利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性

許莉

[摘 要]導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要工具，利用求導(dǎo)研究含參函數(shù)的單調(diào)性是高考的熱點(diǎn)，也是學(xué)生感到棘手的一個(gè)問(wèn)題.文章結(jié)合實(shí)例，分類(lèi)討論研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系.

[關(guān)鍵詞]導(dǎo)數(shù);函數(shù);單調(diào)性

[中圖分類(lèi)號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）14-0030-02

一、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

小結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：第一步，求函數(shù)的定義域;第二步，求導(dǎo)數(shù)[f ′（x）]，其中求導(dǎo)后若有分母就考慮通分，若能因式分解就要因式分解，不能因式分解再考慮求根公式或者其他化簡(jiǎn);第三步，在函數(shù)[f（x）]的定義域內(nèi)解不等式[f ′（x）>0]和[f ′（x）<0];第四步，寫(xiě)出函數(shù)[f（x）]的單調(diào)區(qū)間.

二、利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

小結(jié)：求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)為含參的二次函數(shù)，但是不能判斷導(dǎo)函數(shù)是否有零點(diǎn)，則需要根據(jù)判別式的正負(fù)從而得到“存在零點(diǎn)”和“不存在零點(diǎn)”的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)判別式大于零時(shí)，還要判斷是否可以比較兩零點(diǎn)的大小，以及零點(diǎn)與定義域的關(guān)系，做到分類(lèi)有序、不重不漏[[2]].

通過(guò)以上例題發(fā)現(xiàn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)有效的工具.利用導(dǎo)數(shù)求含參函數(shù)單調(diào)性的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為：（1）求導(dǎo)后若導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的一次函數(shù)，可以根據(jù)含參數(shù)的一次函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.（2）求導(dǎo)后若導(dǎo)函數(shù)為含參數(shù)的二次函數(shù)，若求導(dǎo)后不能判斷開(kāi)口方向的，分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)是先討論二次函數(shù)的開(kāi)口方向，再討論是否存在零點(diǎn);若求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)可以直接因式分解得到零點(diǎn)，則分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是直接對(duì)零點(diǎn)進(jìn)行分類(lèi)討論;若求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)確定了開(kāi)口方向，但是不能判斷是否有零點(diǎn)，則分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是直接對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論[[3]].而在分類(lèi)時(shí)要做到不重不漏.

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 祝敏芝.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（Z1）：130-133.

[2]? 王歷權(quán)，范美卿，金雷.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（7）：36-39.

[3]? 陳達(dá)輝.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的幾種類(lèi)型[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（8）：97.

（責(zé)任編輯 陳 昕）