函數(shù)思想在高中數(shù)列問題中的應(yīng)用

◇內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 吳 爽 張 靜 徐小琴

數(shù)列是以自變量為正整數(shù)集的一類特殊函數(shù)，是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容.借助數(shù)列的函數(shù)特性解決數(shù)列問題在一定程度上簡化運(yùn)算，同時(shí)也對數(shù)列的幾何意義有更深刻的認(rèn)識.借助函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)以及構(gòu)造函數(shù)幾種途徑研究和解決數(shù)列問題，對于解決數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)列最值等問題有重要作用.

數(shù)列是按照一定順序排列的一列數(shù)[1].數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，定義在正整數(shù)集或其有限子集.當(dāng)自變量按照正整數(shù)從小到大依次取值時(shí)，對應(yīng)的一列函數(shù)值為，對應(yīng)的通項(xiàng)公式為[2].由此可見，任何數(shù)列問題都蘊(yùn)含著函數(shù)的本質(zhì)及意義，具有函數(shù)的一些固有特征.克萊因曾說：“函數(shù)是數(shù)學(xué)的靈魂[3].”函數(shù)思想是數(shù)學(xué)思想的重要組成之一，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思維策略.數(shù)列一直以來都是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，而數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用是高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn).因此我們在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)充分利用函數(shù)相關(guān)知識，通過其概念、圖象和性質(zhì)，將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，探究它們間的內(nèi)在聯(lián)系，從而有效的簡化數(shù)列問題，最終解決問題.以函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)為工具，揭示函數(shù)思想在數(shù)列問題中的應(yīng)用技巧.

1 借助函數(shù)定義簡化數(shù)列問題

2 巧用函數(shù)圖象簡化數(shù)列問題

3 活用函數(shù)性質(zhì)簡化數(shù)列問題

函數(shù)性質(zhì)是顯性反映函數(shù)特征的手段，在數(shù)列中，函數(shù)的諸多性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等都有著較廣泛的應(yīng)用.利用函數(shù)的單調(diào)性可以找出數(shù)列及數(shù)列前 項(xiàng)和的最值點(diǎn)，求解通項(xiàng)公式中的參數(shù)；利用周期性可以將較遠(yuǎn)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為較近項(xiàng)，簡化數(shù)列問題，從而達(dá)到較好的解題效果.

3.1 活用函數(shù)單調(diào)性

3.2 活用函數(shù)周期性

分析：本題的常規(guī)解法是根據(jù)已知條件求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出所需項(xiàng)，但此題對于求通項(xiàng)公式具有一定的難度，不易求解.若借助函數(shù)的周期性，根據(jù)題意找出規(guī)律，找到數(shù)列的周期，將所需的較遠(yuǎn)項(xiàng)轉(zhuǎn)化為易得的較近項(xiàng)，即可輕易解答問題.

4 構(gòu)造函數(shù)簡化數(shù)列問題

構(gòu)造函數(shù)是函數(shù)思想的重要體現(xiàn)，同時(shí)，構(gòu)造法在解決數(shù)列問題中起著至關(guān)重要的作用.對于既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列的問題，往往需要通過函數(shù)變換構(gòu)造新函數(shù)將其轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，達(dá)到簡化問題的目的，從而使問題得以解決.在構(gòu)造函數(shù)的過程中，往往需要一定的觀察、分析問題的能力.