2個(gè) ，4個(gè)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)巧克力的均分，促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“部分與整體”意義的理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減的算理埋下伏筆。

二、理法勾連，豐富概念

1.算法探究，明晰算理

師（出示圖4）：你更贊成哪種？

生1：我支持右邊的，8+8=16，2+1=3，所以就是。

生2：我支持左邊的，媽媽說(shuō)過(guò)只用加分子，分母是不變的。

師（出示圖5）：現(xiàn)在你又怎么想？同桌互相交流。

生1：我支持左邊的，吃的一直是同一塊巧克力，這塊巧克力只被分成8份，而不是16份。

生2：對(duì)，這塊巧克力被平均分成8份，先吃了2份，再吃了1份，吃了這8份里的3份，所以是。

生3：2個(gè)加1個(gè)等于3個(gè)，就是。

師：你們是這個(gè)意思嗎？（播放學(xué)生直觀表征視頻）

師：為什么+ 不等于呢？

生：比還要小，越加越小了。

（教師課件呈現(xiàn)色塊比較大小，如圖6）

設(shè)計(jì)意圖：圖形的表征是學(xué)生真實(shí)的分?jǐn)?shù)加減前概念，當(dāng)學(xué)生在辨析中進(jìn)行表征互通，將抽象的數(shù)運(yùn)算具象地表達(dá)出來(lái)。通過(guò)結(jié)果的大小比較，讓學(xué)生從不同的維度意識(shí)到分母相加是錯(cuò)誤的，這樣不僅開(kāi)拓了學(xué)生的思維路徑，更對(duì)數(shù)感有了一定的培養(yǎng)，增強(qiáng)了思維的雙向性。

2.算法運(yùn)用，內(nèi)化算理

師：和你的小伙伴一起“吃”一塊巧克力，你們會(huì)怎么“吃”呢？

（學(xué)生完成“課內(nèi)活動(dòng)單（一），同桌分吃巧克力”）

（教師反饋學(xué)生作品）

師（如圖7）：想象一下圖怎么畫(huà)。

生：我想他可能是一個(gè)人吃了里面的4份，另一個(gè)人吃了1份。

師（如圖8）：真會(huì)推測(cè)，那同學(xué)A比同學(xué)B多吃了幾分之幾呢？

生1：多吃了，同學(xué)A吃了6份里的4份，同學(xué)B吃了其中的1份。

生2：同學(xué)A吃了4個(gè)，同學(xué)B吃了其中的1個(gè)，列式就是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

師：你覺(jué)得他們是怎么吃的呢？

生1：我覺(jué)得可能是一個(gè)人吃了其中的3份，另一個(gè)人吃了其中的2份。

生2：我猜可能是一個(gè)人吃了，另一個(gè)人沒(méi)有吃。

生3：可能和前面一幅作品吃得一樣多。

師：他們倆誰(shuí)吃得多，多吃了幾分之幾呢？

生1：同學(xué)A比同學(xué)B多吃了1份，也就是。

生2：3個(gè)比2個(gè)多1個(gè)，列式就是。

師（如圖11）：現(xiàn)在一共吃了幾分之幾？

生1：一個(gè)人可能吃了，另一個(gè)人吃了，算式可以寫成。

生2：我覺(jué)得整塊巧克力都吃完了，還可以寫作1，所以算式還可以寫成。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)看算式猜圖，看圖猜算式，這樣雙向的作品反饋，互譯直觀的圖形表征和抽象的符號(hào)表征，學(xué)生的表達(dá)從模糊走向精準(zhǔn)，不斷豐富對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)。

（三）聚焦疑難，深化算理

師：我也想和你們一起分著吃，你們打算吃多少，留給我多少呢？

學(xué)生完成“課內(nèi)活動(dòng)單（二），和老師分吃巧克力”。

師（如圖12）：你覺(jué)得他是怎么分這塊巧克力的？你能想象他畫(huà)的圖嗎？

生：平均分成了4份，他吃了，給老師留了。（如圖13）

師（如圖14）：你覺(jué)得他會(huì)怎么列算式？

生1：我猜他會(huì)列成。

生2：我覺(jué)得他會(huì)列成，因?yàn)?=，所以可以直接寫成1減??！

（師拓展“1-（）”，并用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)展示）（如圖15）

圖15 課件演示“1-（）”

設(shè)計(jì)意圖：等值分?jǐn)?shù)是學(xué)生在求解“? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?”的主要難點(diǎn)，本環(huán)節(jié)通過(guò)3層表征互通，逐一破解。第一次展示學(xué)生的作品，通過(guò)看算式猜圖、看圖猜算式，不斷讓學(xué)生感悟到分?jǐn)?shù)部分與整體及測(cè)量的概念。接著展示第二層次的作品，讓學(xué)生意識(shí)到還能寫成的格式，將上一個(gè)環(huán)節(jié)中的等值分?jǐn)?shù)進(jìn)行遷移。最后通過(guò)幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)增加功能，將一塊巧克力不斷細(xì)分，通過(guò)極限的思維將等值分?jǐn)?shù)進(jìn)行破解。

三、拓展提升，延展概念

師（如圖16）：我這里有一塊巧克力，你知道我吃了多少巧克力嗎？

生1：，因?yàn)槠骄殖?份，巧克力占了3份。

生2：，因?yàn)椤?/p>

師（如圖17）：繼續(xù)分，現(xiàn)在呢？

生1：平均分成8份，吃了7份，所以是。

生2：。

師：繼續(xù)不斷分下去，現(xiàn)在呢？（如圖18）你們?cè)趺催@么快就知道了？

生：原來(lái)我是切割的，但是現(xiàn)在切小了之后越來(lái)越難數(shù)了，還是前面同學(xué)們的1減去空白部分算得快，所以我直接用，把1想成，這樣就快了。

師：繼續(xù)想象，不斷細(xì)分下去，你還能知道我吃了幾份嗎？

生：只要把1想成幾分之幾，然后減去空白就可以了！

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生的兩種思路（累加色塊和單位1減空白）各有千秋，在語(yǔ)言表征、圖形表征和符號(hào)表征的勾連中理解了分?jǐn)?shù)加減的算理，豐富了分?jǐn)?shù)的概念。

【反思】

大情境——素材結(jié)構(gòu)化

從前測(cè)、新授到練習(xí)，一直沿用分巧克力這一情境，充分發(fā)掘資源素材。從練習(xí)環(huán)節(jié)的同桌同吃長(zhǎng)方形巧克力，到和老師分吃圓形巧克力，再到拓展題中的正方形巧克力，學(xué)生在結(jié)構(gòu)化的素材中不斷豐富了對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解。

學(xué)生通過(guò)情境表征、圖形表征、語(yǔ)言表征和符號(hào)表征間的互通、互譯、互聯(lián)，喚醒原本深藏不露的知識(shí)前概念和方法元認(rèn)知，在表征的勾連中，對(duì)算法與算理的理解更清晰、更深刻！