廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程的孤子解

郭婷婷

（山西工程科技職業(yè)大學(xué)，山西 太原030619）

0 引言

在許多工程領(lǐng)域中，非線性偏微分方程用以描述自然界中的非線性現(xiàn)象.與經(jīng)典的常系數(shù)孤子方程相比，變系數(shù)孤子方程更能貼近現(xiàn)實(shí)地反映問題的本質(zhì)，因此，對廣義變系數(shù)非線性方程的研究受到廣大研究學(xué)者的關(guān)注.

對于常系數(shù)的（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程［1］

專家們曾對其做了一系列的研究工作，可以采用對稱與微分方程約化法［2］來構(gòu)造該方程的孤子解，這一方法主要基于Lie群［3］及Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)［4］，但計(jì)算量偏大.1998年，范恩貴等人將齊次平衡法作改進(jìn)，給出新的方程約化法［5］來求此類非線性方程的解［6］.對于孤子方程求解的方法，瑞典幾何學(xué)家B?cklund給出了B?cklund變換法，Darboux提出Darboux變換法，Gardner、Greene、Kruskal和Miura求解Schr?dinger方程N(yùn)孤子解時(shí)給出了反散射法，20世紀(jì)以來，Hirota提出了雙線性方法等.

本文主要來研究廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程

這里u（x，y，t）是關(guān)于時(shí)間變量t和空間變量x和y的函數(shù)，hi（t）（i=1，2，…，7）是關(guān)于時(shí)間變量t的實(shí)函數(shù).針對高維孤子方程，范恩貴等人曾通過引入雙線性變換［7］，給出方程的雙線性形式，并得到孤子方程的多孤子解.基于雙線性方法，曾構(gòu)造出孤子方程的雙線性B?cklund變換［8］，Lax對和無窮守恒律［9］，進(jìn)而運(yùn)用雙Bell多項(xiàng)式方法對方程的可積性［10］進(jìn)行了研究.本文將借助多元變換技巧，將廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）約化為常系數(shù)的（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1），并對方程（1）的解作逆映射來構(gòu)造廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的孤子解.

1 多元變換技巧

將廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）約化為經(jīng)典的（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1），首先引入多元變換

這里，

其中，H（t）≠0，B（t）≠0，D（t）≠0，E（t）≠0，A（t），G（t），T（t）為待定系數(shù)，將變換（3）和（4）代入方程（2），經(jīng)整理有以下的關(guān)系式成立

為將方程（5）約化為經(jīng)典的（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1），則需滿足以下的關(guān)系式

聯(lián)立求解關(guān)系式（6）-（14），得：

這里，c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7為積分常數(shù)，且c1≠0，c2≠0，c3≠0.將關(guān)系式（15）-（21）代入多元變換（3）和（4），便可將廣義變系數(shù)孤子方程（2）約化為常系數(shù)孤子方程（1），這將為方程（2）的求解奠定基礎(chǔ).

2 廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程的孤子解

在雙線性方法中，通過對非線性孤子方程作對數(shù)變換，可以將（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1）雙線性化，通過使用Wronskian技巧，得出（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1）的單孤子解、雙孤子解等.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合多元變換（3）和（4），構(gòu)造廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的單孤子解

T（t）和H（t）分別滿足關(guān)系式（20）和（21），這里，為任意常數(shù)，h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）為任意關(guān)于變量t的函數(shù)關(guān)系式.將單孤子解（22）中的參數(shù)做如下的賦值，

并取h3（t）=h4（t）=h5（t）=h6（t）=h7（t）=t，當(dāng)t分別取1.5和2時(shí)，描繪出波動(dòng)三維圖像，見圖1.

圖1 參數(shù)t=1.5（a）和t=2（b）時(shí)單孤子解（22）的三維圖

結(jié)合圖1分析，該孤波是單孤波，并且隨著時(shí)間的推移，孤波由y軸的正半軸向負(fù)半軸方向進(jìn)行傳播.

廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的雙孤子解為

其中

并將關(guān)于t的函數(shù)h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）全設(shè)為t，現(xiàn)分別將t取為1.9和2.3，繪制這兩個(gè)時(shí)刻的波形圖及二維平面的密度圖，見圖2和圖3.

結(jié)合圖2、圖3中的三維圖以及二維密度圖分析，隨著時(shí)間的推移，兩列孤波分別沿著y軸的正、負(fù)兩個(gè)方向延展性地傳播.

圖2 參數(shù)t=1.9時(shí)雙孤子解（25）的三維圖（a）和灰度圖（b）

圖3 參數(shù)t=2.3時(shí)雙孤子解（25）的三維圖（a）和灰度圖（b）

將以上變系數(shù)孤子方程（2）的單孤子解（22）、雙孤子解（25）進(jìn)行推廣，通過歸納可以得出廣義變系數(shù)Kadomtsev-Petviashvili方程（2）的N孤子解

其中，

這里，對μ求和是取μj為0或1的所有可能組合，X（x，y，t），Y（y，t）滿足關(guān)系式（23）、（24），T（t），H（t）滿足關(guān)系式（20）、（21），為任意常數(shù)，h3（t），h4（t），h5（t），h6（t），h7（t）為關(guān)于變量t的函數(shù).

綜上，對于廣義變系數(shù)（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（2），本文首先引入多元變換（3）和（4），將其與經(jīng)典的（2+1）維Kadomtsev-Petviashvili方程（1）聯(lián)系起來，通過確定多元變換中的待定系數(shù)，將變系數(shù)方程（2）約化為常系數(shù)方程（1）.借助Hirota雙線性方法，再結(jié)合多元變換（3）和（4），構(gòu)造出方程（2）的單孤子解（22）、雙孤子解（25）以及N孤子解（28），并將解中的參數(shù)賦以特殊值，勾勒出具有代表性的單、雙孤子解的三維波形圖及二維平面上的密度圖，從而貼近實(shí)際地展現(xiàn)孤波的波動(dòng)特征，為進(jìn)一步研究孤波的各種物理性態(tài)打下基礎(chǔ).